考點二 命題及其關係、充分條件與必要條件
知識梳理
1．命題的概念
可以判斷真假、用文字或符號表述的語句，叫作命題．其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題．
2．四種命題及相互關係
(1) 四種命題
命題
表述形式
原命題
若p，則q
逆命題
若q，則p
否命題
若非p，則非q
逆否命題
若非q，則非p
(2) 四種命題間的逆否關係
3．四種命題的真假關係
(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關係．
4．充分條件與必要條件
(1)如果p⇒q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，則p是q的充要條件．
(3) 如果pq，qp，那麼稱p是q的充分不必要條件．
(4) 如果qp，pq，那麼稱p是q的必要不充分條件．
(5) 如果p q，且qp，那麼稱p是q的既不充分也不必要條件．
典例剖析
題型一 四種命題及其相互關係
例1 命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是( )
A．“若一個數是負數，則它的平方不是正數”
B．“若一個數的平方是正數，則它是負數”
C．“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”
D．“若一個數的平方不是正數，則它不是負數”
答案 B
解析 將原命題的條件與結論互換即得逆命題，故原命題的逆命題為“若一個數的平方是正數，則它是負數”．
變式訓練 命題“若x，y都是偶數，則x＋y也是偶數”的逆否命題是( )
A．若x＋y是偶數，則x與y不都是偶數
B．若x＋y是偶數，則x與y都不是偶數
C．若x＋y不是偶數，則x與y不都是偶數
D．若x＋y不是偶數，則x與y都不是偶數
答案 C
解析 由於“x，y都是偶數”的否定表達是“x，y不都是偶數”，“x＋y是偶數”的否定表達是“x＋y不是偶數”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數，則x，y不都是偶數”，故選C.
解題要點 1.寫一個命題的其他三種命題時，需注意：
①對於不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；
②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．
2.一些常見詞語的否定
詞語
是
相等
>
<
都是
都不是
否定
不是
不相等
≤
≥
不都是
至少有一個是
例2 有下列幾個命題：
①“若a＞b，則a2＞b2”的否命題；
②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的逆命題；
③“若x2＜4，則－2＜x＜2”的逆否命題．
其中真命題的序號是________．
答案 ②③
解析 ①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，錯誤．
②原命題的逆命題為：“若x，y互為相反數，則x＋y＝0”，正確．
③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，正確．
變式訓練 下列有關命題的說法正確的是________．(填序號)
① 命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”；
② 若一個命題是真命題，則其逆命題也是真命題；
③ 命題“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“對任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；
④ 命題“若x＝y，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題．
答案 ④
解析 命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，所以①不正確；原命題與逆命題不等價，所以②不正確；命題“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“對任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，所以③不正確；命題“若x＝y ，則sinx＝siny”是真命題，所以逆否命題為真命題，④正確．
解題要點 1.判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例．
2.根據“原命題與逆否命題是等價的，逆命題與否命題也是等價的”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假．
題型二 充分條件與必要條件
例3 已知p：“a，b，c成等比數列”，q：“b＝”，那麼p是q的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 D
解析 若a，b，c成等比數列，則有b2＝ac，所以b＝±，所以充分性不成立．當a＝b＝c＝0時，b＝成立，但此時a，b，c不成等比數列，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要條件．
變式訓練 在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sin A≤sin B”的 ( )
A．充分必要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件
答案 A
解析 由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑)⇔sinA≤sinB．
例4 設函數f(x)＝log2x，則“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)條件．
答案 必要不充分
解析 因為f(x)＝log2x在區間(0，＋∞)上是增函數，所以當a>b>0時，f(a)>f(b)；反之，當f(a)>f(b)時，a>b.故“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的必要不充分條件．
變式訓練 設x∈R，則“x>1”是“”的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由不等式得，即或，所以由可以得到不等式成立，故充分性成立；但由不一定得到，所以必要性不成立，即“x>1”是“”的充分而不必要條件．
解題要點 1．充要條件問題應首先弄清問題中條件是什麼，結論是什麼，再進一步判斷條件與結論的關係，解題過程分為三步：①確定條件是什麼，結論是什麼；②嘗試從條件推結論，從結論推條件；③確定條件和結論是什麼關係．
2．充要條件的三種判斷方法
(1) 定義法：根據pq，qp進行判斷；
(2) 集合法：根據p、q成立的對象的集合之間的包含關係進行判斷；
(3) 等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．
當堂練習
1. 設p：11，則p是q成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當11，得x>0，∴qp，故選A.
2．設, 則 “”是“”的 ( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由(a－b)a2<0⇒a≠0且a
由a
3．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是( )
A．若α，β垂直於同一平面，則α與β平行
B．若m，n平行於同一平面，則m與n平行
C．若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線
D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直於同一平面
答案 D
解析 對於A，α，β垂直於同一平面，α，β關係不確定，A錯；對於B，m，n平行於同一平面，m，n關係不確定，可平行、相交、異面，故B錯；對於C，α，β不平行，但α內能找出平行於β的直線，如α中平行於α，β交線的直線平行於β，故C錯；對於D，若假設m，n垂直於同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項，故D正確．
4．已知i是虛數單位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的 條件．
答案 充分不必要條件
解析 當a＝b＝1時，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；
當(a＋bi)2＝2i時，得
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要條件．
5.U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅” 條件．
答案 充要條件
解析 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，則可以推出A∩B＝∅；
若A∩B＝∅，由Venn圖(如圖)可知，存在A＝C，同時滿足A⊆C，B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要條件．
課後作業
選擇題
1．下列語句中命題的個數是( )
①2<1；②x<1；③若x<2，則x<1；④函數f(x)＝x2是R上的偶函數.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件．
3．“1
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
4．設p：x<3，q：－1
A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 ∵x<3－1
5．下列結論錯誤的是( )
A．命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件
C．命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆命題為真命題
D．命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”
答案 C
解析 C項命題的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0”．若方程有實根，則Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命題，故選C.
6．若m∈R, 命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0
答案 D
解析 原命題為“若p，則q”，則其逆否命題為“若q，則p”．
∴所求命題為“若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0”．
7．已知命題p：若x＝－1，則向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為( )
A．0 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 向量a，b共線⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，
∴命題p為真，其逆命題為假，
故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為2.
8．設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分條件．
二、填空題
9．x≠3或y≠5是x＋y≠8的____________條件．(選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
答案 必要不充分
解析 設p：x＝3且y＝5，q：x＋y＝8，顯然p是q的充分不必要條件，
∴p是q的必要不充分條件，即x≠3或y≠5是x＋y≠8的必要不充分條件．
10．“若a≤b，則ac2≤bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數是________．
答案 2
解析 其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題．
11．(1)“x>y>0”是“
(2) 設a，b∈R，則“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的________條件．
答案 (1)充分不必要 (2)充要
解析 (1)
即x>y>0或y
所以x>y>0 ⇒
所以是充分不必要條件．
(2) 構造函數f(x)＝x|x|，則f(x)在定義域R上為奇函數．
因為f(x)＝所以函數f(x)在R上單調遞增，所以a＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.
所以是充要條件．
12．下列命題：①“若k＞0，則方程x2＋2x＋k＝0有實根”的否命題；②“若＞，則a＜b”的逆命題；③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題，其中是假命題的是________.
答案 ①②
解析 對於①其否命題為“若k≤0，則方程x2＋2x＋k＝0無實根”，為假命題；②的逆命題為“若a＜b，則＞”，為假命題；③中原命題為真命題，故其逆否命題也為真命題.
13．“m
答案 充分不必要
解析 x2＋x＋m＝0有實數解等價於Δ＝1－4m≥0，
即m≤，因為m
故“m
