在祖沖之之後，中國南北朝的分裂也走向了統一，公元589年，隋朝的大軍進入了建康（現南京），南陳滅亡。從黃巾之亂（184年）開始分裂的中國大陸（中間有西晉短暫的統一，前後時間38年），再次完成了統一。一個大一統的王朝，必然需要一本新的歷法。隋開皇二十年，太子楊廣招天下歷算之士討論夏至影長之事，一本新的歷法書因此而產生，但是由於與當權者不合，而被廢置不用。這本新的歷法書就是《皇極曆》，作者就是本文的主角劉焯。
劉焯
劉焯出生在東魏武定二年（544年），是一位經學大師，後來在唐朝的時候有個寫了《五經正義》的孔穎達就是他的學生。在隋開皇三年，劉焯入朝做官，但是很快因為個人的才學招人嫉恨而被免官回鄉。劉焯回鄉後，專心著述，不問政治，先後寫出《曆書》、《五經述義》等。後來就是本文開頭介紹的，劉焯編出了《皇極曆》，但由於與當時的太史令張胄玄的觀點相左而遭到排斥，一直到劉焯死後，隋朝也滅亡了，繼起的唐朝在修《麟德歷》的時候，才大量引用了《皇極曆》的內容。不過我們也不要據此就認為劉焯是個白蓮花，還真不是。劉焯在當時就搞起了學問生意，誰交的學費多，誰能從他那裡學到的知識就多，至於沒錢的，拜拜了您吶，所以劉焯極其有錢。這點讓科普君很羨慕，科普君現在最需要的是這個
在《皇極曆》中，劉焯第一次運用了等間距插值法來計算天體運動的規律。所謂的插值法，就是在離散數據的基礎上通過插補的方法得出連續的函數，再利用得出的函數求出在其他地方的值，又叫內插法。現在的插值公式是由牛頓和格雷戈裡提出來的，所以一般稱為"格雷戈裡-牛頓插值公式"，它的特點是取值的相鄰兩值差h，也就是等距取值，所以也叫等距插值法。
我們知道由於日、月、行星等天體在天球上的視運動並不是勻速的，如果用勻速來近似處理的話，雖然在數學計算上簡單了，但是誤差就變大了，所以當人們發現了這種運動的不勻速性之後，就像在曆法編算中將其表現出來，這樣就可以使得曆法更加的符合實際的觀測，這就需要用到我們上面說到的"插值法"--從有限個觀測值中找到一般規律，然後再用這個一般規律得出其他的任意值。劉焯在《皇極曆》中就充分考慮了在曆法中引入日、月以及五星的視運動不均勻性的問題。並根據太陽視運動不均勻性編出了中國第一份日躔（太陽在天球上的運動）表，開創了在曆法中考慮日行不均勻性的新階段。
但是劉焯在計算日、月、五星的經行度數時，把它們的視運動都看作是所求間隔內的勻變速運動，所以所用的函數是個二次函數。然而實際情況很明顯要複雜的多，因為這些天體的視運動並不是勻變速的，所以劉焯的算法只能得到近似值，但是誤差在時間的積累下會越來越大。所以，到了盛唐時期，一個僧人站了出來，開始著手解決這個問題，他就是我國著名的天文學家--僧一行。僧一行俗家名叫張遂，他是唐初凌煙閣24功臣中郯公張公瑾的曾孫，生於唐高宗弘道元年（683年）。到了唐玄宗開元九年（721年），根據唐初李淳風編制的《麟德歷》推算預報的幾次日食都不準，於是唐玄宗命令一行主持編修新曆，這是一行一生中最重要的成就--《大衍曆》的編制。
僧一行
一行在求太陽經行度數時主張用"定氣"而不用平氣，從而將劉焯的等間距內插公式推廣到了自變量不等間距的內插法，因為按照"定氣"，兩個節氣之間的時間L就不再是一個常數了。一行進一步給出了"步日躔術"的計算公式，用現代的公式表示：
這就是一行的不等間距二次插值公式。
一行在編制《大衍曆》的時候，還領導了一次規模空前的天文大地測量。我們在之前的文章中說過，古代中國測日有個說法叫做"寸千里"，即日影改變一寸，在地面相差千里。但是後來有人懷疑這個說法，於是一行就帶領人進行實測子午線的長度。根據現存的資料，並通過對唐尺的換算，得到一行當時測量的子午線每度為122.8公里，比實際的多11公里，這是人類第一次實測子午線的長度。
一行的不等間距二次插值法後來還在一定程度上開啟了曆法計算中高次函數的先河。
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