歸一問題
【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然後以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。
【數量關係】總量÷份數＝1份數量；1份數量×所佔份數＝所求幾份的數量；另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數
【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。
例1. 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？
解：買1支鉛筆多少錢？
0.6÷5＝0.12（元）
買16支鉛筆需要多少錢？
0.12×16＝1.92（元）
列成綜合算式
0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
例2. 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？
解：1臺拖拉機1天耕地多少公頃？
90÷3÷3＝10（公頃）
5臺拖拉機6天耕地多少公頃？
10×5×6＝300（公頃）
列成綜合算式
90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）
答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。
例3. 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？
解：1輛汽車1次能運多少噸鋼材？
100÷5÷4＝5（噸）
7輛汽車1次能運多少噸鋼材？
5×7＝35（噸）
105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？
105÷35＝3（次）
列成綜合算式
105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要運3次。
歸總問題
【含義】解題時，常常先找出“總數量”，然後再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。
所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。
【數量關係】1份數量×份數＝總量；總量÷1份數量＝份數；總量÷另一份數＝另一每份數量
【解題思路和方法】先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。
例1. 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法後，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？
解：這批布總共有多少米？
3.2×791＝2531.2（米）
現在可以做多少套？
2531.2÷2.8＝904（套）
列成綜合算式
3.2×791÷2.8＝904（套）
答：現在可以做904套。
例2. 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？
解：《紅巖》這本書總共多少頁？
24×12＝288（頁）
小明幾天可以讀完《紅巖》？
288÷36＝8（天）
列成綜合算式
24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以讀完《紅巖》。
例3. 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50kg，30天慢慢消費完這批蔬菜。後來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10kg，這批蔬菜可以吃多少天？
解：這批蔬菜共有多少千克？
50×30＝1500（千克）
這批蔬菜可以吃幾天？
1500÷（50＋10）＝25（天）
列成綜合算式
50×30÷（50＋10）＝25（天）
答：這批蔬菜可以吃25天。
和差問題
【含義】已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。
【數量關係】大數＝（和＋差）÷2；小數＝（和－差）÷2
【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；複雜的題目變通後再用公式。
例1. 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？
解：甲班人數：
（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人數：
（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2. 長方形的長和寬之和為18釐米，長比寬多2釐米，求長方形的面積。
解：長＝（18＋2）÷2＝10（釐米）
寬＝（18－2）÷2＝8（釐米）
長方形的面積
10×8＝80（平方釐米）
答：長方形的面積為80平方釐米。
例3. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解：甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知：
甲袋化肥重量：
（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量：
（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量：
32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4. 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？
解：從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此：
甲車筐數：
（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙車筐數：
97－64＝33（筐）
答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。
和倍問題
【含義】已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。
【數量關係】總和÷（幾倍＋1）＝較小的數；總和－較小的數＝較大的數；較小的數×幾倍＝較大的數
【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。
例1. 果園裡有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？
解：杏樹有多少棵？
248÷（3＋1）＝62（棵）
桃樹有多少棵？
62×3＝186（棵）
答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。
例2. 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？
解：西庫存糧數：
480÷（1.4＋1）＝200（噸）
東庫存糧數：
480－200＝280（噸）
答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。
例3. 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天後乙站車輛數是甲站的2倍？
解：每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當於每天從甲站開往乙站（28－24）輛。
把幾天後甲站車輛數當作1倍量，則乙站車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數（52＋32）就相當於（2＋1）倍，那麼
幾天後甲站車輛數減為：
（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）
所求天數為：
（52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以後乙站車輛數是甲站的2倍。
例4. 甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？
解：乙丙兩數都與甲數有直接關係，因此把甲數作為1倍量。
因為乙比甲的2倍少4，所以乙數加上4就變成甲數的2倍；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍；
這時（170＋4－6）就相當於（1＋2＋3）倍。那麼，
甲數＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙數＝28×2－4＝52
丙數＝28×3＋6＝90
答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。
差倍問題
【含義】已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。
【數量關係】兩個數的差÷（幾倍－1）＝較小的數；較小的數×幾倍＝較大的數
【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。
例1. 果園裡桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？
解：杏樹有多少棵？
124÷（3－1）＝62（棵）
桃樹有多少棵？
62×3＝186（棵）
答：果園裡杏樹是62棵，桃樹是186棵。
例2. 爸爸比兒子大27歲，今年爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？
解：兒子年齡：
27÷（4－1）＝9（歲）
爸爸年齡：
9×4＝36（歲）
答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。
例3. 商場改革經營管理辦法後，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？
解：如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當於上月盈利的（2－1）倍，
上月盈利：
（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）
本月盈利：
18＋30＝48（萬元）
答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。
例4. 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天後剩下的玉米是小麥的3倍？
解：由於每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等於原來的數量差（138－94）。
把幾天後剩下的小麥看作1倍量，則幾天後剩下的玉米就是3倍量，那麼（138－94）就相當於（3－1）倍，因此，
剩下的小麥數量：
（138－94）÷（3－1）＝22（噸）
運出的小麥數量：
94－22＝72（噸）
運糧的天數：
72÷9＝8（天）
答：8天以後剩下的玉米是小麥的3倍。
倍比問題
【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。
【數量關係】總量÷1個數量＝倍數；另1個數量×倍數＝另1總量
【解題思路和方法】先求出倍數，再用倍比關係求出要求的數。
例1. 100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解：3700kg是100kg的多少倍？
3700÷100＝37（倍）
可以榨油多少千克？
40×37＝1480（千克）
列成綜合算式
40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
例2. 今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？
解：48000名是300名的幾倍？
48000÷300＝160（倍）
共植樹多少棵？
400×160＝64000（棵）
列成綜合算式
400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全縣48000名師生共植樹64000棵。
例3. 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？
解：800畝是4畝的幾倍？
800÷4＝200（倍）
800畝收入多少元？
11111×200＝2222200（元）
16000畝是800畝的幾倍？
16000÷800＝20（倍）
16000畝收入？
2222200×20＝44444000（元）
答：全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。
相遇問題
【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。
【數量關係】相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）；總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間
【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，複雜的題目變通後再利用公式。
例1. 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？
解：392÷（28＋21）＝8（小時）
答：經過8小時兩船相遇。
例2. 小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那麼，二人從出發到第二次相遇需多長時間？
解：“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此，總路程為400×2
相遇時間：
（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。
例3. 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。
解：“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。
從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇時間：
（3×2）÷（15－13）＝3（小時）
兩地距離：
（15＋13）×3＝84（千米）
答：兩地距離是84千米。
追及問題
【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動。
在後面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，後面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。
【數量關係】追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間；
【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。
例1. 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？
解：劣馬先走12天能走多少千米？
75×12＝900（千米）
好馬幾天追上劣馬？
900÷（120－75）＝20（天）
列成綜合算式
75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好馬20天能追上劣馬。
例2. 小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解：小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米；
要知小亮的速度須知追及時間，即小明跑500米用的時間。由小明跑200米用40秒得，跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以，
小亮的速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3. 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？
解：敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，
這段時間敵人逃跑的路程是：
［10×（22－16）］千米，
甲乙兩地相距60千米。則
追及時間：
［10×（22－16）＋60］÷（30－10）＝6（小時）
答：解放軍在6小時後可以追上敵人。
例4. 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。
解：這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落後於貨車，追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，
這個時間為：
16×2÷（48－40）＝4（小時）
所以兩站間的距離為：
（48＋40）×4＝352（千米）
列成綜合算式：
（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝352（千米）
答：甲乙兩站的距離是352千米。
例5. 兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發現忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？
解：要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間：
在相同時間（從出發到相遇）內兄比妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米，那麼
二人從家出走到相遇所用時間為：
180×2÷（90－60） ＝12（分鐘）
家離學校的距離為：
90×12－180＝900（米）
答：家離學校有900米遠。
例6. 孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發現手錶慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。後來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。
解：手錶慢了10分鐘，就等於晚出發10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘；
後段路程跑步恰準時到學校，說明後段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知
行1千米，跑步比步行少用：
［9－（10－5）］分。
所以步行1千米所用時間為：
1÷［9－（10－5）］＝0.25（小時）＝15（分鐘）
跑步1千米所用時間為：
15－［9－（10－5）］＝11（分）
跑步速度為每小時：
1÷11／60＝5.5（千米）
答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。
植樹問題
【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。
【數量關係】線形植樹棵數＝距離÷棵距＋1；環形植樹棵數＝距離÷棵距；方形植樹棵數＝距離÷棵距－4；三角形植樹棵數＝距離÷棵距－3；面積植樹棵數＝面積÷（棵距×行距）
【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然後可以利用公式。
例1. 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2. 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？
解：400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白楊樹。
例3. 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？
解：220×4÷8－4＝110－4＝106（個）
答：一共可以安裝106個照明燈。
例4. 給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60釐米和40釐米，問至少需要多少塊地板磚？
解：96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）
答：至少需要400塊地板磚。
例5. 一座大橋長500米，給橋兩邊的電杆上安裝路燈，若每隔50米有一個電杆，每個電杆上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？
解：橋的一邊有多少個電杆？
500÷50＋1＝11（個）
橋的兩邊有多少個電杆？
11×2＝22（個）
大橋兩邊可安裝多少盞路燈？
22×2＝44（盞）
答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。
年齡問題
【含義】這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關係隨著年齡的增長在發生變化。
【數量關係】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯繫，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。
【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。兩個數的差÷（幾倍－1）＝較小的數
例1. 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？
解：35÷5＝7（倍）；
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年是亮亮的6倍。
例2. 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年後母親的年齡是女兒的4倍？
解：母親比女兒的年齡大多少歲？
37－7＝30（歲）
幾年後母親的年齡是女兒的4倍？
30÷（4－1）－7＝3（年）
列成綜合算式
（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年後母親的年齡是女兒的4倍。
例3. 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？
解：今年父子的年齡和應該比3年前增加
（3×2）歲，
今年二人的年齡和為：
49＋3×2＝55（歲）
把今年兒子年齡作為1倍量，
則今年父子年齡和相當於（4＋1）倍，
因此，今年兒子年齡為：
55÷（4＋1）＝11（歲）
今年父親年齡為：
11×4＝44（歲）
答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。
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