範雕：利用多元迴歸分析反演西南印度洋區域海底地形

《測繪學報》

構建與學術的橋樑 拉近與權威的距離

利用多元迴歸分析反演西南印度洋區域海底地形

範雕¹, 李姍姍¹, 楊軍軍

1. 信息工程大學, 河南 鄭州 450001;

2. 華中科技大學精密重力測量國家重大科技基礎設施地球物理研究所, 湖北 武漢 430074;

3. 華中科技大學物理學院基本物理量測量教育部重點實驗室, 湖北 武漢 430074;

4. 32022部隊, 湖北 武漢 430074;

5. 航天工程大學, 北京 102206

收稿日期：2018-11-16；修回日期：2019-08-22

基金項目：國家自然科學基金（41774021；41774018；41504018；41674026；41674082；41574020）；國家重點研發計劃（2016YFB0501702）；地理信息工程國家重點實驗室開放基金（SKLGIE2016-M-3-2）

第一作者簡介：範雕(1991-), 男, 博士生, 研究方向為物理大地測量和空間化海洋測繪工程。E-mail:[email protected]

通信作者：李姍姍, E-mail:[email protected]

關鍵詞：多元迴歸分析 海底地形 重力異常 重力異常垂直梯度 相干性

Predicting bathymetry by applying multiple regression analysis in the Southwest Indian Ocean Region

FAN Diao¹, LI Shanshan¹, YANG Junjun^2,3, MENG Shuyu⁴, XING Zhibin⁵, ZHANG Chi¹, FENG Jinkai¹

1. Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China;

2. Institute of Geophysics and PGMF, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China;

3. MOE Key Laboratory of Fundamental Physical Quantities Measurement & Hubei Key Laboratory of Gravitation and Quantum Physics, PGMF and School of Physics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China;

4. 32022 Troops, Wuhan 430074, China;

5. Space Engineering University, Beijing 102206, China

Foundation support: The National Natural Science Foundation of China(Nos. 41774021; 41774018; 41504018; 41674026; 41674082; 41574020); The National Key Research and Development Program of China(No. 2016YFB0501702); The Fund of State Key Laboratory of Geo-Information Engineering(No. SKLGIE2016-M-3-2)

First author: FAN Diao (1991—), male, PhD candidate, majors in physical geodesy and spatial marine surveying and mapping engineering.E-mail:[email protected].

Corresponding author: LI Shanshan, E-mail:[email protected].

Abstract: Considering the fact that the sea floor topography and gravity anomaly or vertical gravity gradient anomaly show strong linear correlation in the corresponding frequency bands, the method based on using multivariate regression analysis technique to combine multi-gravity data to construct the seafloor model was proposed. Then, the inversion test and analysis were carried out in the part of SWIR(Southwest India Ridge) in the Southwest Indian Ocean. The results showed that the bathymetry model (BDVG model) based on multiple regression analysis has the highest accuracy compared with other models, which is 11.51% and 57.81% higher than the S&S V18.1 model and ETOPO1 model respectively. The accuracy of each bathymetry model is higher, and the relative error fluctuation is small where the water depth is above 2000 m, reflecting the good inversion effect in the deep sea area. In places where the seafloor is fluctuated drastically or in shallow seaarea, BDVG model has less variation in relative error and relative error fluctuation than BDG model and BVGG model established by gravity anomaly and vertical gravity gradient anomaly as a single input source, reflecting the BDVG model has better stability and the necessity and advantage of joint inversion. The only shaft-deficient rift oceanic ridge section (27 oceanic ridge section) on the Indomed FZ-Gallieni FZ is currently in the stage of sufficient magma supply, and the seafloor expansion has less influence on it. At the same time, due to the influence of the symmetric splitting, several rises are symmetrically distributed along the north and south of the axis.

Key words: multiple regression analysis seafloor topography gravity anomaly vertical gravity gradient coherence

海洋測量按照內容和任務可分為海洋大地測量、海道測量、海岸地形測量、海底地形測量、海洋重力測量、海洋磁力測量、海洋工程測量和海洋遙感測量等。其中，海底地形測量是海洋測量最核心、最具特色的海洋信息獲取方式

目前海底地形測量技術主要包括船基聲吶測深技術、機載激光雷達測量技術(airborne LiDAR bathymetry，ALB)、海岸帶一體化地形測量技術、潛基海底地形測量技術等。其中船基海底地形測量主要藉助船舶搭載多波束/單波束回聲測深儀開展水深測量^[3]，是目前海洋地理空間信息獲取的主要方式；機載激光雷達測量技術主要作業方式在50 m的水域，是船基測量的重要補充；潛基海底地形測量以AUV(autonomous underwater vehicle，AUV)/ROV(remote operated vehicle，ROV)/深拖系統為平臺，攜載多波束測深系統、側掃聲吶系統、壓力傳感器等對海域進行測量，以提高海底地形地貌的分辨率和精度，從而滿足科學研究和工程應用需求。

然而上述海底地形測量作業模式的測量區域範圍相對於全球海域而言，數據覆蓋範圍十分有限，文獻[4]認為深海測繪將花費200多船年(ship-year)時間，耗費大量人力物力才能繪製完成。同時以船舶為載體進行測量的測量結果分佈很不均勻，特別在緯度高於30°S的海域，船測數據十分稀疏，存在大面積的數據空白。隨著衛星測高技術的發展，特別執行大地測量任務(geodetic mission，GM)的Geosat等測高衛星的數據積累，衛星測高數據現已能夠完全覆蓋這些海區

憑藉海面重力數據與海底地形在某些波段高度相關的特點開展海底地形預測最早由文獻[10]提出。文獻[11]證明了該方法的可行性。隨後國內外學者進行了大量的試驗研究，文獻[12]研究了大地水準面高反演海底地形的技術途徑，並詳細分析了不同參數對轉換函數的影響。文獻[13]研究了應用向下延拓方法和最小二乘配置方法反演海底地形的技術手段。文獻[14]回顧了主要的海底地形反演方法，包括線性濾波方法和導納函數方法等。文獻[15]在南極德雷克海峽(Drake Passage)採用自由空間重力異常(free-air gravity anomalies，FAGA)，應用重力地質方法(gravity-geologic method，GGM)開展了反演試驗。試驗結果表明：應用GGM方法單純將船測數據格網化檢核精度更高。文獻[16]推導了利用重力異常垂直梯度的海底地形反演方法。文獻[17]基於重力異常垂直梯度反演了中國南海2′的海底地形模型。文獻[18]採用線性方法分別反演了以重力異常和重力異常梯度為輸入源的海底地形模型，取得了良好的反演效果。文獻[19]聯合Geosat、ERS-1/2、T/P、Jason-1等測高衛星，反演了中國南海海域的重力異常，並以此為基礎採用解析法反演了中國南海海底地形。文獻[20—21]利用重力異常在皇帝海山鏈展開了試驗分析，獲得了良好的反演效果。經以上分析可知，國內外學者的研究主要集中在單獨利用重力異常、重力異常垂直梯度等重力數據構建海底地形模型。然而一個現象往往與多個因素相聯繫，海底地形變化在重力異常和重力異常垂直梯度中均會有所反映。因此，建立重力異常和重力異常垂直梯度的最優組合共同預測海底地形，比單一利用重力異常或者重力異常垂直梯度構建海底地形模型似乎更加有效，也更符合實際。例如，文獻[22]分別以重力異常和重力異常垂直梯度採用線性方法反演不同波段海底地形，進而將不同波段反演結果求和獲得最終的海底地形模型，模型精度相較於V15.1模型提高了29.5%左右；文獻[23]基於自適應賦權技術賦予重力異常和重力異常垂直梯度反演海深模型最佳權值組合，進而構建最終的海底地形模型，檢核精度結果相較於單一輸入源有較大提高，該方法的缺點是需要外部控制點作為約束方能獲得不同輸入源的有效權比。

然而上述融合方法本質上是以重力異常或者重力異常垂直梯度作為單一輸入源，從而獲得相應的不同輸入源的反演結果，然後將不同輸入源的反演結果進行某種組合，所以實質上仍是在技術層面達到聯合反演海底地形目的。有別於此，本文基於重力異常或者重力異常垂直梯度經濾波和延拓處理後結果與海底地形表現明顯線性相關特點，提出基於多元迴歸分析技術，以重力異常和重力異常垂直梯度為數據源，聯合重力異常和重力異常垂直梯度的海底地形建模方法(該方法不需外部控制點約束即可獲得不同輸入數據的最佳權重組合)。並將聯合重力數據反演結果與目前國際應用廣泛的Smith and Sandwell V18.1海深模型(簡稱S & S V18.1模型)、ETOPO1海深模型進行精度比較、評估模型效能。最後以本文建立的海底地形模型，基於岩漿-構造旋迴模型研究分析相關海域的地形地貌及地質構造特點。

1 原理與方法

圖 1為質量虧損與重力異常的關係。如圖 1所示，以區域平均海深面作為O-xy面，以指向海面為z軸建立笛卡爾座標系。其中海面一點

圖 1 質量虧損與重力異常的關係Fig. 1 Relationship between mass loss and gravity anomaly

圖選項

(1)

式中，F(Δg(x,y,z₀))表示海面重力異常的傅里葉變換；G為地球引力常數，通常取6.672×10

文獻[27]研究發現，式(1)在平坦海域高次項的影響較小，通常情況下, 主要考慮式(1)中一次項的貢獻。當僅考慮一次項時，式(1)可整理為

(2)

令

(3)

式中，(2πGΔρ)為布格常數(Bouguer constant)。則式(2)可理解為若以海底地形作為輸入，經過函數Z(f_x, f_y)的轉換可以輸出重力異常。定義函數Z

(4)

導納函數Z(f_x

圖 2 導納函數Fig. 2 Admittance function

圖選項

圖 3 轉換函數Fig. 3 Transform function

圖選項

根據撓曲均衡理論，岩石圈作為彈性薄板漂浮在地幔上達到靜力平衡狀態，那麼海底地形作為岩石圈彈性板塊上質量載荷將會在莫霍面得到反映，導致莫霍面發生相應變化，因此海面重力異常將受海底地形和地殼撓曲均衡的綜合影響。當地形波長遠小於撓曲波長時，海面重力異常主要受海底地形影響；然而當地形波長接近甚至大於撓曲波長時，需要考慮地殼均衡對重力異常的貢獻。假設由於海底地形

(5)

式中，M

(6)

式中，λ為撓曲波長，其大小等於Φ_e(f_x, f_y)=0.5時對應的波長。

當撓曲均衡波長^[31]，從而滿足上述情況的導納函數可表示為

(7)

式中，T_c為地殼厚度。不同撓曲波長λ對應的導納函數如圖 2所示。

基於以上分析，定義轉換函數Q(f_x, f_y)具有線性和各向同性的特點，從而可將重力異常作為輸入，輸出海底地形結果

(8)

對比式(8)和式(4)可知，轉換函數和導納函數互為倒數關係^[32]，不同撓曲波長對應的轉換函數示意圖如圖 3所示。由圖 3可知，在短波或者長波波段範圍，轉換函數數值較大，將會導致該波段範圍內重力場的微小噪聲被顯著放大，進而嚴重影響海底地形的反演結果；同時在短波或者長波波段範圍內，轉換函數將不存在Hankel變換對；圖 3結果顯示不同的撓曲波長將顯著影響長波段海底地形反演結果。基於以上分析可知，由於轉換函數的固有特點，短波段或者長波段的海底地形解將很不穩定。從而選擇使用帶通濾波器限制中短波段導納函數，使得海底地形解算結果保持穩定，同時保證轉換函數Q(f_x, f_y)存在Hankel變換對

(9)

式中，W(f_x, f_y)為引入的帶通濾波器。通過式(9)獲得的轉換函數可解算特定波段的海底地形。因而利用重力異常反解某一波段海底地形b_s(x,y)可表示為

(10)

式中，exp(2π

(11)

式中，a

圖 4 重力異常和海底地形關係Fig. 4 Gravity anomaly and seafloor topography

圖選項

(12)

重力異常垂直梯度與重力異常關係為

(13)

式中，負號表示與z軸指向地球外部，與垂線方向相反。依據傅里葉變換求導法則對式(4)求導得

(14)

因此利用重力異常垂直梯度解算特定波段海底地形可表示為

(15)

式(10)和式(15)顯示，重力異常或者重力異常垂直梯度經濾波並向下延拓等處理後與海深呈現線性關係。類似式(10)，由於海底地質條件複雜，一般也不使用式(15)計算理論線性係數。實際操作中，通常利用對應波段重力數據和海底地形數據進行線性擬合，即

(16)

式中，a_z和c_z表示線性迴歸的比例因子和常數項，經濾波和延拓等處理後的重力異常垂直梯度與海底地形關係如圖 5所示(圖 5中數據為2.1節試驗海區數據)，由圖 5可以看出二者存在明顯的線性關係。B

圖 5 重力異常垂直梯度與海底地形關係Fig. 5 Vertical gravity gradient anomaly and seafloor topography

圖選項

(17)

綜合式(11)和式(16)，將兩式相加得

(18)

式中，e為線性擬合常數項。式(18)即為通過多元迴歸分析技術聯合重力異常和重力異常垂直梯度反演海底地形的函數模型。即以經濾波和向下延拓後的重力異常Δg′和經濾波和向下延拓等處理後的重力異常垂直梯度Δg′_z

(19)

式中，β₀為迴歸方程的常數項；β₁、β₂

假設利用經濾波和向下延拓過的重力異常或者重力異常垂直梯度反演某一波段的海底地形為b_s(x,y)，則反演波段海底地形與其他波段海底地形(b_r(x,y))求和可得到最終的海底地形(b(x,y))為

(20)

2 數值分析試驗2.1 試驗區概況和數據準備

印度洋是地球第3大洋，總面積約為75 Mkm²，平均海洋深度3800 m左右。印度洋海底中最為獨特的地形地貌特徵為大洋底存在巨大的倒Y形洋中脊分佈，分別為北部的中印度洋海嶺(Central India Ridge，CIR)、東南印度洋海嶺(Southeast India Ridge，SEIR)和西南印度洋海嶺(Southwest India Ridge，SWIR)。GIR、SEIR和SWIR 3個海嶺交匯處稱為羅德里格斯三聯點(Rodriguez Triple Juction，RTJ)。RTJ北部的CIR向西北方向延伸與紅海和東非大裂谷相連，其上分佈有中央裂谷。RTJ東南方向的SEIR向東南伸展到阿姆斯特丹島(Amsterdam Island)，並繼續向東延伸，形成澳大利亞-南極海隆(Australia-Antarctic Rise)。位於RTJ西南方向的SWIR向西南方向延伸至Bouvet三聯點(Bouvet Triple Juction，BTJ)，並繞過非洲大陸南端與大西洋中脊相連接，全長大約8000 km，總體為斜向擴張洋脊，走向與擴張方向成約60°角，是非洲板塊和南極洲板塊的邊界。SWIR上發育有大量的斷裂帶(fraction zone，FZ)，文獻[33]根據SWIR的擴張歷史和幾何特徵，SWIR自西向東分為7個段落，即沿RTJ-BTJ方向發育有Melville FZ、Atlantis FZ、Gallieni FZ、Indomed FZ、Discovery FZ和Eric Simpson FZ等。如此豐富的地貌分佈導致SWIR成為目前海底構造地貌學研究熱點，然而南半球船測海深測量數據稀疏且稀少，嚴重阻礙科學研究與實踐。從而本文利用衛星測高重力數據反演海底地形的試驗區域選擇SWIR部分海域(34°S—41°S，46°E—53°E海域)作為試驗海域，融合少量船測海深數據構建海底地形模型；並依據建立的海底地形模型，基於岩漿-構造旋迴模型研究分析相關海域的地形地貌及地質構造特點。研究海域數據來源如下：

(1) 衛星測高重力異常數據：來源於丹麥科技大學(Technical University of Denmark)空間實驗室(DTU Space)發佈的1′×1′ DTU10模型，研究海域重力異常如圖 6(a)所示。

圖 6 研究海域試驗數據Fig. 6 Test data in study area

圖選項

(2) 衛星測高重力異常垂直梯度數據：來源於SIO，UCSD(Scripps Institution of Oceanography, University of California, San Diego)，V24.1版本，分辨率為1′。研究海域重力異常垂直梯度如圖 6(b)所示。

(3) 船測海深數據：來源於NGDC(The National Geophysical Data Center)發佈的研究海域實測數據。研究海域原始船測水深數據共11 892個，通過3σ準則對實測數據進行粗差剔除，最終得到11 392個實測水深數據。選取其中2/3數量的數據共7594個作為控制點，以期對構建的海深模型進行控制；剩餘3978個實測水深數據作為外部檢核點對最終的海深模型開展精度評估使用。控制點和檢核點的分佈如圖 6(c)所示，其中白色六邊形為控制點，黑色三角形為檢核點，圖中背景為S & S V18.1海深模型。

2.2 海底地形模型構建

根據利用衛星測高重力數據反演海底地形的原理和方法可知，為了達到以衛星測高重力數據作為輸入源，輸出海底地形解算結果穩定的目的，需要對轉換函數進行相應的濾波處理，即使用特定波段重力數據反演相應波段海底地形。其中，重力數據輸入波段範圍通常選擇與海底地形表現較強相關性波段。因此採用多元迴歸分析技術，利用衛星測高重力數據構建海底地形模型的步驟可分為：

(1) 選取反演波段範圍。基於頻率域相干性分析技術，分別對重力異常/重力異常垂直梯度與海底地形的相干性進行研究分析，獲得重力異常/重力異常垂直梯度與海底地形呈現強相關性的波段範圍。

(2) 衛星測高重力數據的濾波和延拓處理。以步驟(1)獲得的波段範圍作為參考，設計合適的帶通濾波器對重力輸入數據進行濾波處理，得到相應波段的重力數據；同時將反演波段重力數據經向下延拓等處理，獲得經濾波和延拓等處理後的重力數據。

(3) 獲取偏回歸係數和常數項。以步驟(2)獲得的經濾波和延拓後的重力數據與對應波段先驗海底地形為基礎，依據最小二乘原理對反演波段的重力異常、重力異常垂直梯度和海底地形開展擬合分析，獲得多元迴歸的偏回歸係數和常數項。

(4) 建立海底地形模型。以步驟(3)獲得的多元迴歸的偏回歸係數和常數項為基礎，通過多元迴歸分析技術獲得反演波段海底地形。再綜合各個波段的海底地形結果，最終建立聯合多元重力數據(重力異常和重力異常垂直梯度)構建的海底地形模型。

由於研究海域船舶測量點分佈過於稀疏，單純依靠控制點難以得到研究海域格網化海深，而反演實施過程中需利用先驗海深信息補償非反演波段海底地形信息。因此本文以S & S V18.1為先驗海深模型填補研究海域數據空白區，融合海深測量控制點得到格網化先驗海深模型。依據文獻[34]中的相干性分析技術，分別對研究海域重力異常和重力異常垂直梯度與海底地形進行頻率域相干性處理以獲得與海底地形呈現強相關性波段範圍，相干性分析結果如圖 7所示，其中黑色點線和藍色點虛線分別表示重力異常、重力異常垂直梯度與海底地形相干性結果。

圖 7 重力數據與海底地形的相干性Fig. 7 Coherence between gravity data and seafloor topography

圖選項

若認為重力數據與海底地形相干性在0.5以上為強相關，那麼從重力異常、重力異常垂直梯度與海底地形相干性結果可以看出：重力異常垂直梯度與海底地形的強相干性波段範圍為18~ 160 km，重力異常與海底地形在20~200 km表現出強相干性，結果表明重力異常垂直梯度對高頻地形信息更加敏感。結合圖 3轉換函數在長波段和短波段數值分佈特點，最終依據衛星測高重力數據反演海底地形的波段範圍選擇為45~160 km。

因利用衛星測高重力數據反演海底地形主要依據傅里葉變換在頻率域上完成，為了消除邊緣效應的影響，傅里葉逆變換結果的邊界分別內縮10′。然後基於最小二乘原則，以反演波段重力異常/重力異常垂直梯度和先驗海底地形數據為輸入，以半徑為10′的移動窗口對該窗口範圍內的重力和海底地形數據進行單元迴歸和多元迴歸分析，獲得窗口中央點的偏回歸係數和常數項。再以研究點重力異常/重力異常垂直梯度數據作為輸入，結合該點的偏回歸係數和常數項獲得反演波段海底地形。分別以重力異常和重力異常垂直梯度作為單獨輸入數據，經過上述解算流程得到的偏回歸係數和常數項分別如圖 8(a)—(d)所示。

圖 8 重力異常和重力異常垂直梯度的迴歸係數和常數項Fig. 8 Regression coefficient and constant term of vertical gravity gradient anomaly and gravity anomaly

圖選項

對比圖 8(a)和圖 8(c)重力數據與海底地形迴歸係數的分佈情況，二者具有空間分佈的一致性特點：在南北方向呈現線型分佈。圖 8(b)和圖 8(d)顯示重力異常和重力異常垂直梯度的常數項也具有空間分佈一致性特徵。聯合重力異常和重力異常垂直梯度數據，基於多元迴歸分析技術獲得的重力異常和重力異常垂直梯度的偏回歸係數和常數項如圖 9(a)—(c)所示。

圖 9 多元迴歸偏回歸係數和常數項Fig. 9 Multiple regression partial regression coefficient and constant term

圖選項

對比圖 9(a)和圖 9(b)可知，多元迴歸分析中，重力異常和海底地形、重力異常垂直梯度和海底地形的偏回歸係數在南北方向依然呈現出近線型分佈，且二者的空間分佈特徵保持一致。對比基於多元迴歸分析獲得的重力異常和重力異常垂直梯度與海底地形的偏回歸係數(圖 9(a)、(b))和基於單元迴歸技術獲得的僅僅以重力異常/重力異常垂直梯度數據作為唯一輸入源的迴歸係數(圖 8(a)、(c))，重力異常和重力異常垂直梯度的迴歸係數數值大小差別較大。同時迴歸分析的常數項(圖 8(b)、(d)和圖 9(c))顯示：僅僅以重力異常和重力異常垂直梯度作為數據輸入的常數項二者差別較小；而以重力異常和重力異常垂直梯度數據作為共同輸入源獲得的多元迴歸分析的常數項與單元(重力異常/重力異常垂直梯度)輸入常數項雖然空間分佈特徵一致，但是其數值大小差異明顯。基於以上分析可以發現，聯合多元數據(重力異常和重力異常垂直梯度)並非簡單地將單元數據相加，進而驗證了聯合多元數據反演海底地形的有效性。最終基於多元迴歸分析技術，聯合多元重力數據構建的海深模型(圖 10)。為描述方便，將重力異常和重力異常垂直梯度構建的海深模型分別稱為BDG模型和BVGG模型，聯合多元重力數據反演得到的海深模型稱為BDVG模型。

圖 10 BDVG模型Fig. 10 BDVG model

圖選項

2.3 試驗結果精度分析

為進一步說明基於多元迴歸分析技術構建的海底地形模型與重力異常和重力異常垂直梯度構建的海底地形模型結果取算術平均的本質差異，將重力異常和重力異常垂直梯度構建的海底地形模型相加並取算術平均獲得的海底地形模型稱為BMDVG模型。比對評估BDG模型、BVGG模型、BDVG模型和BMDVG模型精度，以Smith and Sandwell發佈的最新海深模型V18.1 (簡稱S & S V18.1模型)和國際通用的ETOPO1模型作為比對參考，通過模型內插方法將模型海深值內插到外部檢核點處與檢核點測量海深進行差異比較，進而對各個模型展開精度的檢驗評估，各個模型的檢核統計結果見表 1。

表 1 海深模型檢核統計結果Tab. 1 Bathymetry model statistical results

表選項

表 1中各模型檢核統計結果顯示：與檢核點差值最大的海深模型是S& S V18.1海深模型，差值超過1300 m；ETOPO1海深模型值與檢核點的最大互差結果也較大，也超過了1000 m；BDG海深模型檢核差值為780 m左右。究其原因，筆者認為可能是因為差值結果最大值僅僅是單點比較結果，若測量點自身存在粗差，而在數據預處理粗差剔除階段未被發現，勢必會對海深模型的檢核統計結果產生影響。如分析檢核數據結果發現，各個模型差值較大值所共有的檢核點共3個，剔除這3個認為存在粗差的檢核點後的BDG模型、BVGG模型、BDVG模型和BMDVG模型檢核差值絕對值最大值分別為509.48、708、571.53和581.36 m。對比分析6種海深模型的檢核均方差表明：研究海域範圍內，檢核精度最優的是利用多元迴歸分析，聯合重力異常和重力異常垂直梯度數據構建的BDVG模型，其餘依次為BDG模型、BMDVG模型、BVGG模型、S & S V18.1模型、ETOPO1模型。其中本文構建的BDVG海深模型、BDG海深模型、BVGG海深模型和BMDVG模型檢核均方差結果優於S & S V18.1和ETOPO1模型。相較於ETOPO1模型，本文構建的4種海深模型檢核精度提高了近一倍有餘。S & S V18.1模型檢核精度與BVGG模型相當，低於BDG模型、BDVG模型和BMDVG模型。比對分析本文構建的4種海深模型(BDG模型、BVGG模型、BDVG模型和BMDVG模型)，聯合多元重力數據構建的BDVG模型相較於BDG模型和BVGG模型檢核精度分別提高了約2.87%和12.29%，BDVG模型相較BDG模型精度提升有限(不超過3%)，而較BVGG提升效果明顯。筆者認為產生該結果的原因：因試驗開始階段考慮重力異常和重力異常垂直梯度與海底地形頻譜相干性及轉換函數等因素而選擇的反演波段範圍所致。理論上講，重力異常垂直梯度主要反映高頻地形信息，即重力異常垂直梯度對高頻地形信息相比重力異常更加敏感，而本文反演波段範圍在45~160 km(高頻部分重力信息未充分利用)，該波段重力異常與地形符合較好，從而導致最終聯合多元重力數據構建的BDVG模型偏向於重力異常為輸入源構建的海底地形模型，重力異常垂直梯度在模型構建中對結果進行補充和修正，這也從側面體現了採用多元迴歸分析技術，聯合多元重力數據構建海底地形模型的優勢和意義。

不同重力數據反演結果取算術平均構建的BMDVG模型精度低於採用多元迴歸分析構建的BDVG模型，說明了雖然多元迴歸模型推導過程中將不同重力數據構建的海底地形模型相加並取平均，但是實際操作並非簡單地將反演模型權重各半，多元迴歸分析技術可通過自動調節偏回歸係數以獲得聯合多元重力數據構建海底地形模型的最佳係數組合。6種海深模型插值與檢核點的相關係數結果與檢核精度結果一致，6種海深模型插值與檢核點均表現出很強的相關性，ETOPO1海深模型插值與檢核點相關係數略低於另外5種海深模型。

進一步分析比對本文構建的4種海深模型，統計BDG模型、BVGG模型、BMDVG模型和BDVG模型不同差值範圍內檢核點個數，結果如圖 11所示。

圖 11 模型檢核差值統計Fig. 11 Each model checking statistics

圖選項

圖 11中4種海深模型不同檢核差值範圍檢核點數量統計結果顯示：隨著檢核差值增大，檢核點數量不斷減少，檢核差值小於50 m範圍內的檢核點數量較多。比對4種海深模型，檢核差值小於50 m左右範圍內，採用多元迴歸分析構建的BDVG模型檢核點數量明顯多於其他3種海深模型；檢核差值大於80 m左右，檢核點數量小於其他3種模型，反映了聯合多元重力數據，採用多元迴歸技術構建的海底地形模型優越性。比對BMDVG模型和BDVG模型檢核差值曲線可以發現，BDVG模型檢核差值小的檢核點數量多於BMDVG模型，進一步說明了本文提出的多元迴歸分析技術並非簡單將重力異常和重力異常垂直梯度反演海底地形模型權重各半。分析評價各個海深模型的模型效能，定義海深模型內插到檢核點並與檢核點海深的差值與檢核點海深之比為相對誤差，各個模型的相對誤差統計結果見表 2。

表 2 各模型相對誤差統計結果Tab. 2 Relative error of each model statistical results

表選項

表 2中各模型的相對誤差統計結果顯示：6種海深模型的相對誤差標準差最小為基於多元迴歸分析技術構建的BDVG模型，其標準差為4.69%；BVGG模型相對誤差標準差與ETOPO1模型相當。各模型相對誤差的標準差統計結果與檢核統計精度結果大致一致。其中BVGG模型、ETOPO1模型的相對誤差的絕對值最大分別為180%和159%左右，BDVG模型相對誤差的絕對值最大值在5種海深模型中相對較小，但也為49.91%。造成該結果的原因筆者認為與檢核差值統計結果類似，可能因為相對誤差絕對值最大值統計結果僅僅是反映檢核點中一個檢核點的統計結果，若因為原始測量或者其他因素造成該測量點本身存在測量粗差，又由於粗差剔除不徹底未發現該點導致反映在最終統計結果中，這樣將會對結果產生誤導。

另外，BVGG模型相對誤差平均值結果達到-1.51%，明顯比其他模型結果大，說明該模型存在明顯的系統性誤差。筆者認為原因在於：在本文反演波段範圍內重力異常相比重力異常垂直梯度而言與海底地形信息符合較好。重力異常垂直梯度主要反映高頻地形信息，從而導致以重力異常垂直梯度為輸入數據構建的BVGG模型存在較為明顯的系統性誤差。而本文提出採用多元迴歸分析技術，聯合重力異常和重力異常垂直梯度數據構建海底地形模型中，重力異常垂直梯度信息主要對模型進行補充和修正。如將重力異常和重力異常垂直梯度反演結果權重各半構建的海底地形模型(BMDVG模型)，檢核精度反而低於BDG模型，相對誤差平均值也達到1.04%，說明了該方法重力異常垂直梯度信息對模型的補償和修正不盡合理，從而進一步表明本文提出的採用多元迴歸分析技術與採用將重力異常和重力異常垂直梯度反演結果權重各半方法構建的海底地形存在本質上的差異。為更直觀地觀察不同海深模型的相對誤差狀況，將各模型相對誤差的空間分佈情況繪圖如圖 12所示。

圖 12 相對誤差空間分佈Fig. 12 Relative error distribution

圖選項

圖 12相對誤差的空間分佈圖中，各個模型相對誤差的空間分佈具有類似的特徵。如在(-37°S, 52°E)和(-38.5°S, 47°E)附近區域相對誤差值明顯大於其他區域，對比圖 10可知該區域有海溝存在，地形變化較為劇烈。通過多元迴歸分析建立的BDVG模型在這兩個區域的表現較好，相對誤差值較小，表明基於多元迴歸技術建立的BDVG模型穩定性能較單獨使用重力異常或者重力異常垂直梯度數據構建的海底地形模型較強。進一步評估分析5種海深模型在不同海深條件下的模型效能，比對不同水深環境下5種海深模型的相對誤差如圖 13所示。

圖 13 相對誤差隨海深分佈Fig. 13 Relative error change with sea depth

圖選項

從圖 13不同海深條件下相對誤差分佈可以看出：ETOPO1模型相較於其他5種模型相對誤差波動較大；海深低於1500 m的情況下，5種海深模型的相對誤差均開始發生較大波動。基於多元迴歸技術構建的BDVG模型在該水深範圍內，相比於BDG模型、BVGG模型和BMDVG模型相對誤差波動較小，且均勻分佈在零值附近，而BDG模型、BVGG模型和BMDVG模型均存在不同程度過低估計海深的情況，進一步驗證了利用多元迴歸分析技術，聯合重力異常和重力異常垂直梯度數據建立海底地形模型的優越性和科學性。BDVG模型在海深小於1500 m範圍內，相對誤差的波動幅度也較S & S V18.1低。基於以上分析可知，利用多元迴歸技術，聯合多元衛星測高重力數據構建的海底地形模型具有比僅僅以一種重力數據作為輸入建立的海底地形具有更高的精度和更好的穩定性，進一步證明了聯合多元重力數據構建海底地形模型的重要性和可行性。

2.4 地形地貌分析

以基於多元迴歸分析，聯合重力異常和重力異常垂直梯度數據構建的BDVG海深模型(圖 14)為基礎，分析研究試驗海域地形地貌特徵。圖 14清晰顯示了研究海域SWIR洋脊E-W斜向展布，同時能清晰觀察到試驗海區西部和東部(圖 14中Ⅰ和Ⅱ所示)的Indomed斷裂帶和Gallieni斷裂帶。進一步分析SWIR洋脊可以發現，洋脊段發育著大量近E-W斷裂，然而在(37.5°S，50.5°E)附近的洋脊段相比於毗鄰的洋脊段出現裂谷缺失現象，而南北兩側對稱發育著巨型隆起；同時文獻[35]也發現該段洋脊在50.5°E附近存在明顯的低磁異常帶，由此推測該洋脊段存在著激烈的岩漿活動，該洋脊段通常稱為27洋脊段，由東到西依次為28洋脊段和29洋脊段^[36]。

圖 14 BDVG模型Fig. 14 BDVG model

圖選項

進一步分析27洋脊段、28洋脊段和29洋脊段的地形走勢，沿SWIR洋脊方向(圖 14實線1)作3個洋脊段地形剖面，如圖 15所示。圖 15中從東到西分別為27洋脊段、28洋脊段和29洋脊段，大概對應圖中黑色、綠色和藍色方框位置。從圖 15可以看出，27洋脊段沿軸方向大約40 km沒有裂谷，然後沿東西方向海深均逐漸變深而重新出現裂谷。28洋脊段兩側水深依次增加，東側水深又迅速減小，地形抬升超千米過渡到27洋脊段；西側水深增加3500 m左右過渡到29洋脊段範疇。29洋脊段東西兩側水深均不斷增加，近似對稱分佈。28洋脊段和29洋脊段地形抬升部分為發育的軸部火山脊(axial volcanic ridges，AVRs)剖面。從圖 15可以看出，28洋脊段和29洋脊段在E-W方向呈脊槽現象，然而在27洋脊段脊槽分佈現象消失，往東又再次出現。在29洋脊段沿南北方向做地形剖面(圖 14中2號線位置)，結果如圖 16所示。由圖 16可知，29洋脊段南北兩側地形不對稱，呈現南高北低的地貌形態，而由於反演結果分辨率的限制，對於南北谷壁細緻的地質構造呈現不清晰。

圖 15 位置1剖面Fig. 15 Profile at position 1

圖選項

圖 16 29洋脊段剖面Fig. 16 29 ocean ridge profile

圖選項

沿圖 14中3號線做27洋脊段的地形剖面，結果如圖 17所示。結合圖 14和圖 17可以看出，27洋脊段沿軸兩側發育有呈對稱分佈的兩組共軛隆起，且向軸側坡度陡峭，離軸側坡度較緩，同時軸部火山活動明顯。文獻[37]研究了SWIR軸部的岩漿-構造旋迴，提出了軸部演化主要由岩漿活躍期和構造活躍期交替進行，文獻[36]也將其稱之為岩漿-構造動力學模式。岩漿活躍期，岩漿供應量充足導致建造成脊；構造活躍期，岩漿供應量較少，海底地形地貌主要由構造擴張所消化；所以岩漿-構造動力學模式本質上對應岩漿由多到少的供應週期。因此由岩漿-構造動力學模式，結合27洋脊段火山活動明顯特點，目前27洋脊段屬於岩漿活躍期階段，軸部兩側的對稱隆起推測是隨海底擴張遷移所致；同時27洋脊段軸部的對稱裂離也從側面驗證了目前該洋脊段岩漿供應充足，正是由於27洋脊段岩漿供應充足，從而削弱了構造活動在海底擴張中的影響。對比29洋脊段剖面圖(圖 16)，29洋脊段表現出了不同的裂離方式——非對稱裂離。究其原因，筆者認為可能是27洋脊段和29洋脊段分屬於不同的岩漿控制系統，圖 15中27洋脊段脊槽分佈模式與另外洋脊段存在差異也可作為側面驗證，因此可能存在其他疊加因素對27洋脊段產生相應影響。

圖 17 27洋脊段剖面圖Fig. 17 27 ocean ridge profile

圖選項

3 總結

本文提出了基於多元迴歸分析技術聯合多元重力數據的海底地形構建方法，選取南半球西南印度洋SWIR所在的部分海域開展研究試驗。首先依據試驗海域重力和海底地形的相干性分析結果，結合轉換函數在不同撓曲波長不同頻段的函數變化差異特點，獲得了依據試驗海域衛星測高重力數據反演海底地形的有效波段範圍。然後採用多元迴歸分析技術，聯合衛星測高重力異常和重力異常垂直梯度數據構建了相應的海底地形模型(BDVG模型)；並將BDVG模型與僅採用重力異常和重力異常垂直梯度作為輸入源建立的海底地形模型(BDG模型和BVGG模型)和將重力異常和重力異常垂直梯度反演海底地形結果分別權重各半建立的BMDVG模型以及S & S V18.1海深模型、ETOPO1海深模型進行了比對分析。最後，基於BDVG海深模型簡要分析了SWIR上27洋脊段、28洋脊段和29洋脊段的地形地貌以及地質構造特徵。

試驗結果表明，基於多元迴歸分析技術構建的海底地形模型檢核精度最高，相較於S & S V18.1模型和ETOPO1海深模型精度分別提高了11.51%和57.81%左右；水深2000 m以上海域，海深模型的檢核精度較高，相對誤差波動較小；水深小於1500 m的海域，海深模型的檢核精度下降較快，相對誤差波動較劇烈，反映了深海海域良好的反演效果。地形起伏劇烈海域和淺海海域，基於多元迴歸分析技術構建的BDVG海底地形模型相較於以重力異常和重力異常垂直梯度作為單一輸入源建立的BDG模型和BVGG模型相對誤差及相對誤差波動變化較小，反映了BDVG海底地形模型擁有更好的穩定性能，從而體現了聯合反演的必要性和優勢；另外基於多元迴歸分析構建的海底地形模型並非簡單地將反演模型權重各半，其可通過自動調節偏回歸係數以獲得聯合多元重力數據構建海底地形模型的最佳係數組合，而不需外部檢核點作為約束。27洋脊段是Indomed FZ—Gallieni FZ上唯一軸部缺失裂谷洋脊段；27洋脊段目前屬於岩漿供應充足階段，構造作用的海底擴張對其影響較小；同時27洋脊段的裂離方式為對稱裂離，沿軸分佈有南北對稱的地形隆起。

基於衛星測高重力數據構建的海底地形模型目前只能反映大尺度的地形地貌特徵，經前文對研究海域洋脊段的地形地貌分析可知，依據構建的海底地形模型可在一定程度上對海底地質構造演化展開推測演繹，進而熟悉瞭解目標海域的地質構造。最終若需要細緻瞭解該地區的地質構造特徵，可結合其他地質和水文等資料對目標海區開展更加深入的研究。

【引文格式】範雕, 李姍姍, 楊軍軍, 等. 利用多元迴歸分析反演西南印度洋區域海底地形. 測繪學報，2020，49(2)：147-161. DOI: 10.11947/j.AGCS.2020.20180526

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