「中考复习」相似三角形的综合题，寻找比例关系等比代换是关键

在中考综合题中，注意相似知识的灵活运用，尤其能通过相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来，并熟练掌握等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力.

【题目呈现】

1.如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点(DP

(1)求证:AD²=DP×PC;

(2)请判断四边形PMBN的形状，并说明理由;

(3)如图2，连接AC，分別交PM，PB于点E，F.若DP/AD=1/2，求EF/AE的值.

【分析】(1)见乘积式化比例式，三点定型法确定相似三角形，∵∠APB=90°，∠D=∠C=90°，是一线三直角模型，易证△ADP∽△PCB，∴AD/PC=DP/BC，而BC=AD，可得AD²=DP×PC.

(2)四边形PMBN为菱形，理由:∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P，∴∠APD=∠APM，∵CD∥AB，∴∠APD=∠PAM，∴∠APM=∠PAM，∵∠APB=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∠APM+∠BPM=90°，∴∠PBA=∠BPM，∴PM=MB，又易证四边形PMBN为平行四边形，∴四边形PMBN为菱形.

(3)∵DP/AD=1/2，可设DP=a，AD=2a，由AD²=DP×PC，得PC=4a，∴DC=AB=5a，∵∠APM=∠PAM，PM=AM，∵PM=MB，∴AM=MB=5a/2，易证△BFA∽△PFC，∴AF/CF=AB/CP=5a/4a=5/4，∴AF/AC=5/9，同样易证△MEA∽△PEC，∴AE/CE=AM/CP=(5a/2)/4a=5/8，∴AE/AC=5/13，∴EF/AC=AF/AC一AE/AC=5/9一5/13=20/117，∴EF/AE=(EF/AC):(AE/AC)=(20/117):(5/13)=4/9.

第三问也可这样做:过点F作FG∥PM，交MB于点G，如下图:

还设DP=a，AD=2a，由AD²=DP×PC，得PC=4a，则DC=AB=5a，MA=MB=5a/2，易得△PFC∽△BFA，∴PF/BF=CP/AB=4/5，∵FG∥PM，MG/BG=PF/BF=4/5，∴MG/MB=4/9，∵AM=MB，∴MG/AM=4/9，∵FG∥PM，∴EF/AE=MG/AM=4/9.(这里，利用AM=MB，成功地转化出MG/AM=4/9，从而得到EF/AE).

2.如图①，平行四边形ABCD中，AB=AC，CE⊥AB于点E，CF⊥AC交AD的延长线于点F.

(1)求证△BCE∽△AFC;

(2)连接BF，分别交CE、CD于G、H(如图②)，求证:EG=CG;

(3)在图②中，若∠ABC=60°，求BC/GF.

【分析】第(1)问不难，抓住AB=AC这一条件，得∠EBC=∠ACB，而由四边形ABCD是平行四边形，易得∠ACB=∠CAF，∴∠EBC=∠CAF，则Rt△BCE∽Rt△AFC.

(2)看上去无从下手，我们从结论分析，要证EG=CG，由于AB∥CD，须证△BGE≌△HGC，这里角的条件够用，须找一组边相等，考虑到EG=GH与条件联系太远，须证BE=CH，而条件中只有平行线，AB=AC，须用相似的知识，用形式a/b=c/d，若b=d，则a=c，或a=c，则b=d，那么相似比例关系又从何写起呢？我们想到第(1)问的结论，△BCE∽△AFC，则BE/AC=BC/AF，这里有线段BC，而要证BE=CH，所以想到△DHF∽△CHB，则CH/DH=BC/DF，观察两个比例式并分别变换，由BE/AC=BC/AF→BE/BC=AC/AF=AB/AF，由CH/DH=BC/DF→CH/BC=DH/DF，则只须证比例式的右边相等即可，即AB/AF=DH/DF(这里AB等量代换AC很关键)，观察图形，又AB∥CD，∴△HDF∽△BAF，∴AB/AF=DH/DF，从而BE/BC=CH/BC，∴BE=CH，接下来易证△BGE≌△HGC，∴EG=CG.

(3)相对容易，可得△ABC是等边三角形，∵CE⊥AB，∴BE=AE=AB/2，∵BE=CH，AB=CD，∴CH=DH=CD/2=AB/2，∵AB∥DH，∴BH=FH，由(2)知BG=GH，∴BG:GF=1:3.

【总结】证明两条线段相等，有好多方法，当条件较少，好多定理无法运用时，考虑用相似法，用上边介绍的形式，而寻找比例关系相等代换往往是关键的环节，望同学们体会。