两千多年来，几何学的研究主要集中在欧几里得几何上。
正因如此，欧式几何中由直线或曲线、平面或曲面、平直体或曲体所构成的各种几何形状，一直是人类认识自然物体形状的有力工具，还是各种学科理论的基础。
以致于物理大佬伽利略断言：“大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他几何图形”。
但，真的是这样吗？
其实不然，数学课堂上学到的几何如三角形、四边形等都是理想的状态。
在现实中，云不是球体，山不是圆锥体，海岸线不是圆，树皮不是光滑的，闪电传播的路径也不是直线。
显然，面对这些不规则不光滑不连续的几何形体，“万能”的欧式几何并不管用的。
这些无法解释的现象，机智的数学家们早就发现了。但没办法，问题实在太怪异了，致使数学家们不得不花上一个世纪的时间来解决。
到底出现过哪些数学怪物
1872年7月18日，卡尔·维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）创造了第一个函数怪物： Weierstrass函数，狠狠打脸当时的数学家。
Weierstrass函数
要知道，当时大部分数学家认为除了少数特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。但Weierstrass函数却偏偏不走寻常路，在曲线上呈现“处处连续，处处不可微”。
无限迭代的Weierstrass函数
打破数学界一贯认知的不只是Weierstrass函数，还有皮亚诺曲线。
1890年，意大利数学家皮亚诺（Piano）构造了一条违反数学直觉的曲线，该曲线自身并不相交，但是它却能通过一个正方形内部所有的点。
皮亚诺曲线
换句话说，这条曲线就是正方形本身，拥有和正方形一样的面积。
但如此一来就有疑问了，曲线的数维是1维，正方形是2维，那这条曲线究竟是一维，还是二维？以后我们拿什么来区分曲线和平面？
填满正方形的皮亚诺曲线
这只突如其来的曲线，正式打响了分形几何研究的第一炮。
1904年，科赫在论文提出了一种周长比地球的直径要长的Koch雪花。
Koch雪花
一般而言，我们在测量非分形曲线时，都是将其放大到足够大，再用直线拟合一小段曲线，在一小段范围内取一阶泰勒展开，近似为直线，最后求总长度。
但这样的方法，对分形曲线根本行不通。因为你会发现，分形图案是无限迭代的，无论缩放到多小，细节总会不断地出现。
因此理论上来说，Koch雪花的周长是无限大，但有趣的是，他的面积是有限的，用一个稍大的圆就能把它完全盖住。
周长无限大的Koch雪花
当然，除了Weierstrass函数、皮亚诺曲线、Koch雪花之外，数学史上还涌现了很多奇奇怪怪的分形结构。
比如说，瓦茨拉夫·谢尔宾斯基在1915年提出的Sierpinski三角形、Sierpinski地毯。
Sierpinski三角形
Sierpinski地毯
还有PaulLévy在1938年提出的LévyC曲线。
LévyC曲线
可以说，每一次分形怪物的出现，都打破当时数学界的认知，让数学家们无可奈何。
分形理论是如何诞生的
无法被解决的怪物问题持续了一个多世纪，直至Benoit Mandelbrot的出现。1967年，刚刚萌生分形思想的他发表了题为《英国的海岸线有多长》的划时代论文。
此文一出，学界众说纷纭，其中就有不少反驳的声音，“憨憨，长度问题测量不就完事了吗？”
的确，长度问题就是要测量。但是Mandelbrot并不是要测出长度，而是想反映一个问题：任何人对于海岸线长度的答案，会因他们使用最小测量单位的不同从而得到不同的答案。
试想一下，当我们100公里为单位测量英国的海岸线长度，我们会使用到28个单位，也就是2800公里的答案；但如果把最小单位缩小至50公里，则会使用到68个单位，从而得到3400公里的答案，比前一个答案整整多出了600公里。
换言之，若用更小的测量单位，比如是原子，你将会得到一个无穷大的答案。
这也就是著名的“海岸线悖论”：一个有限的区域大不列颠岛，却有一个无限长的周长。
而为了详细描述这类重复的或者自身相似的数学图形，1975年，Mandelbrot正式提出了“分形”一词，并用醒目的计算机构建的可视化效果说明了他的数学定义。
利用加斯顿·朱利亚创立迭代理论和公式z = z² + c，通过高性能计算机对数字进行了成千上万次的运算和处理，最终成功绘制出一个魔鬼的聚合物/上帝的指纹。
Mandelbrot集
公式采用变量z和参数c，映射了复平面上的数值。其中x轴测量复数的实数部分，而 y 轴测量复数的虚数部分。
迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果。每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。
在Mandelbrot集中，你会明白分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。
可以说分形的核心就是自相似性，就是取任一部分进行适当放大，仍可得到与原来整个图形相似的图形，就相当于不断的克隆，一个比一个小，不停的重复下去。
正是此举，帮助数学家们彻底解决了困扰着大家N年的数学怪物，也让Mandelbrot成为了20世纪显赫有名的“分形理论之父”。
Benoit Mandelbrot
不同于2000多年历史的古典几何理论，从提出到如今，分形理论仅仅经历了40年。
它作为一种大自然复杂表面下的内在数学秩序，引起了人们审视世界的新视域，它的出现不仅填补了欧几里得几何两千多年来的空白，而且提供了新的描述自然的方式。
随处可见的分形理论
毫不夸张的说，分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
就连美国物理学家约翰·阿奇博尔德·惠勒也这么认为：“以后谁不了解分形理论，谁就不能称为科学的文化人。”
这次真不骗你，无论是生物学、天体物理，还是材料学、计算机学等等，几乎所有领域都有分形理论的身影。
先说前面提到的Sierpinski三角形，早些年就被应用在手机和wifi系统中。
原因很简单，分形天线的自相似结构使它们能够在一定频率范围内进行接收和发送。
还有，在计算机图像处理方面，分形的进展极大地丰富了计算机图形学的内容。
这其中，就包括对地理地形进行迭代建模，构建自然结构。
另外，分形甚至可以帮助计算机更好散热。
利用人体血管的分形图案，俄勒冈州立大学的工程师开发出可以被刻蚀到硅芯片中的分形图案，以使冷却液（例如液氮）均匀地流过芯片表面并保持其冷却。
又比如说，在医学上的分形应用。
很多时候，借助CT扫描和MRI机器等现代成像设备生成的大量的数据，即使是训练有素的专家，也没有办法又快速又准确弄清所有数据。
但有了分形理论就不一样了，因为人体内到处都是分形，我们可以使用分形数学来量化，描述和诊断，以达到治愈疾病的目的。
其中，我们可以根据健康肺和患病肺之间分形维数的不同，对疾病采取自动检测。
图片来源于哈佛大学Edwin L. Steele实验室
又比如说，在工程学上，工程师会采用分形理论构建高强度电缆，从而实现巨型悬索桥的建造。
图片来源于Bernard S. Jansen、Jonathan Wolfe
在上面的应用中，你看不到那些简单、完美的欧几里得几何形状，你能看到的只有复杂的分形。
有趣的是，复杂的背后，却又隐藏着局部和整体之间“自相似”的本质联系。
而数学之美就像不断被放大的分形，是令人兴奋、鼓舞人心的，并且我们一直在研究，一直在研究，看不到终点。
同时，看着这些妙不可言的分形动图，相信能称得上“分形之父”并不只有Mandelbrot一个人，还有在那座山上讲故事的老和尚。
从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，讲的是：从前有座山……
本文转自超级数学建模，转载仅供学习交流。
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