Mathematica直观输入表达式及执行结果为：
表达式文本直接输入格式的表达式为：
<code>A=ImplicitRegion[x^2+y^2==z^2&&x+y==2 z-1,{x,y,z}];
cone=ContourPlot3D[x^2+y^2==z^2,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3},Mesh->None,ContourStyle->Opacity[0.2]];
Show[{cone,DiscretizeRegion[A,MeshCellHighlight->Red]}]/<code>例：绘制立体半心形表面与实心半心形图形.
Mathematica直观输入表达式及执行结果为：
五、区域组合与几何度量值的计算
Mathematica中创建的区域还可以进行区域间的运算并直接计算区域的几何的度量值（长度、面积、体积、几何中心等），即在区域上的积分对应的几何意义所得到的一些数值。具体的操作命令包括：
- 区域间的运算：RegionBoundary（获取区域的边界）、RegionUnion（区域并）、RegionIntersection（区域交）、RegionDifference（区域差）等.
- 几何度量值：ArcLength（弧线长度）、Area（区域（表）面积）、Volume（立体的体积）、Perimeter（平面区域的周长）、RegionCentroid（几何中心，形心）、RegionMeasure（自动根据区域类型给出度量值，分别为计数（零维，点集），长度（一维），面积（二维），体积（三维）和勒贝格测度）等。
例：定义中心轴从点(0,0,0)到(2,0,0)，半径为1的圆柱体和球心分别在(0,0,0),(2,0,0) 、半径都为1的两个球体区域，组合显示三个区域图形；通过区域运算得到三个区域的并和圆柱体减去两个球体的区域，并计算组合得到的区域的体积.
在Mathematica中输入表达式：
<code>A = Cylinder[{{0, 0, 0}, {2, 0, 0}}, 1];
B1 = Ball[{0, 0, 0}, 1];
B2 = Ball[{2, 0, 0}, 1];
Graphics3D[{B1, B2, Opacity[0.9], A}]
capsule1 = RegionUnion[A, B1, B2];
capsule2 = RegionDifference[RegionDifference[A, B1], B2];
{Volume[capsule1], Volume[capsule2]}/<code>执行后的结果显示如图所示
并获得两个区域的体积为{10Pi/3,2Pi/3}，即并为圆柱体的体积和两个半球的体积之和，差为圆柱体的体积减去两个半球体的体积.
例：定义底面中心点在原点，半径为3，顶点为(0,0,3)的圆锥体区域，并计算它的体积、表面积与形心.
在Mathematica中输入表达式：
<code>A=Cone[{{0,0,0},{0,0,3}},3];
B=RegionBoundary[A];
{Volume[A],Area[B],RegionCentroid[A]}/<code>执行后的结果为
其中Volume和Area也可以替换为RegionMeasure，Mathematica会自动根据区域类型得到相应的立体的体积和表面的面积.
例：计算抛物线y^2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积.
采用区域交运算操作定义曲线围成区域并计算面积，输入的Mathematica表达式为：
<code>A=RegionIntersection[ImplicitRegion[y^2<=2x,{x,y}],ImplicitRegion[y>=x-4,{x,y}]]Area[A]/<code>执行后的显示的结果为
即区域定义运算的结果的等价区域描述形式，并显示曲线所围平面区域面积为18。
例：求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积与表面积.
输入的Mathematica表达式为
<code>A=ImplicitRegion[x^2+y^2<=R^2&&x^2+z^2<=R^2&&R>0,{x,y,z}];
B1=ImplicitRegion[x^2+y^2<=R^2&&x^2+z^2==R^2&&R>0,{x,y,z}];
B2=ImplicitRegion[x^2+y^2==R^2&&x^2+z^2<=R^2&&R>0,{x,y,z}];
B=RegionUnion[B1,B2];
{Volume[A],Area[B]}/<code>执行后的显示的结果为
六、多元函数积分的计算
下面以实例的形式给出Mathematica中直接以区域范围方式直接计算多元函数的积分。
例（二重积分） 计算二重积分
输入Mathematica表达式并执行后显示结果为：
输入Mathematica表达式执行后显示结果为:
输入Mathematica表达式执行后计算得到结果为
输入Mathematica表达式为
<code> = ImplicitRegion[x^2 + y^2 + z^2 == R^2 && x + y + z == 0, {x, y, z}]Assuming[R > 0, Integrate[x^2, {x, y, z} \[Element] A]]/<code>计算得到结果为(2Pi R^3)/3.
(1) Mathematica中输入表达式计算后得到的结果为
(2) Mathematica中输入表达式执行后得到的结果为
Mathematica中输入表达式执行后计算得到的积分结果为
输入的Mathematica表达式及计算结果为
小结
以上对数学软件Mathematica中如何定义积分区域直接计算多元函数积分的思路、方法和具体操作进行了详细的分析与探讨。从应用范例中可以直观看到，这种计算多元积分的方法对于日常积分计算思路、方法与结果正确与否的验证提供了一个非常方便、快捷、有效的方式。
不过值得注意的是，对于重积分、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分，既使积分范围不具有统一的描述形式，一般也可以直接通过多个区域的定义来一次性积分得到结果；但是，对于对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，对不具有统一数学描述形式的积分曲线或曲面，由于切向量与法向量计算使用的方程不同，可能需要基于积分对积分曲线或曲面的可加性，通过分割积分范围单独计算子范围上的积分并求和来实现。同时，并不是所有的积分的计算都可以通过这种方式来计算得到结果，对于一些复杂的积分可能需要事先进行一定的数学处理，如被积函数的变换，积分类型的转换等操作以后才能完成计算。也就是说，要想让计算机正确高效的帮助我们解决问题，一定的数学基础和必要的数学能力必不可少。
另外，在Mathematica中除了可以直接在区域范围上计算积分之外，区域也可以直接作为求解方程、最优化、求解偏微分方程的约束条件直接计算需要的结果。更多操作可以参见Mathematica的帮助文件相应的主题，欢迎Mathematica爱好者投稿交流软件使用和应用心得体会与分享使用经验与应用案例。 投稿是否采用一般一周内给予回复，也可以通过邮箱或微信查询！
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