等腰三角形中的頂角平分線、底邊上的高線、底邊上的中線，只要知道其中“一線”，就可以說明是其它“兩線”。
運用等腰三角形“三線合一”的性質證明角相等、線段相等或垂直關係，可減少證全等的次數，簡化解題過程。
一、直接運用
例題1、如圖所示，房屋頂角 ∠BAC = 100°，過屋頂 A 的立柱 AD⊥BC，屋簷 AB = AC 。
求頂架上的 ∠B，∠C ，∠BAD 和 ∠CAD 的度數 。
例題1圖
解：
∵ 在 △ABC 中 AB = AC ， ∠BAC = 100° ， AD⊥BC
∴ ∠B = ∠C = 1/2 （180° - ∠BAC）= 40°
∴ ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 50°
例題2、如圖所示，在 △ABC 中， AB = AC ， AD = DB ，DE⊥AB 於點 E ，若 BC = 10 ，且 △BDC 的周長為 24 。
求 AE 的長 。
例題2圖
解：
∵ △BDC 的周長為 24 ，BC = 10
∴ BD + CD = 14
∵ AD = BD
∴ AC = AD + CD = BD + CD = 14
又 ∵ AB = AC
∴ AB = 14
又 ∵ AD = DB ， DE⊥AB
∴ AE = EB = 1/2 AB = 7
例題3、如圖所示，在 △ABC 中 ，AB = AC ， AD⊥BC 於點 D ，BE⊥AC 於點 E ，AD 和 BE 相交於點 H ，且 BE = AE 。
求證：AH = 2BD 。
例題3圖
證明：
∵ AD⊥BC ， BE⊥AC
∴ ∠AEH = ∠BEC = ∠ADB = 90°
∴ ∠EBC + ∠BHD = 90° ， ∠EAH + ∠AHE = 90°
∵ ∠BHD = ∠AHE
∴ ∠EBC = ∠EAH
∵ BE = AE
∴ △AHE ≌ △BCE
∴ AH = BC
又 ∵ AB = AC , AD⊥BC
∴ BC = 2BD
∴ AH = 2BD
二、添加“輔助線”運用
例題4、如圖所示，在等邊 △ABC 中 ，D 是 AC 的中點 ，E 是 BC 的延長線上的一點，且 CE = CD ，DM⊥BC 於點 M 。
求證： M 是 BE 的中點 。
例題4圖
證明：連接 BD
∵ 在等邊 △ABC 中 ， D 是 AC 的中點
∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 × 60° = 30° ，∠ACB = 60°
∵ CE = CD ∴ ∠CDE = ∠E
∵ ∠ACB = ∠CDE + ∠E
∴ ∠E = 1/2 ∠ACB = 30°
∴ ∠DBC = ∠E = 30°
∴ BD = DE ∴ △BDE 為等腰三角形
又 ∵ DM⊥BC
∴ M 是 BE 的中點
三、構造運用
例題5、如圖所示，在 △ABC 中 ， AC = 2AB ，AD 平分 ∠BAC ，E 是 AD 上一點 ，且 EA = EC 。
求證：EB⊥AB 。
例題5圖
證明：過點 E 作 EF⊥AC 於點 F
∵ EA = EC ∴ AF = 1/2 AC
又 ∵ AC = 2AB ∴ AF = AB
∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠FAE = ∠BAE
又 ∵ AE = AE ∴ △AEF ≌ △AEB （SAS）
∴ ∠ABE = ∠AFE = 90° ， 即 BE⊥AB 。
例題6、如圖所示，已知在等腰直角 △ABC 中， AB = AC ，∠BAC = 90° ，BF 平分 ∠ABC ，CD⊥BD 交 BF 的延長線於點 D 。
求證：BF = 2CD 。
例題6圖
證明：延長 BA ， CD 交於點 E
∵ BF 平分 ∠ABC ， CD⊥BD
∴ ∠EBD = ∠CBD ，∠BDE = ∠BDC = 90°
又 ∵ BD = BD
∴ △BDC ≌ △BDE
∴ BC = BE
又 ∵ BD⊥CE ， ∴ CE = 2CD
∵ ∠BAC = 90° ， ∠BDC = 90° ， ∠AFB = ∠DFC
∴ ∠ABF = ∠DCF
又 ∵ AB = AC , ∠BAF = ∠CAE = 90°
∴ △ABF ≌ △ACE （ASA）
∴ BF = CE
∴ BF = 2CD
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