在抗美援朝战争中，中国一直在思考着到底要不要出手帮助朝鲜。毛主席对此说了这样的一句话："打得一拳开，免得百拳来"。就这样，抗美援朝战争成了中国的立国战，向全世界展示了新中国的实力、威力，也才有了现在的和平局势。
同样对于学习，毛主席这种策略也值得我们思考。对于那些典型的、精选的、具有代表性的题目，同学们不仅应该会做，而且还应该对习题进行反思，更重要的是我们可以通过背景包装、更换数字、变条件、变结论等多种方式对习题进行变式。要充分发挥习题本身所蕴含的价值，这样既可以摆脱题海的困扰，又可以起到事半功倍的效果。
课本题目
如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为"赵爽弦图"．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为_____．
【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣BF＝6，
故答案是：10．
变式拓展
在课本题目的基础上我们可以作如下拓展练习，老获得最大学习收获。
1．（2019秋•迎泽区校级月考）如图，以正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，且四边形EFGH为正方形，这样的图形我们称为弦图，将正方形ABCD放入右边每个小正方形的边长为1的网格中，若正方形的四个顶点A、B、C、D和四个直角顶点E、F、G、H都是格点，我们把这样的图形称为格点弦图，问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为5时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_______．
【解析】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题。
当DG＝4，CG＝3时，满足DG²+CG²＝CD²，此时FG＝1，可得正方形EFGH的面积为1．
当DG＝2√5，CG＝√5时，满足DG²+CG²＝CD²，此时HG＝√5，可得正方形EFGH的面积为5．故答案为1或5．
2．（2019秋•锦州期末）如图是由"赵爽弦图"变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S₁、S₂、S₃．若S₁+S₂+S₃＝60，则S₂的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．30
【解析】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
设每个小直角三角形的面积为m，则S₁＝4m+S₂，S₃＝S₂﹣4m，
因为S₁+S₂+S₃＝60，所以4m+S₂+S₂+S₂﹣4m＝60，
即3S₂＝60，解得S₂＝20．故选：C．
3．（2019秋•仪征市期末）"赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为______．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：1/2ab＝1/2×8＝4，
∴4×1/2ab+（a﹣b）²＝25，
∴（a﹣b）²＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案是：3．
4．（2019秋•石狮市期末）如图所示的"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a+b＝√15，ab＝2，则小正方形的面积为______．
【解析】观察图形可知，小正方形的边长＝a﹣b，
∵a+b＝√15，ab＝2，
∴小正方形的面积＝（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab＝15﹣8＝7．
故答案为：7．
5．（2019秋•安徽月考）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的"赵爽弦图"如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为a．若大正方形的面积为144，小正方形的面积是36，求sina﹣cosa的值．
【解析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为12，小正方形的边长为6，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
∵大正方形的面积是144，小正方形面积是36，
∴大正方形的边长为12，小正方形的边长为6，
∴12sina﹣12cosa＝6，
∴sina﹣cosa＝1/2．
6．（2019•泰顺县模拟）图1是我国著名的"赵爽弦图"，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm²和85cm²，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm² B．30cm² C．36cm² D．60cm²
【解析】∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2'
∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝√85,
设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）²+（2x+1）²＝85，化简得
2x²+x﹣21＝0
∴x₁＝3，x₂＝﹣3.5（舍）
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30
故选：B．
7．（2018秋•太原期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有"若勾三，股四，则弦五"的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示"嵌入"长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
【解析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
易证△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：B．
8．（2019•咸宁一模）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2√3EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．14S B．13S C．12S D．11S
【解析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a²+b²,
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2√3EF，
∴2a＝2√3b，∴a＝√3b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b²＝S，∴正方形ABCD的面积＝4a²+b²＝13b²＝13S，故选：B．
9．（2019春•永城市期中）如图是"赵爽弦图"，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c＝10，a﹣b＝2．
（1）正方形EFGH的面积为_____，四个直角三角形的面积和为______；
（2）求（a+b）²的值．
【解析】（1）∵HE＝a﹣b＝2，
∴S正方形EFGH＝HE²＝4，
∵AD＝c＝10，∴S正方形ABCD＝AD²＝100，
∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96，
故答案为：4；96；
（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，
∴4×1/2ab＝96，解得2ab＝96，
∵a²+b²＝c²＝100，
∴（a+b）²＝a²+b²+2ab＝100+96＝196．
方法总结
在"赵爽整图"中，大正方形的边长等于直角三角形两直角边的平方和的算术平方根，小正方形的边长等于直角三角形两直角边的差。解题中要灵活运用这些结论，并借助整体思想，方程思想来沟通联系，寻找解题途径，往往会收到满意的解题效果。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
