精彩導讀
數學學習，歸根到底，需要孩子建立起抽象思維能力，孩子學習數學的過程，其實就是從動作的邏輯到抽象的邏輯。
孩子是天生的學習者，他們對學習的恐懼、對數學的恐懼，都是後天習得的。
作者 | 張釋文
來源 | 埃爾特訂閱號（ID：Arete_edu）
我是個數學學渣，這件事，我在各種場合，說了沒有一千遍也有八百遍了。至於前年“全人獎”的頒獎會場上，一位前輩看到我很激動，忙不迭拉著我給身邊某大學的數學教授介紹：釋文現在給孩子講數學課，但是你知道嗎，他上學的時候，數學方面是個人渣……
我一臉黑線跟對方解釋：是學渣，是學渣……
這些年，由於工作的緣故，我見到不少數學學習有困難的孩子。大概是因為同病相憐的原因，我和這些孩子特別有共同語言，也得以藉著這些機會，重新以一個孩子的眼光，去審視數學學習這件事，思考孩子數學學不好的具體原因。
昨天和姐姐聊天，她講到她的一位好朋友的孩子，今年上小學一年級，在數學方面遇到了一些困難，比如他現在還不能正確的算出一加一等於幾。這個孩子總是認為，1+1=11。
其實這種現象在幼兒數學學習裡，是比較典型的。除了1+1=11這樣常見的錯誤外，還有類似的，15+15=210。
在孩子的思維方式裡，14+14=28，前面兩個1相加，結果是2，後面兩個4相加，結果是8，所以14+14=28。那麼同樣的，15+15，前面兩個1相加，結果是2，後面兩個5相加，結果是10，所以15+15=210。
孩子出現這樣的錯誤，首先父母可以讓他意識到自己的思維誤區，比如針對1+1=11的問題，我們可以問他：你有一塊糖，再給你一塊糖，你手裡是十一塊糖嗎？
用這樣比較具象的方式，讓孩子意識到自己思維的誤區，是相對容易的。但出現這種錯誤的根本原因，我認為，是孩子在數學啟蒙階段沒有打好基礎，更大膽地說，是孩子“數數”沒有數好。
今天，我就以一個資深學渣的身份，來跟大家聊聊“孩子學習數學”這件事。
數學學習—小孩子，有大學問
首先，我們必須承認，孩子的數學基礎不好，父母是難辭其咎的。
▲皮亞傑(1896-1980) 近代最有名的兒童心理學家
皮亞傑認為：
“一個人可以學到的東西，他的學習方法，取決於他已有的思維模型。所謂學習的法則，就是新的知識結構如何從已有的知識結構中生長出來，並在這個過程中構建邏輯性和情感聯繫。”
我們要教授的數學，必須和已經建立的知識構成一個不間斷的連續系統，只有這樣，新的知識才能從原有的知識體系裡生長出來。
對於孩子來說，他最初的知識結構，包括數學觀的建構，幾乎全部來源於父母的有效引導。
兒童是天生的學習者，是自己知識結構的“建築師”。但這個建築師是需要“建築材料”的。對於數學學習來說，平時生活中接觸到的事物，父母對數學概念的理解甚至對邏輯的闡述，都是他學習的“材料”，對孩子建立數學認知有重要的意義。
孩子的數學概念，最初都是在生活中建立起來的 ，比如，一雙鞋、一副手套、一雙筷子，可以讓孩子最早建立起“成對”的概念，如果父母在這時候能夠進一步加以引導，就會加深孩子對這一概念的認知。
孩子在生活中得到的“數學大廈”的建築材料越豐富，他就越會在數學方面表現出高於同齡孩子的數學能力。
但如果家長本身對數學學習有誤解，甚至對數學有潛意識的懼怕、排斥心理，那麼在與孩子交流的過程中，就會有意無意繞開類似的話題，這就會使得孩子缺乏相關的學習材料，孩子的數學基礎也就很難打好了。
西蒙佩珀特也認為，兒童智力發展的差異可以歸結到環境上，如果環境沒能提供足夠的高級材料，那麼大概率會導致孩子在這方面的認知滯後。孩子對一個特定的概念遲遲不能理解，最關鍵的原因就是他的生活環境中，關於這個概念的材料嚴重不足，無法把這個概念變成一個簡單的、看得見摸得著的東西。
這裡面有一個重要的陳述，就是要幫助孩子把概念“變成一個簡單的、看得見摸得著的東西”。
非常遺憾的是，我們做父母的，幾乎都忘記了自己的幼兒階段，是如何學習數學的。我們以成年人的眼光回頭看數學啟蒙，總會認為，“數數”有那麼難嗎？怎麼6+2知道等於幾，2+6就不知道了呢？這些如此簡單的問題，怎麼孩子就是滿腦子漿糊呢？
要知道，小孩子學數學，一點都不簡單。
孩子學習數數、學習1+1=2，是非常了不起的事情，它的重要性，不亞於宇宙形成時的奇點大爆炸。很多家長和老師， 對孩子數數慢、學習加法困難表示很不理解，認為這麼淺顯的事情孩子還不能掌握，說明“缺乏數學基因”。但我們仔細研究就會發現，看似淺顯的兒童數學學習，其實涉及了巨大的世界觀的建構，涉及了諸多認知上的跨越，以及思維模式的重構。
舉個例子，我們把一杯水從一個小杯子倒進一個大的杯子裡，只要不灑出來，我們知道，水的總量是不會變化的。但這個我們看起來淺顯到不用去解釋的事情，對於孩子來說，理解它是需要一種認知上的跨越的，需要跨越的這個概念，我們稱之為“守恆法則”。
在皮亞傑之前，沒有人意識到，孩子對於世界的理解，並不是從“正確”到“更正確”，
而是從“錯誤”到“正確”。皮亞傑指出，孩子們在學習基本的數學原理之前，已經建立了自己的一套非常不同的規則系統，比如數量不守恆。然後孩子再調用他周圍的學習材料，重新構建一個守恆的思維方式。
守恆法則，體現在數數上， 舉個例子：對大人來說，桌子上放了五個蘋果，無論我們怎麼改變這五個蘋果的排序，蘋果的總數是保持不變的。但對於孩子來說，這與他的知識結構是衝突的。因為這意味著，結果和過程是可以分割開的，過程的改變不影響數數的結果。這對孩子的世界來說，是聞所未聞的，是違背直覺的。
再舉個例子，五個蘋果和五個香蕉，在數量上是一致的。這對於孩子來說，理解起來也不是自然而然的，因為這意味著，物理上不同的事物，可以在數學上相同，這其實是同構的概念。
小孩子學數數，其實蘊涵著各種複雜的世界觀的建立。而且，我們應該記住，孩子是先發展出自己的與成人不同的世界觀，然後再逐漸轉變為成人的世界觀的。給孩子做認知上的啟蒙，首先應該理解孩子的世界觀，然後尋找不同的地方，耐心加以引導。
我們的孩子數學學不好，我堅持認為，很大程度上的原因，在於“數數”的時候沒有數好、沒有數夠。要知道，我們所有的數學計算，都是立足於數數的基礎之上的。
比如孩子們可以算出6+2=8，但是2+6卻算不對，那是因為，所有的加法，都是基於計數的原則，6+2，孩子只要在6的基礎上往後數兩個數字，就知道結果了。而2+6，需要在2的基礎上往後數六個數，在這個過程中要記住數了幾個數、數到哪了，當然就更難一些。
當我們責怪孩子解決類似的問題出錯時，卻沒有意識到，對於孩子來說，這樣看似簡單的問題，既要理解“守恆法則”，又要在心中“數數”的時候不出錯。並不像成年人看起來的，知道2+6等於幾，自然而然就應該知道6+2等於幾。其實成年人也是使用類似的方法，只是熟極而流，內化於心了。
皮亞傑一生致力於對兒童知識起源的研究，在他的種種發現中， 有一項成果是：大人看不到孩子學了什麼，是怎麼學的，成年人，看不到兒童學習的本質。
那我們應該怎麼做？我的答案是，越是抽象的東西，越需要用具象的方法去教。
“數數”對孩子的數學學習至關重要，但中國家長有一個常見的誤區，就是過早的禁止孩子“掰手指”，認為不掰手指的計數和加減法，才是真的掌握了。我小的時候，就經常因為掰手指被訓斥。後來看了一個TED的演講，講到數數和掰手指對孩子數學思維建立的重要性，我才知道，很多孩子的數學學習其實是被家長耽誤了。
除了寬容孩子掰手指外，在數數和加減法的學習上，應該儘量多用手邊的實物來和孩子練習。就像張俊老師說的，讓孩子死記硬背8比7多，不如和孩子一人抓一把糖果，然後把糖果擺在桌子上，一一對應，讓孩子看那一排糖果更多，用這種方式，建立數數、多少、加減的初步概念。否則的話，孩子即便知道8比7多，也不知道究竟是怎麼多出來的。
我們總認為，用蘋果桔子這些具象的東西跟孩子學數學，是一種數學能力低的表現。但我們從來不認為，學習鋼琴的時候可以不碰鋼琴，只在腦子空想就可以學完。我們也不認為，學習騎自行車的時候，應該讓孩子不碰自行車，在腦子裡想象面對各種路況的時候，如何進行動作分解。我們都知道，學自行車，第一件事就是讓孩子騎上它。學習鋼琴，第一件事就是讓孩子摸摸琴鍵。但學習數學，我們卻覺得，“看得見摸得著”，是一種錯誤，這是多麼的荒謬。
我們教孩子學數學，卻不給他足夠的學習材料，最終的結果必然是：孩子們必須用效率最低的方法學習數學，那就是死記硬背！
死記硬背是最差的學習方式，我們要把自己的大腦搞得一片空白，然後不斷地重複。但是我們記下一段旋律的時候，我們唱出一首歌的歌詞的時候，我們念出那些美妙的語句的時候，是通過大腦一片空白然後強迫自己不斷痛苦地重複嗎？
在通過具象的實物建立數學知識的過程中，孩子們要突破很多的學習難點。比如有的孩子知道2個蘋果加5個蘋果，一共是7個蘋果，但是2+7卻不知道等於幾，因為孩子並沒有明白“數”的相加和“量”的相加的區別。
7個蘋果，是“量”相加的結果，很直觀。但2+5=7，是“數”的相加的結果。
數的相加，需要抽象思維，需要在實物學習的過程中不斷內化。而且這裡面還涉及了一個“數群”的概念，就是一個數可以由較小的數組合而成，這些都需要在“量”的分合中積累經驗，讓孩子理解“數”也是可以分合的。對於學齡前孩子來說，理解了這些，其實就足夠了。數學學習，歸根到底，需要孩子建立起抽象思維能力，孩子學習數學的過程，其實就是從動作的邏輯到抽象的邏輯。張俊老師說：“抽象邏輯思維是從具體的外在動作逐步內化，然後在頭腦中進行重新構造，最終形成一種抽象的邏輯關係”。
這種思維的建立，是需要遵循客觀規律的。皮亞傑將思維分成“具象思維”和“形式思維”（formal thinkin，抽象思維的一種）。具象思維在孩子六歲的時候就已經相當發達，而形式思維則要到十二歲左右才開始發展，並且需要一兩年的時間才能完善。甚至有的研究者認為，形式思維在某些成年人身上終生也沒能發展出來。
在我看來，越是抽象的東西，越需要具象的教育。我們要承認自己的無知，努力去理解孩子的世界，然後動用手邊的實物，讓那些飄渺的知識變成簡單的、看得見摸得著的東西。只有這樣，才能有效幫助他建立起屬於他自己的知識大廈。
進入學校之後，不要迷信課堂教學
作為一箇中國教育體制下的學渣，國外學校的數學優等生，我可以負責任地說，我們絕大多數的數學課堂上，什麼都有，唯獨缺的，就是數學本身。我們中國學生數學好，不是數學課的功勞，而是思想品德課的功勞，學生肯吃苦，肯刷題，但這和數學學習，是背道而馳的。
龐加萊說，一個數學的頭腦，最顯著的特色不是邏輯，而是美感。我相信，沒有人會否認，數學本身，是一門浩瀚而又美麗的學科，但很可惜，我們的數學教育，完全不在意培養孩子的數學審美能力。我們的數學課，和數學並不劃等號。
我曾經跟學生說，
數學是一件很有趣的事，還專門寫過一篇文章，名字叫《數學是一場遊戲》。但相信在大多數孩子的眼裡，這是一句騙人的話，甚至現在我自己回想起來，都沒那麼堅定了，因為我在閒暇時間裡，會看書、看電影、聽音樂，而絕不會選擇做數學題這件“非常有趣”的事。在孩子眼裡，說學校裡的數學很有趣的那些老師，“不過是一種有意或無意的騙子”。學生們的看法，基本是對的。
孩子們的數學成績不好，就會被貼上“沒有數學基因”“數學思維能力不足”的標籤，但我們要看清一個事實，就是學校課堂上的數學課程設置，並不是基於多麼科學、多麼人性化的原則，而是首先取決於在學校課堂這個環境裡，通過最原始的紙和筆，以一位老師同時教幾十個學生的方式，學哪些東西能夠完成數學訓練的任務，僅此而已。
佩珀特曾經舉過一個例子：在學校裡，“解析幾何”就是用曲線來表達方程式的代名詞，所有受過教育的人都會模糊記得y=x² 是一個拋物線方程。雖然不知道這個知識有什麼用，但是在他們的腦海裡，這一切的背後一定有一個非常深刻的、科學的原因，這個原因讓孩子們如果學不好這門學科，家長就會焦慮，老師就會給學生貼上差生的標籤。
但事實的真相是：之所以讓學生們學習這個知識，真實的原因，只是因為拋物線在紙上比較容易畫出來，能比較方便的用原始工具完成而已…..
現在，鍛鍊數學思維的方式有很多種，通過擺弄積木、通過學習編程，甚至通過遊戲都能夠鍛鍊孩子的數學能力，家長對孩子數學學習最大的幫助，就是儘量不再被考試成績綁架，儘量理解孩子學習的方法，認清孩子學習的本質，進行科學的引導。只要遵循了孩子學習的規律，總有一天，我們會收穫屬於自己的果實。
在希臘語中，所謂數學，其實就是學習的意思。孩子是天生的學習者，他們對學習的恐懼、對數學的恐懼，都是後天習得的。作為成年人，我們應該努力讓自己回到幼兒階段，回想一下自己是如何從愛數學、愛學習，到恨數學、恨學習的，然後，不要讓我們的孩子再經歷同樣的悲劇，這也許就是給孩子營造的最好的數學學習環境。
