本文將以比較嚴謹地方式為您講述廣義相對論中間的測量問題，接下來的講述比較燒腦，不喜的小夥伴可以繞行。
一、時間的形狀？
很多物理問題都能歸結為幾何問題，比如牛頓萬有引力，其實是通過行星運動的軌跡與地面物體圓周運動軌跡比較分析得到的。廣義相對論同樣如此，只是其中考慮的除了空間的幾何形狀之外，還有時間的幾何形狀。
時間有形狀嗎？這個還是真有。我們回憶經典力學中所有時間測量的方法，都可以歸結為對某種等週期性運動物體的軌跡測量，時間對應的是週期性運動物體在空間中的幾何位置，這就是牛頓力學中時間的幾何形狀。
在廣義相對論中，由於光速在真空中不變，物體的週期性運動軌跡也會受到運動速度的影響，所以實際觀測到的週期性運動物體的軌跡就與牛頓力學中的軌跡不同，自然時間的形狀也就不同。
討論時間的形狀，就是在討論在廣義相對論中的客觀測量的問題。測量也是物理與數學和哲學的最大區別，這一點，我在很多的科普文章中反覆強調，甚至曾經說過：“不能測量的物理學就是耍流氓”。
二、廣義相對論中的座標鍾與標準鍾
既然時間的測量是一個幾何問題，那麼我們就可以如同在經典力學中用三維座標系繪製一個週期性運動的軌跡那樣，在四維時空中繪製出一個週期性運動的軌跡，這就需要我們建立一個四維（三維空間+一維時間）座標系。
很抱歉，公式打不出來，只能在PS里弄好發圖片來描述了，後面的圖也都是這麼弄的。
與經典力學中的真實時鐘類似，在狹義相對論中，事實上的真實時鐘同樣是一個在慣性系中做等週期運動的物體所記錄的時間，我們把這個時間稱為這個慣性系的固有時間，即靜止於這個參照系中觀察者所親身經歷的時間。我們可以把這個時間用下圖中的表達式表示。
從公式中我們可以看出，這個時間與觀察者的世界線長度成正比。由於s與τ（相對論中的時間t習慣用字母τ來標記）都是標量，所以世界線長度s和固有時間τ都不依賴於座標系的選擇，換句話說，就是它們在座標變換下不變。
在廣義相對論中，根據等效原理，可對時空中任意觀察者A引入相對於他瞬間靜止的局部慣性系B並仿照狹義相對論，定義靜止在B中的“真實時鐘”為標準鍾，它所記錄的時間為慣性系B的固有時間。
設LA為任意觀察者A的世界線，當A在P點時，相對於他瞬間靜止的局部慣性系的世界線為LB，LA、LB在P點相切。從狹義相對論可以得到，慣性系B的固有時間為下圖中的公式。
從微分幾何中我們可以知道，在一點的鄰域，曲線LA的線元dsA與其切線的線元dsB相等（物理學中的線元不是數學中的抽象的無窮小量，可以是世界線的在P點的鄰域區間），所以我們可以定義觀測者A，觀測者A可以不是慣性觀測者，其固有時間正比於A的世界線長度，可以用下圖的公式表達。
因此，對於彎曲時空中的任意觀察者來說，其時鐘的讀數都與自己的世界線長度成正比。該時鐘就是它的
標準鍾，這個鍾所記錄的時間就是其固有時間。並且，在其世界線上的任意一點的固有時間都與該點的瞬間靜止局部慣性系的固有時間相等。
從上面的分析我們可以得到這樣的結論：“隨著觀察者A一起運動的鐘和A的瞬間靜止局部慣性系的鐘都可以作為A的標準鍾來記錄他的固有時間。但前者只是一個單一的鐘，可以連續 記錄A的固有時間，而後者可以有無窮多個鐘組成，每一個只在一個時空點的鄰域，記錄A在那一瞬間的固有時間。”
三、座標時間與固有時間的關係
在黎曼空間中，可以用二次型如下圖中的公式來定義空間中相鄰兩點間的距離ds(即線元）。這裡的距離是一個標量（不變量），與座標系的選擇無關。
從圖中的公式中我們可以得到，對於某個靜止的觀察者，他的座標時間與固有時間之間的關係，可以用下圖中的式子來表達。
從公式我們可以看出，在非笛卡爾座標系中，同一時空中點的固有時間一般不等於座標時間。
四、座標時間與固有時間的物理意義
第一、座標時間是虛構的時間，僅在計算中有用，具有理論意義，但無法直接測量。標準時間才是真實時間，有測量意義的是標準鍾所記錄的固有時間不是座標時間。但固有時間僅有局部意義，在大範圍的時空中，有意義的是座標時間。
第二，任何做週期性運動的物體都可以作為標準鍾。標準鍾可以在彎曲時空中沿著任何類時世界線運動，並通過自身的讀數把世界線參數化，它所記錄的固有時間就是它的世界線長度。
五、座標時間和固有時間對GPS的影響
從前面的介紹我們知道，任何一個觀察者所持有的鐘的讀數正比於自己的世界線的長度，在地球表面的物體與在軌道上GPS導航衛星的世界線是不同的，所以它們都有各自的座標鍾。這也就意味著，如果要想讓GPS能夠準確地確定地球上某一點的位置，就必須對時鐘進行相對論修正。
在設置GPS上的時鐘時，要同時考慮到廣義相對論和狹義相對論的影響。這兩種相對論的效應會部分疊加，但不會完全抵消。根據廣義相對論，一束在一個重力場中向下下落的光的頻率會變高；而一束上升的光的頻率則會變低。
衛星時鐘顯示的時間會通過原子的振盪頻率描述出來。由於在20000公里的高度上的重力只有在地球上的大約四分之一，因此人們在地面上會接收到一個更高的頻率：重力越小，也就是說距離地球越遠，時鐘走得就會越快。在GPS衛星上，時間會縮短大約一千億分之五十三。這樣，一個衛星時鐘每年就要少走大約千分之十七秒。
由於狹義相對論，這個數值會變小一些。因為沒有任何物體的運動速度能超過光速，所以在運動的座標系中的時間就會走得慢一些。當一束光從一個運動的發射裝置中發射出去並被一個靜止的接收器接收到時，這束光的頻率就會變低。時間膨脹會讓以每秒大約4公里的速度圍繞地球飛速旋轉的衛星上的時鐘走得慢一些。具體來說，這些時鐘會變慢大約一千億分之八，也就是每年大約變慢千分之三秒。
為了校正相對論造成的影響，GPS衛星上的時鐘必須變慢大約一千億分之四十五。經過相對論比較，只要把這個數值設置為1022.9999995326赫茲。如果沒有這個校準過程，在每秒鐘的長度測定中就會出現480米的誤差。
當美國人在1978年2月22日把他們的第一顆GPS衛星送入衛星運行軌道時，衛星上的那些原子鐘沒有考慮相對論效應的影響。這樣造成的後果是，這些極其精確的時鐘走得這樣的不準，以至於在一天之內就出現了超過11公里的錯誤。
好在這些美國人採取了相應的預防措施，並在問題出現之後激活了修正系統。這樣，在所有後來的衛星中，就都考慮到了下面的事實：在大約20000公里的高度上和14000 km/h的速度下，時鐘會與地球上的時鐘走得不一致。
結束語
本文用比較嚴謹的方式介紹了廣義相對論中的標準時間和固有時間的概念，並以GPS為例，對這兩種時間在具體的應用中需要修正和調整的過程進行了介紹。我們看到，不論是廣義相對論還是狹義相對論，都經受住了實際應用的考驗，是一種很精確的物理理論。
歡迎關注 ，物理專業科普作者，為愛好者答疑解惑，為科學代言，持續輸出高質量的科普文章。如果您對物理學很有興趣，更希望能夠了解有關物理學研究的目的和方法，那麼我的專欄《物理的門道》就非常適合您，歡迎訂閱。
閱讀更多 郭哥聊科學 的文章
