雙木良子
我用最簡單小學生都能理解的方式來回答
首先你把現實世界和數學搞混了，你的題意是問現實中是否存在周長為整數10的圓形。那可以肯定的說沒有，現實世界也不可能存在。
我用孩子的思路給你舉個例子：
你有一把20米長的尺，你用它畫了條10米長的線，可是無論你用什麼筆什麼技術你都不可能畫到10米整的線。因為10在數學領域裡只是一個點，但是這個點在數學領域裡卻沒有大小，這個點沒有直徑沒有形體。
但是如果你的問題在數學領域，那麼周長為整數10是存在的。再給你舉個例子：
1÷3×3=1
可真的等於1麼？
1÷3×3=0.33333333……×3=0.999999……
我們都知道0.99999999不等於1
數學家為了解決這個問題發明了代數於是我們就有了
1÷y×y＝1
（為了讓大家能區分乘號我把x換成了y）
那麼在數學領域也就有了你所謂的周長為整數10的概念了。
零動力72298627
這個問題很有意思，我來回答一下。
如果對數學有興趣的朋友我推薦大家一本書，叫做《數學分析八講》，這本書是著名的蘇聯數學家、教育學家辛欽寫的，不厚，也幾乎沒有太多的公式，但是仔細讀一下就會對很多數學問題有醍醐灌頂一般的感受。
這個《數學分析八講》中的第一章就詳細說了什麼叫做“連續統”，尤其是關於無理數的概念——事實上無理數這個概念遠比我們想象的要複雜。
人類本質上只知道什麼是“整數”，這些數雖然無限多，但是是這個世界的一種非常明確的計量方法。而有理數就是通過這些整數構建出來的，表示為兩個整數的商。有理數雖然有無限多個，但是依然不能填滿整個數軸。
比如說我們常說的根號二（ √2）就是一個無理數，這個數不能表示為兩個整數的商。不過我們也可以說，其實根號二對我們來說並不是一個陌生的事物，因為根號二這個數字可以跟整數建立起來關係——也就是 √2* √2=2。而這些可以表示為整係數多項式的根的數叫做“代數數”。
從整數，到有理數，到代數數，我們似乎獲得了數不盡的“數”，但是這些數不盡的數就能夠把我們整個數軸填滿嗎？答案是：依然不能填滿。
我們依然可以從數軸上找到一些無理數，這些無理數不是任何整係數多項式的根——也就是我們沒有辦法把這些數通過我們已有的數——整數“構造”出來。比如說圓周率π，比如說一個神奇的數——e。
確實有這些數，但是你沒有辦法把他們跟任何的整數關聯起來，只能說，這是數軸上的一個數字，雖然我們不知道這個數具體是多少，又怎麼通過我們已知的數把這個數字表示出來，但是這個數字確實存在，他的大小近似是3.1415926……。
不可思議並且難以想象，但是這些不能表示但是又存在的數確實是實數的一部分的。
這些數字就是“超越數”，超越數跟代數數之間的加減乘除和各種運算、超越數互相之間的加減乘除和各種運算都被囊括在“實數”內。
比如說，10/π存在嗎？答案是，存在。這個數字就在數軸上，它的大小是
X.XXXXX
……這個數字的特點就是跟π相乘等於10，用這個數字作為圓的直徑的時候，圓的周長是10。
你可能會奇怪，一個無理數10/π跟另一個無理數π相乘，怎麼反而是一個有理數了？這個沒辦法，因為這個數字10/π確實存在，它的唯一定義就是：它是一個“跟π相乘結果等於10”的數，除此之外，沒有任何意義。你不要管這個數字你寫不寫得出來，有多奇怪的性質，但是它就是存在——這就是數學不講理、但是又符合邏輯的地方。
我們需要這個數，這個數字就出現了，我們只知道他在數軸上，但是除此之外對它一無所知——換句話，實數軸就是一個寶庫，我們可以從中找到各種我們需要的東西，因為實數軸是“連續的”，上面有任何我們需要的數。
甚至於你說數軸上有通過有理數、代數數、超越數加在一起還構造不出來的數嗎？這個其實我也不知道，你知道嗎？
所以說，對數學不能較真，或者說數學本來就是超越我們“直觀認識”的存在，有些時候只有定義，而沒有你能夠看到、感受到甚至於構造出來的“實體”。
航小北的日常科普
圓周率很早就被嚴格證明為是一個無理數，這意味著圓周率無法用分數表示，而它的小數點後是無限且不循環的。如果圓周率是擁有無數位不循環小數的無理數，那麼，圓的周長可以是有理數（比如整數）嗎？圓的周長又怎麼會是一個確定值呢？
從數學上能夠證明，任意一個圓的周長和直徑之比都是相等的常數，這就是圓周率。反過來，圓周率和直徑的乘積即為圓的周長：
C=πd
如果圓的直徑是有理數，那麼，它與無理數的圓周率相乘之後所得的圓周長必然為無理數。
另一方面，如果圓的直徑是某些特殊的無理數，那麼，圓的周長將會是有理數，甚至整數。只要直徑取以π為分母的數，例如，直徑取10/π，那麼，這個圓的周長為10，所以圓的周長不但可以為有理數，而且還能為整數。
雖然圓周率是算不盡的，但這並不意味著它是不確定的未知數。圓周率就是一個常數，它的數值是完全確定的，它可以在數軸上標註出來，這就像諸如根號2等無理數一樣，因為它們都是實數。既然圓周率是一個確定的常數，那麼，圓的周長自然也能夠依據直徑而確定下來。
需要強調的是，無論是在二進制、十六進制或者其他進制下，圓周率的無理數性質是不會改變的。而如果在π或者nπ進制下，圓周率成為了有理數。在這種情況下，圓的直徑和周長都只能是無理數。
在我們已知的宇宙中，時空本身的構造決定了圓周率就是這樣特殊的無理數。倘若平行宇宙存在，那裡的數學家或許會證明出圓周率是一個有理數，而他們所畫出的圓也很可能會不同於我們宇宙中的圓。
火星一號
首先糾正一個誤區，無限不循環小數，它也是一個確定大小的數，在數軸上可以把它標出來。比如根號2，就是邊長為1的正方形的對角線長度，它就有明確長度，可以用尺規作圖畫出來。
既然圓周率是確定大小的數，所以周長當然可以是整數，拿一條10釐米長的繩子圍成一個圓，周長就是10釐米，因此這個圓直徑就等於10/π釐米，直徑反而變成無理數。
對於題主的問題，只要求周長是整數，並沒有說具體單位，那就更好說了，隨便畫一條線，不管它有多長，比如8.12345釐米，我也可以說它長度就是“10”，隨便畫個圓，我也可以說周長是“10”。數學課上，老師也是經常畫一條線，說它長度是“1”。路程問題，兩地相距100公里，老師徒手畫直線，標上100km，它就代表100km
我還看到前面有網友說，因為無法畫出真正的圓，只能無限逼近，這世界不存在真正的圓，所以圓周率是無理數，云云。這也是完全搞笑的。數學是抽象的，圓的定義就是一個平面內到一個指定點（圓心）距離相等的所有點的集合，這個抽象定義，與你能不能準確畫出來，有一毛錢關係？按這邏輯，這世界也沒有真正的直線、垂直線、平行線。。。，因為你畫不出來嘛。
實際上畫不出真正的圓和直線，不妨礙我們做數學研究，我們考試時在草稿紙上，不也是徒手畫個圈，就當成圓然後進行計算嗎？因為這只是個示意圖啊。
小學數學試題：一個圓周長10釐米，直徑多少？答案當然是（10/π釐米）。難道你還能說：老師，這世界上不存在真正的圓，只能無限逼近，所以你的題目是錯的，我拒絕答題？！
圓周率是無理數、超越數，是這個數字本身的特質，是我們宇宙中的一個常數，不需要別的解釋，無論你能不能畫出準確的圓，π就是這麼大。我們構造一個數1.1011011101111....，這是一個無理數、超越數，它的存在也不需要任何解釋，它就是我憑空構造出來的，它也有確定的大小，你同樣可以在數軸標出它的位置。
tank72
首先，π確實是無理數，這點早已得到證明，懷疑π在很多很多位數開始循環的人可以歇歇了！關於π（其他無理數也是一樣），很多人經常有一個誤解，因為π是無理數（無限不循環小說），很多人會認為π是一個不固定的數或不準確的數！
其實並不是這樣的，π與自然數一樣，都是固定的準確的數，有些人可能會說，既然π是一個固定的數，為何寫不出來呢？
這就是思維的侷限性，完全可以寫出來，它就是π！固定的數並不一定非要用小數表示出來，同理，√2也一樣，它就是√2，一個固定的數。如果你非要用小數表示出來，有理數也並不定都能用小數表示出來，比如1/3，你能用小數表示出來嗎？0.333……，你寫到天荒地老也寫不完！
明白了這點，圓的直徑和周長是無理數還是有理數就不再有任何問題了！
舉個例子，隨便畫一條線段，可以肯定的是這條線段的長度肯定是固定的，這點毫無疑問，是固定的並不意味著一定是有理數，也可以是無理數，比如說理論上你完全可以畫出一條π釐米長的線段，但這並意味著你可以用尺子測量這條線段的精確長度！
比如，我們可以在數軸上畫出π釐米長的線段，當然你無法測量是否真的是π釐米，理論上肯定是存在的，這更多的意味著π對應著數軸上的一個點！
實際上，不要說測量π釐米長的線段，任何長度的線段我們都無法準確測量出，比如說1釐米的線段，你能準確地測量出1釐米的線段嗎？並不能，這就是數學概念和現實的差距，理論與實際的差距！
最後說一點，其實根本不用這麼繞來繞去的分析，只要明白一點，π與任何自然數一樣都是固定的數，這就足夠了，固定的數對應圓的周長或直徑都可以存在，不管是有理數還是無理數！
宇宙探索
這數學學得，我也是無語了。正常的邏輯是，如果有一個確定的長度比如1米做直徑，則圓周長要乘以π，所以是無理數。反之，如果將一個比如10米長的繩子，彎成一個圓周（當然是整數啊），則其直徑長度要由周長除以π，所以也是無理數。換句話說，圓直徑和周長可以一個是有理數，另一個是無理數，但不可能兩個同時是有理數。
姜冠亭
周長公式C=2πr，如果半徑是5/π那麼周長就等於10了，所有長度都存在，好比一個長度為10的軟皮尺可以圍繞出來任何形狀的周長。
實際上π是無理數，也就是說周長與直徑的比，那麼周長可測麼？根據測不準原理周長沒有準確數值。那麼直徑可測麼？也是測不準的，所以π也就成了無理數。
因為π是通過微分計算出來的，微分的周長不等於實際周長，但永遠在靠近實際周長，也就是這個數字π在不斷接近一個數值，所以π是無理數。
實際上說周長為10也只是理想的數值，好比數學有直線概念，數軸的概念，事實上都是理想模型，宇宙中並沒有直線，只有曲線，所以說宇宙沒有邊界，因為沒有直線，也沒有上下左右，也就不存在邊界了。
無理數就因為他是微分出來的，所以數值一直在變。
因為周長無法測量（測不準原理），所以我們把圓分成無數份後才接近實際周長。
法永禪師
哪用說那麼多。π是圓周長與直徑的比值，π是有理數還是無理數都不影響他的周長是否為有理數。簡單點說X÷Y＝π，那麼X可不可以是整數呢？當然可，以只要Y滿足1/π的整數倍即可。
Mrtwo666
可以是整數。比如10÷3=3.33333...一直3下去（相當於無限循環）。跟3.1415...一個道理。
用戶628680282845流氓
問題的說法是錯的！
π是無理數，沒錯。但π是無理數不能說周長也是無理數！比如半徑長度為1/兀，周長便為整數2，2不是無理數吧！
對於問問題也問不清的問題，別人怎麼回答你？
重新回到初中，老老實實、紮紮實實學習吧！也可能不現實，你可能沒時間，有時間別人也不一定同意。
建議找來初中數學，仔細閱讀+做習題，不懂的問問初中數學老師。問其他人沒太多用，一則別人可能忘記了，二則沒忘的其表述不一定你聽得懂。
反正要學習，否則腦殘會有後遺症！
數學是培養邏輯思維的重要課程，學好數學可幫助建立嚴密的思維體系。中學沒有邏輯學課程，青少年系統邏輯思維培養幾乎盡在數學中！！
