勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。
【證法1】（課本的證明）
做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像下圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即a²+b²+4×½ab=c²+4×½ab，整理得a²+b²=c².
【證法2】（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於½ab. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴∠HDA = ∠EAB.
∵∠HAD + ∠HAD = 90º，
∴∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c².
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.
∴ EFGH是一個邊長為（b―a）的正方形，它的面積等於(a+b)²
4×½ab+（b-a）²=c²，
∴a²+b²=c²
【證法3】（1876年美國總統Garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於½ab.
把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等於½c².
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等於
½（a+b）²=2×½ab+½c²，
∴a²+b²=c²
【證法4】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀
使H、C、B三點在一條直線上，連結
BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB於點M，交DE於點L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於½a²，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 =a².
同理可證，矩形MLEB的面積 =b².
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴c²=a²+b² ，即a²+b²=c².
【證法5】（利用相似三角形性質證明）
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，
∠CAD = ∠BAC，
∴ΔADC ∽ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
即AC²=AD·AB.
同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有
BC²=BD·AB
∴AC²+BC²=(AD+BD)·AB=AB²，
即a²+b²=c².
【證法6】（利用切割線定理證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90º，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線.
由切割線定理，得
AC²=AE·AD=(AB+BE)·(AB-BD)
=(c+a)·（c-a）=c²-b²
∴b²=c²-a²
即a²+b²=c²
【證法7】（利用反證法證明）
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.
假設a²+b²≠c²，即假設AC²+BC²≠AB²，
則由AB²=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD
可知AC²≠AB·AD，或者BC²≠AB·BD.
即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵∠A = ∠A，
∴若 AD：AC≠AC：AB，
則∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴若BD：BC≠BC：AB，
則∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90º，
∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.
這與作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC²+BC²≠AB²的假設不能成立.
∴a²+b²=c².
當然，勾股定理的證明方法還有很多很多種，以上幾種證明方法應用了很多初中數學知識點，在學習過程中還可以對一些重要知識進行復習和回顧。如果你有更好的證明方法，歡迎在評論區分享！
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