不可否認，中國古代的數學發展在兩宋時期達到巔峰，比如賈憲創立的求高次方程正根的“增開方法”，沈括研究的高階等差級數求和問題的“隙積術”。
還有沈括用來求弓形弧長的“會圓術”，秦九韶的“大衍總數術”與“正負開方術”等等。這些數學成就確實了不起，但與微積分學的誕生還相去甚遠。
在兩宋眾多的數學成就中，唯一能與微積分搭上邊的，可能就是沈括在數學研究中用到的極限方法。學過高數的人都知道，極限是微積分學的理論基礎。
而微積分中的極限指的是“極限理論”，它與我國古代極限方法有很大的區別。古代數學雖然涉及到了極限方法，但它與微積分的誕生還隔著數條鴻溝。
極限理論是初高等數學間的一條紐帶，它的發展是個漫長的過程。從古代的極限理論的萌芽到微積分的誕生，期間歷時近兩千年，經過了四個發展階段。
第一個發展階段就是公元前430年，古希臘演說家安提豐創立的安提豐極限理論。後人也將這一理論稱為“窮竭法”，這算是數學極限理論的萌芽階段。
第二個發展階段就是我國魏晉時期，劉徽提出的“割圓術”。他用增加圓內接正多邊形的邊數來逼近圓的方法求徽率，這正是安提豐極限理論的具體化。
南北朝時期的祖沖之在劉徽的基礎上，把圓周率精確到小數點後七位。但這僅僅是對極限方法的應用，包括宋朝在內，也未形成支撐微積分的極限理論。
第三個發展階段就是十七世紀，費爾馬和笛卡爾創立的解析幾何。眾所周知，解析幾何可將代數中的未知數變成變量，為微積分是研究變量變化的過程。
因此，微積分是解析幾何的發展。微積分的發展逐步脫離了解析幾何，由導數概念形成了完整的理論體系。微積分的基本定理是微積分體系形成的標誌。
牛頓和萊布尼茨就是微積分基本定理的發明者，這也是微積分誕生的第四個階段。微積分定理揭示了變量運動的基本規律，表明了變量客觀規律的聯繫。
由以上介紹，我們可以清楚的看到，從極限方法到極限理論，再到微積分的誕生，不是一蹴而就的，是一個逐漸發展的，各學科間相互聯繫的一個過程。
不光宋代數學中用到了極限方法，在距它一千年前的魏晉時期，劉徽就已用到極限方法來求圓周率。這能說劉徽已經觸摸到了微積分的門檻？顯然不能。
而這時的極限方法僅僅只是一種方法而已，遠遠沒有達到形成理論的程度。劉徽和祖沖之的這種“割圓術”，理論上沒有古希臘的“窮竭法”邏輯嚴密。
僅僅是便於實際應用。我國之所以沒形成完整的極限理論，主要是當時的生產工具比較簡單。機械運動以靜力學為主，幾何上只計算簡單的曲線和圓形。
數學還處於初等數學階段，社會生產力還沒有達到提出微積分思想的水平。每一種數學思想的提出都與生產力發展密不可分，到了兩宋時期也是如此。
阿基米德發展後的“窮竭法”在邏輯上非常完美，它被公認為微積分發展的鼻祖。極限是微積分中的一個重要概念，極限理論是微積分的一個理論基礎。
從初等數學發展到微積分，是數學量變積累到質變的過程，這一轉變過程的重點就是極限理論的發展。當然，微積分的誕生同樣離不開解析幾何的發展。
微積分的門檻是什麼？我覺得應該極限理論、解析幾何及生產實踐的需要。那麼，我們反過來再看，宋朝數學家真的提前300年觸摸到微積分門檻了嗎？
兩宋的數學成就確實很高，但將用到的極限方法，說成是夠到微積分的門檻，我覺得有些急功近利和不切實際。我們要用科學的眼光去看待古代數學成就。
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