是上帝的指紋
還是魔鬼的聚合物
兩千多年來，幾何學的研究主要集中在歐幾里得幾何上。
正因如此，歐式幾何中由直線或曲線、平面或曲面、平直體或曲體所構成的各種幾何形狀，一直是人類認識自然物體形狀的有力工具，還是各種學科理論的基礎。
以致於物理大佬伽利略斷言：“大自然的語言是數學，它的標誌是三角形、圓和其他幾何圖形”。
但，真的是這樣嗎？
其實不然，數學課堂上學到的幾何如三角形、四邊形等都是理想的狀態。
在現實中，雲不是球體，山不是圓錐體，海岸線不是圓，樹皮不是光滑的，閃電傳播的路徑也不是直線。
顯然，面對這些不規則不光滑不連續的幾何形體，“萬能”的歐式幾何並不管用的。
這些無法解釋的現象，機智的數學家們早就發現了。但沒辦法，問題實在太怪異了，致使數學家們不得不花上一個世紀的時間來解決。
所以，今天超模君就帶大家瞭解一下
到底出現過哪些數學怪物
1872年7月18日，卡爾·維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）創造了第一個函數怪物： Weierstrass函數，狠狠打臉當時的數學家。
Weierstrass函數
要知道，當時大部分數學家認為除了少數特殊的點以外，連續的函數曲線在每一點上總會有斜率。但Weierstrass函數卻偏偏不走尋常路，在曲線上呈現“處處連續，處處不可微”。
無限迭代的Weierstrass函數
打破數學界一貫認知的不只是Weierstrass函數，還有皮亞諾曲線。
1890年，意大利數學家皮亞諾（Piano）構造了一條違反數學直覺的曲線，該曲線自身並不相交，但是它卻能通過一個正方形內部所有的點。
皮亞諾曲線
換句話說，這條曲線就是正方形本身，擁有和正方形一樣的面積。
但如此一來就有疑問了，曲線的數維是1維，正方形是2維，那這條曲線究竟是一維，還是二維？以後我們拿什麼來區分曲線和平面？
填滿正方形的皮亞諾曲線
這隻突如其來的曲線，正式打響了分形幾何研究的第一炮。
1904年，科赫在論文提出了一種周長比地球的直徑要長的Koch雪花。
Koch雪花
一般而言，我們在測量非分形曲線時，都是將其放大到足夠大，再用直線擬合一小段曲線，在一小段範圍內取一階泰勒展開，近似為直線，最後求總長度。
但這樣的方法，對分形曲線根本行不通。因為你會發現，分形圖案是無限迭代的，無論縮放到多小，細節總會不斷地出現。
因此理論上來說，Koch雪花的周長是無限大，但有趣的是，他的面積是有限的，用一個稍大的圓就能把它完全蓋住。
周長無限大的Koch雪花
當然，除了Weierstrass函數、皮亞諾曲線、Koch雪花之外，數學史上還湧現了很多奇奇怪怪的分形結構。
比如說，瓦茨拉夫·謝爾賓斯基在1915年提出的Sierpinski三角形、Sierpinski地毯。
Sierpinski三角形
Sierpinski地毯
還有PaulLévy在1938年提出的LévyC曲線。
LévyC曲線
可以說，每一次分形怪物的出現，都打破當時數學界的認知，讓數學家們無可奈何。
分形理論是如何誕生的
無法被解決的怪物問題持續了一個多世紀，直至Benoit Mandelbrot的出現。1967年，剛剛萌生分形思想的他發表了題為《英國的海岸線有多長》的劃時代論文。
此文一出，學界眾說紛紜，其中就有不少反駁的聲音，“憨憨，長度問題測量不就完事了嗎？”
的確，長度問題就是要測量。但是Mandelbrot並不是要測出長度，而是想反映一個問題：任何人對於海岸線長度的答案，會因他們使用最小測量單位的不同從而得到不同的答案。
試想一下，當我們100公里為單位測量英國的海岸線長度，我們會使用到28個單位，也就是2800公里的答案；但如果把最小單位縮小至50公里，則會使用到68個單位，從而得到3400公里的答案，比前一個答案整整多出了600公里。
換言之，若用更小的測量單位，比如是原子，你將會得到一個無窮大的答案。
這也就是著名的“海岸線悖論”：一個有限的區域大不列顛島，卻有一個無限長的周長。
而為了詳細描述這類重複的或者自身相似的數學圖形，1975年，Mandelbrot正式提出了“分形”一詞，並用醒目的計算機構建的可視化效果說明了他的數學定義。
利用加斯頓·朱利亞創立迭代理論和公式z = z² + c，通過高性能計算機對數字進行了成千上萬次的運算和處理，最終成功繪製出一個魔鬼的聚合物/上帝的指紋。
Mandelbrot集
公式採用變量z和參數c，映射了複平面上的數值。其中x軸測量複數的實數部分，而 y 軸測量複數的虛數部分。
迭代是重複反饋過程的活動，其目的通常是為了逼近所需目標或結果。每一次對過程的重複稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結果會作為下一次迭代的初始值。
在Mandelbrot集中，你會明白分形是一種具有自相似特性的現象、圖像或者物理過程。
可以說分形的核心就是自相似性，就是取任一部分進行適當放大，仍可得到與原來整個圖形相似的圖形，就相當於不斷的克隆，一個比一個小，不停的重複下去。
正是此舉，幫助數學家們徹底解決了困擾著大家N年的數學怪物，也讓Mandelbrot成為了20世紀顯赫有名的“分形理論之父”。
Benoit Mandelbrot
不同於2000多年曆史的古典幾何理論，從提出到如今，分形理論僅僅經歷了40年。
它作為一種大自然複雜表面下的內在數學秩序，引起了人們審視世界的新視域，它的出現不僅填補了歐幾里得幾何兩千多年來的空白，而且提供了新的描述自然的方式。
隨處可見的分形理論
毫不誇張的說，分形理論是當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科。
就連美國物理學家約翰·阿奇博爾德·惠勒也這麼認為：“以後誰不瞭解分形理論，誰就不能稱為科學的文化人。”
這次真不騙你，無論是生物學、天體物理，還是材料學、計算機學等等，幾乎所有領域都有分形理論的身影。
先說前面提到的Sierpinski三角形，早些年就被應用在收集和wifi系統中。
原因很簡單，分形天線的自相似結構使它們能夠在一定頻率範圍內進行接收和發送。
還有，在計算機圖像處理方面，分形的進展極大地豐富了計算機圖形學的內容。
這其中，就包括對地理地形進行迭代建模，構建自然結構。
另外，分形甚至可以幫助計算機更好散熱。
利用人體血管的分形圖案，俄勒岡州立大學的工程師開發出可以被刻蝕到硅芯片中的分形圖案，以使冷卻液（例如液氮）均勻地流過芯片表面並保持其冷卻。
又比如說，在醫學上的分形應用。
很多時候，藉助CT掃描和MRI機器等現代成像設備生成的大量的數據，即使是訓練有素的專家，也沒有辦法又快速又準確弄清所有數據。
但有了分形理論就不一樣了，因為人體內到處都是分形，我們可以使用分形數學來量化，描述和診斷，以達到治癒疾病的目的。
其中，我們可以根據健康肺和患病肺之間分形維數的不同，對疾病採取自動檢測。
圖片來源於哈佛大學Edwin L. Steele實驗室
又比如說，在工程學上，工程師會採用分形理論構建高強度電纜，從而實現巨型懸索橋的建造。
圖片來源於Bernard S. Jansen、Jonathan Wolfe
在上面的應用中，你看不到那些簡單、完美的歐幾里得幾何形狀，你能看到的只有複雜的分形。
有趣的是，複雜的背後，卻又隱藏著局部和整體之間“自相似”的本質聯繫。
而數學之美就像不斷被放大的分形，是令人興奮、鼓舞人心的，並且我們一直在研究，一直在研究，看不到終點。
同時，看著這些妙不可言的分形動圖，超模君相信能稱得上“分形之父”並不只有Mandelbrot一個人，還有在那座山上講故事的老和尚。
從前有座山，山裡有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，講的是：從前有座山……
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