被譽為19 世紀最偉大的數學家之一的埃瓦里斯·伽羅瓦，1811年10月25日出生於法國，1832年5月31日逝世。在他20年零7 個月的短暫人生中，到底取得了哪些偉大成果？
對於一次方程和二次方程解法的研究起源於古巴比倫時期。在解一次方程
時，解出
，即使 a和b 為整數，結果也有可能是分數，可以說“分數”的出現就是為了解這類方程。
雖然古巴比倫人努力研究了二次方程的解法，不過還是隻能想到用分數解方程。然而，古希臘畢達哥拉斯的門生希帕索斯發現簡單的二次方程想
的根不需要用分數表示。
這就是無理數的開端。
9世紀巴格達數學家花拉子米提出瞭解一次方程和二次方程的基本方法。如果用現在的寫法表示，二次方程
的根
就是中學階段所學的“求根公式”。因為需要用平方根來表示根，所以二次方程比一次方程“難”。
花拉子米發明的方法傳到中世紀的歐洲後，數學家們開始爭先恐後地研究如何解三次方程和四次方程。三次方程
的解法是由16 世紀的德爾·費羅和塔爾塔利亞獨立發現的，發表於卡爾達諾的著作《大術》。而且，卡爾達諾的學生盧多維科·費拉里發現了四次方程
的求根公式。這同樣也記載在《大術》中。兩者均可以用方程中的係數 a、b、c…… 的平方根和立方根來表示方程的根。
既然方程中同時出現了平方根和立方根，那麼三次方程和四次方程比二次方程“更難”。例如，平方根能尺規作圖，而立方根卻不能。
因為二次、三次以及四次方程的求根公式依次被發現，所以人們理所當然地認為五次方程也能解。然而，從德爾·費羅開始，在之後的300 年中無論數學家們如何努力，最後也沒能發現五次方程的求根公式。根據高斯“代數學基本定理”，不管是幾次方程都應該有複數根，結果卻不知道如何用平方根和立方根等冪根來表示五次方程的根。
在這種情況下，1802 年出生於挪威的尼爾斯·亨利克·阿貝爾出現了。
尼爾斯·亨利克·阿貝爾（圖片來源網絡）
阿貝爾證明了不存在五次方程的求根公式。數學家們一直在挑戰“無解的問題”。所以五次方程比三次方程和四次方程“難得多”。
其實，提出不可能這件事本身就很困難。例如介紹了第二不完備性定理，即“包含自然數及其算術運算在內的公理系統，其無矛盾性不可能得到證明”。如果方程“存在”求根公式，只要列出公式，通過計算即可確認所求的根是否正確。但是，如何才能證明求根公式“不存在”呢？明明到四次方程為止都能解，五次方程到底有什麼不同？為此，阿貝爾使用了“測量難度的方法”。
阿貝爾在17 歲的時候以為自己發現了五次方程的求根公式，還專門撰寫了論文，不過最後發現這個公式存在錯誤。之後他在21 歲時又發表了論文“五次方程沒有代數一般解”。由於這篇論文晦澀難懂，因此在當時並沒有被人們理解。幸運的是，當他和柏林的數學家奧古斯特·利奧波德·克列爾成為朋友以後，這篇論文被刊登在了克列爾創辦的數學雜誌的第一期，當時阿貝爾23 歲。自那以後，阿貝爾陸續在克列爾的雜誌上發表論文，因此名聲也水漲船高。不過他最終也沒能在大學正式任職，不僅生活拮据，還患上了結核病。克列爾竭盡全力為阿貝爾爭取柏林大學的教授一職，不過在阿貝爾去世2 天后才獲得喜訊。當時阿貝爾才26 歲。
在挪威奧斯陸的王宮庭院裡矗立著巨大的阿貝爾紀念碑。令人敬佩的是，在首都最中心的位置擺放的不是政治家或軍人的銅像，而是證明了五次方程沒有代數一般解的數學家紀念碑。從中也能感受到挪威人是多麼為阿貝爾感到自豪！
挪威皇宮庭院裡的《阿貝爾紀念碑》 （古斯塔夫·維格朗作品）拍攝者：大慄博司
雖然阿貝爾證明了五次方程沒有一般冪根解，不過在某種情況下能簡單地解出五次方程。例如
也是五次方程，這個方程的5 個根可以用平方根和虛數表示。即使維次n 變得更高，n 次方程
的所有根都能用自然數的冪根表示這是由高斯成功證明的。
最後，伽羅瓦完成了“測量方程難度的方法”，並且提出了“在哪種情況下能用冪根解方程”。伽羅瓦出生於1811 年，卒於1832 年，這與維克多·雨果的小說《悲慘世界》中所設定的年代（1815年到1833 年）幾乎重合。伽羅瓦2 歲時，拿破崙被流放到厄爾巴島，被法國大革命推翻的波旁王朝復辟。不過，波旁王朝僅僅維持了16 年，1830 年的七月被革命所推翻。盧浮宮博物館珍藏的歐仁·德拉克洛瓦作品《自由引導人民》描繪的正是法國七月革命的場景。當時，不到19歲的伽羅瓦作為一名共和黨人參加了革命。
盧浮宮珍藏的《自由引導人民》（歐仁·德拉克羅瓦作品）
次月，資本家和銀行家等資產階級將路易·菲利普推上君主寶座，共和黨人挫敗。在政治上思想激進的伽羅瓦在20 歲時被捕入獄。出獄後與人決鬥而負傷身亡，因而也結束了被政治混亂和社會矛盾捉弄的一生。
與阿貝爾一樣，伽羅瓦在16 歲時也以為自己發現了五次方程的解法，後來意識到自己的錯誤，開始猜想五次方程沒有一般解。當時，從阿貝爾完成證明起已經過去了5 年。不過，伽羅瓦繼續深入研究，在第二年發現了對於任何次數的方程，能否用冪根解該方程的判定方法。這才是阿貝爾的研究目標。伽羅瓦總結了自己的發現，將其寫成一篇論文，並寄給了法蘭西科學院。
有一種說法是，當時的評審奧古斯丁·路易·柯西在看之前就把伽羅瓦提交的論文丟失了。因此在迦羅的傳記中，柯西經常被視為敵人。不過，柯西確實有前科，他曾經遺失了阿貝爾提交的重要論文。在挪威政府的抗議下，論文最後是從科學院的文件堆中被找到，在阿貝爾去世10 年後得到出版。
然而，根據近幾年科學史家的研究，柯西曾經高度評價了伽羅瓦的論文。而且，他還建議伽羅瓦不要刊登在科學院的紀要中，修改後投稿參加科學院舉辦的論文徵集大賽。從政治立場上來說，柯西屬於君主派，伽羅瓦屬於共和黨派，他們立場對立，不過從數學角度來看，他們擁有共同點。伽羅瓦的不幸在於，他擁護的七月革命導致柯西下臺乃至喪命，因此也失去了唯一理解自己理論的人。而且，他聽從柯西的意見參加徵集的論文“關於方程冪根解法的條件”也無緣大獎。
不過造化弄人，伽羅瓦的不幸還在繼續。在老家擔任市長的父親因為保守派的中傷而被迫自殺。而且，伽羅瓦在巴黎高等理工學院入學考試中連續兩年落榜。之後他第三次向科學院提交論文，不過自從柯西逝世後，再也沒有數學家能夠理解他的研究。
絕望的伽羅瓦投身革命，最終鋃鐺入獄。出獄後又與人決鬥。伽羅瓦在決鬥前一晚到第二天早晨給朋友奧古斯特·舍瓦利葉寫了一封信，他在信中全面闡明瞭著名的“伽羅瓦理論”。而且在信的最後還提到自己正在研究“曖昧理論”。但是我們至今也無從得知曖昧理論的具體內容。伽羅瓦在信的末尾寫道：“我的時間不多了。在數學這個龐大的領域中，我的構想尚未完全發揮作用。”伽羅瓦英年早逝，實在令人惋惜。
伽羅瓦第三次向科學院提交的論文幸運地被保留了下來。數學家約瑟夫·劉維爾竭盡全力研讀這篇遺稿，並於1846 年發表了相關解說，伽羅瓦從而理論終於被人接受。自古巴比倫時期起，發展了3000 年的關於
的方程理論因此完結。
伽羅瓦的偉大業績並不僅限於方程理論。他在研究方程性質時提出的“群”概念被廣泛運用於數學的各類問題中。而且，在物理學中群的概念也非常重要。例如2012 年歐洲研究所CERN 發現了基本粒子“希格斯玻色子”，他們預測在用群的概念說明基本粒子之間力的性質時，希格斯玻色子的作用必不可少。
文章選自《用數學的語言看世界》
《用數學的語言看世界》 作者：[日]大慄博司
《用數學的語言看世界》為知名理論物理學家大慄博司先生寫給女兒的數學啟蒙書，書中以用“數學語言”解讀自然為線索，突破傳統數學教育的順序和教學方式，用歷史事件、生動故事以及比喻直接講解數學核心概念的原理與相關體系，並且講解了把數學作為一門“語言”、用數學探索自然不可見結構的思維方式，是重新認識和理解數學的科普佳作。
