简单的事情考虑得很复杂，可以发现新领域；把复杂的现象看得很简单，可以发现新规律。——艾萨克·牛顿（物理学家、数学家）
艾萨克·牛顿 | 画像
☞由此可见，在解决复杂的问题时，需要我们把复杂的问题进行简单化处理，化繁为简，更有助于我们发现解决问题的规律。
历史上，阿普拉求解“鸭梨型”灯泡的体积问题，放到当今时代，实际是就是小学教科书五年级（下）要求掌握的“求不规则物体的体积”这一知识点。
下面将从分析阿普拉未成功求解之谜；深入剖析小学生认知发展规律；以及结合古今案例，用化归思想快速解决复杂问题化繁为简，并有效解决的方法，逐一展开。
分析阿普拉未成功求解“鸭梨型”灯泡体积之谜
☞一、从历史上，阿普拉求解“鸭梨型”灯泡体积的故事谈起
阿普拉求解“鸭梨型”灯泡体积，是大家耳熟能详的故事，甚至在一些小学教科书上也介绍这个故事。每当谈到阿普拉时，就不得不提及灯泡发明大王爱迪生。其实，阿普拉的学历很高，他大学毕业于普林斯顿大学数学系，是爱迪生的得力助手。
爱迪生的得力助手 | 阿普拉
正是由于阿普拉自认为自己的学历高，难免有些骄傲，于是便会在日常工作时炫耀自己的学识。爱迪生为了让他保持谦虚、谨慎的工作作风，于是就给阿普拉出了这道历史难题，让他去求解“鸭梨型”灯泡的体积是多少。
“鸭梨型”灯泡的体积是多少？
☞二、未成功求解“鸭梨型”灯泡体积之谜，得以解开
- 阿普拉拿到灯泡后，还是信心满满，凭借自己的大学数学专业知识，采取用直尺测量灯泡的详细数据，画灯泡图纸，标记每一个数据，可计算了好久，都始终没有成功计算出这个灯泡的体积。
- 我们学过的规则物体，包括长方体，正方体，圆柱体，圆锥体等。为什么，这么说？规则物体，是指具有明确的计算公式。只需找到必要的计算数据，代入公式，便可迎刃而解。但是，不规则物体，并没有明确的计算公式。显而易见，需要在分析的基础上，采取有针对性的方法进行推算。
- 通过对阿普拉的采取的计算方法进行分析，我们不难看出，他并没有认真分析灯泡的特点，认真总结出“鸭梨型”灯泡实际上就属于“不规则物体”，不规则物体的体积仅仅单纯靠复杂的数据计算，是很难计算得出。
- 总而言之，阿普拉是把计算灯泡体积的计算问题复杂化了。换句话说，就是他没有采取数学上有效的化归方法去解决这个问题。于是，我们不难得出结论：阿普拉未能求解灯泡体积之谜就是没有采取化归方法来解决，把简单的问题复杂化，走上了一条“相反的道路”，化简为繁，使得自己距离“目的地”渐行渐远。
相反的道路
生活学习中，结合学生的特点，分析为什么我们的孩子也会出现诸如阿普拉这样的问题
☞一、小学生也存在把简单问题复杂化的问题
鉴于“求不规则物体的体积”属于我们小学五年级（下）的数学知识，这里我们以小学五年级学生作为分析的样本。在日常的教学中，时常会发现，五年级学生在解答数学问题时，也不同程度的会出现诸如阿普拉把简单的问题复杂化类似这样的问题：
1.题目给定的是长方体，要求学生只需计算底面积时，结果学生却复杂化，把六个面的面积全部计算一遍。
2.分数加减法口算题，很简单的题目可以直接出结果，反而学生们需要动笔去计算。
☞二、深入分析小学生易把简单问题复杂化的原因
1.根据著名发展心理学家让·皮亚杰的认知发展理论来分析
发展心理学家 | 让·皮亚杰
皮亚家把人的认知发展过程当作是认知结构的发展过程，因而他以人的认知结构作为划分依据，把人的心理发展阶段进行了区分，分为四个阶段。
心理发展阶段流程图
这四个阶段及其对应的阶段特点分别是：
（1）感知运动阶段：〔0——2岁左右〕
（2）前运算阶段：〔2——5、6岁〕
（3）具体运算阶段：〔6、7岁——11、12岁〕
（4）形式运算阶段：〔11、12岁及以后〕
由此，我们不难发现，小学五年级学生的年龄大致在11——12岁，根据皮亚杰的认知发展理论，恰好处于具体运算阶段。
人的认知发展四阶段
- 这个阶段学生的特点是：具有借助具体的对象，可以进行简单的通过运算性（也就是逻辑性）分析来思考问题的能力；除此之外，也具备了理解物质的守恒性（例如水与冰，其实是一种物质）。
- 但由于，五年级学生的运算性（逻辑性）的思维活动，还需要借助具体内容来提供支持。因而，就会出现运算性与具体内容之间的矛盾。
- 当运算能力＜具体内容，简单来讲就是运算能力差，仅仅局限于问题本身，就会出现学生只会列式，但不会计算的问题。当运算性＞具体内容，简单来讲就是运算能力强，借助具体内容的能力差时，就出现了注重计算，忽视问题的现象。就像阿普拉一样，拿到灯泡时，首先不是分析灯泡的特点，而是直接测量数据，画图纸，数据计算，从而也就造成了“简单问题复杂化”的原因 。
☞小结
通过分析得出，巧用化归思想，把复杂的问题简单化，就成了学生们应该掌握的重要数学方法。除此之外，在学习之路上，也会起到事半功倍的效果。
结合古今案例，巧用化归思想，化繁为简，有效解决复杂问题
☞一、什么是化归思想？
所谓“化归”，从字面意思上来理解，它不仅是一种重要的解题思想，也是数学上一种有效的解题思维方式。
化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。
化归思想 | 流程图解
☞二、历史上，类似复杂的问题借助化归思想可以简单解决的案例
●1.爱迪生求解鸭梨灯泡体积
在阿普拉运用大量计算，依旧解不出灯泡体积时，爱迪生把灯泡内部装满水，再把水倒入量杯中，通过读取量杯上的刻度线，就轻松把灯泡的体积解决了。
分析爱迪生的解决方法，实际上他就是运用化归思想解决的。把复杂的灯泡体积，转化为灯泡内充满水的体积，通过简单的用量杯测量水的体积，很容易就求解完成了。因此阿普拉未能求解鸭梨灯泡体积之谜，也就迎刃而解。
●2.曹冲称象
历史上，《三国志》史书中记载的曹冲称象 ，是妇孺皆知的故事。
“太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。”——陈寿《三国志》
曹冲称象
分析曹冲称象的历史故事，在古代并没有这么大的称来测量大象的重量，曹冲是怎么做的呢？
先把船放入水中，空船状态下，在船上做好标记，再把大象置于船上，再次在船上做好标记。那么这两次标记之间的重量就是大象的重量，虽然曹冲年少，但他的智慧概括起来，与化归思想不谋而合。
再将空船置于水中，把石块放至船上，直至水位与称象时第二次做的标记重合，通过称小石块的重量，即可简单解决。这就是运用化归思想，把复杂的问题简单化，将大象的重量与石块的重量进行代换。
●3.阿基米德原理
浸入静止流体(气体或液体)中的物体受到一个浮力，其大小等于该物体所排开的流体重量。——阿基米德
阿基米德 | 画像
其实，上述曹冲称象的原理，借助“给我一个支点，我可以撬动地球”的西方学者阿基米德提出的浮力原理来分析，依旧可以成立。
我们假设，大象的重量为L，船的重力为M，石头的重量为N。
根据上述曹冲称象的过程，可以得知：
船排开水的重力=大象+船的重力
石头+船的重力=大象+船的重力
L+M=N+M
L=N
所以，石头的重量就是大象的重量。因为测量大象的重量异常复杂，但通过化归思想，测量石块的重量比较简单，即可解决。
●4.乌鸦喝水
《伊索寓言》故事书中，记载了一个耳熟能详的
乌鸦喝水的教育小故事，实际上蕴含了一种重要的思想，化归思想。
乌鸦喝水的故事出自《伊索寓言》
我们从乌鸦喝水的故事中，进行分析。瓶中仅有少量的水，而且又在底部，由于乌鸦的嘴又比较大。如果不转变喝水的方法，那么喝到水对乌鸦来说，就是一个复杂的难题。但是，乌鸦改变了喝水的方法，把小石块不断的放入瓶中 ，渐渐的瓶底部的水在石块的重力作用下，水就不断的上浮，最终乌鸦成功喝到了水。
所以，乌鸦之所以能够成功的喝到水，是把复杂的问题简单化，也就是借助化归的方法解决了喝不到水的问题。
☞三、以史为鉴，当今时代，借助化归思想，再来解“求不规则物体体积”问题，同样也能化繁为简。
阿普拉没能求解出灯泡的体积，爱迪生通过把灯泡内注满水，水的体积与灯泡体积进行等量代换成功求解，这种化归的思想为我们提供了借鉴。
在生活中，因为灯泡、珊瑚石、苹果、梨……它们都是不规则物体。由此，我们可以把灯泡转化为常见的珊瑚石块来研究。
珊瑚石就是一种“不规则”物体
◆1.上升的水的体积就是不规则物体的体积
我们同样可以借助化归思想，在一个长方体或正方体容器中，注入适量的水做准备，接下来把石块完全浸入水中，显而易见，这时由于水中多了石块的体积，会导致水位上升。
上升的水的体积，就是石块的体积
由此，推断出上升的这部分长方体或正方体的水的体积，就是这个石块的体积。
◆2.下降的水的体积就是不规则物体的体积
这个方法与上面的方法类似，思路也是采用化归思想，先把石块完全浸入水中，标记出水和石块共同的体积，接下来取出石块，水面会随之下降，再标记出现在水的体积。
下降的水的体积，就是石块的体积
由此，我们可以根据化归思想，不难计算出中间减少的体积就是石块的体积。
◆3.排水法
准备一个量杯和稍大一点的容器，在放入石块之前，量杯中完全注满水，接下来把石块放入，不难想象，石块加入后必然会把一定量的水溢出量杯，而流入盛水的容器中。
溢出水的体积，就是石块的体积
所以，根据化归思想，我们不难想象，溢出的这些流入盛水容器中的水就是石块的体积。
☞延伸
认真思考的人，可能会想到：灯泡，珊瑚石，梨都是一些不吸水的不规则物体，可以放入水中来研究，根据化归思想，简单测量出它们的体积。
为了保证依据化归思想，使得复杂的问题简单解决的严谨性。
如果换作土块，再放入水中由于吸水会吸收掉一些水，而导致结果不准确。是不是会更复杂，不能再运用化归思想，化繁为简了呢？
答案是：一致的，依旧可以采用化归思想，化繁为简，简单测量和计算出土块和泥沙这类吸水性不规则物体的体积。
对于具有吸水性强的不规则物体，我们将不能再用水来研究，确实会导致测量出的体积结果误差太大。那就需要把土块，放入已准备好盛有面粉的量杯中进行研究。方法依旧是，采取上述三种方法，为了保证土块不吸水，只需把水换成不让土块吸水的面粉即可。
那么，我们依旧能够推断出，这时上升（或下降）的面粉的体积就是土块的体积；同样的，排出的面粉的体积，就是土块的体积。
总结
- ☞阿普拉未解“鸭梨型”灯泡体积之谜，而今在我们的充分论证，详细分析下，已全部解开。简而言之，就是他并没有找到复杂问题进行简单处理的捷径，换句话说，就是没有采用化归思想，化繁为简的进行解决。
- ☞历史上，阿普拉求解“鸭梨型”灯泡的体积问题，归结到现在，实际上就是小学五年级要求掌握的“求不规则物体的体积”知识点。
- ☞在实际的学习生活中，不仅仅是阿普拉会存在未借助化归思想，化繁为简来求解的问题，我们的学生也会存在诸如这样的问题。鉴于求“鸭梨型”灯泡体积，就是小学五年级的知识，于是以五年级学生作为样本，来分析出现此类问题的原因。
- ☞根据著名心理学家让·皮亚杰的认知发展理论，五年级学生（11-12岁）正处于具象运算阶段，这个阶段学生的运算性（逻辑性）还不是太强，需要借助具体内容。因而就会存在运算性与具体内容上的矛盾，当学生的运算性＞具体内容时，就容易出现类似阿普拉一样的问题，多注重复杂的计算，而忽视了，运用化归思想，化繁为简的解决问题。因此，解决问题的关键正是需要学生运用化归思想，化繁为简。
化繁为简
- ☞古今中外，有许多运用化归思想解决复杂问题的案例。例如，在阿普拉求解不出灯泡的体积时，爱迪生通过把灯泡内注入水，复杂的问题简单化，等量代换，水的体积就是灯泡的体积。阿基米德原理，《三国志》记载的曹冲称象的故事，《伊索寓言》讲述的乌鸦喝水的故事，都是借助化归思想，来解决复杂问题的案例，为我们化繁为简提供了借鉴。
- ☞由此，在上述案例提供借鉴的基础上，我们可以借助化归思想，把“求不规则物体的体积”化繁为简，所以上升（或下降）的水的体积就是不规则物体的体积；排水法，排出的水的体积就是水的体积。所以，也就迎刃而解。
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