給力大象

雖是一個簡單問題，卻能考量出一個老師對數學的理解;也考量出是否懂得教材教法;更考量出一個師資的水平。

看了所有的答案，我實在憋不住說說。希望小學老師和家長能認真看一下下面我的講述。

數學是什麼?簡單地說，數學是研究關於《數》的一門學科。數學的核心是抽象，解決數學問題的關鍵，是從小培養兒童:從實際出發→抽象思維。

以題目為例，可採用生動活潑的教學方法。教案分步如下:

(1)講清要求:請小朋友上講臺前，將一盆小西紅柿數數，堆堆。

(2)一個學生上來，拿出一個，放一邊，同時報出數。可讓其它同學一起報出數。一，二，三…六，七，八一。老師叫停。

(3)老師把在黑板上，畫八個小O，成一排。請注意，這已是一次抽象了。

(4)重複上述各環節，步驟。

黑板上並列出五排8個小O，即完成五次實物到圖形的抽象。

O，O，O，O，O，O，O，O，←

O，O，O，O，O，O，O，O，←8個

O，O，O，O，O，O，O，O，←8個

O，O，O，O，O，O，O，O，←8個

O，O，O，O，O，O，O，O，←8個

(5)提問一堆，有多少?可以用8xl表示。

哪二堆有多少?怎麼來表示?

此問必須啟發學生，要容學生腦子完成抽象，從而寫出8X2來。

後面不再贅述。老師們都明白。……

總之數學也罷，算術也罷，從小就要突出《抽象思維》的培養。

抽象思維好，有利於理科學習，終生有益。

匯燕1

5×3引發的爭議。

起因是一個美國三年級學生數學試卷，題目是用累加的方法解決問題5×3。考察的也是對乘法含義的認識。學生寫出5+5+5被判錯(紅圈)減一分，老師給出的正確答案是

補充：可能很多網友看不明白，先普及下，美國教乘法含義是和我們的定義是不一樣的。

拿5×3來舉例

中國乘法含義：5+5+5 → 3個5相加 → 5×3

美國乘法含義：3+3+3+3+3 → 5個3相加 → 5×3。

結語

就個人來講，還是支持嚴格區分。但要講清楚兩個因數變化位置不影響結果。如下圖。

① 按行累加

② 按列累加

③ 行列轉換(旋轉90°)來理解兩種含義互換。

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一學堂王老師

我曾經回答過類似的問題，我覺得有必要先了解一下那個問題，才能更好的回答這個提問，我先把我當初的那個回答複製在下方，以便更好的理解，如果沒耐心，也可以跳過。

我們太注重於計算的結果，但卻忽略了對四則運算的認知

由於我們有九九乘法表，所以導致在運算乘除法時，其計算結果都是基於九九乘法表而背出來的，當然不止限於9x9之內的計算，而是所有乘除法，舉個例子，我們計算17×13，如果用手算，會列豎式，用13的個位3乘17，得51，再用13的十位1乘17，得17，然後再用51的1做結果的個位，用51的5加17的7，得12進1保留2，17的1為結果的百位，加上進位1，最終結果是221。你會發現，整個的計算過程還是靠九九乘法表背出來的，我們做的工作，只是機械的套用豎式的計算形式而已（其實豎式的計算形式也是根據四則運算的性質提煉出來的計算方法，我在這就不說明了）。但實際上17×13的運算是什麼樣呢？它代表13個17相加，正確的運算方式是17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17＝221。但是我們往往忽略了。

可是有人問，這不是更麻煩了嗎？但我想說的是，如果僅僅從計算的效率來說，這確實不足取，確實九九乘法表計算效率更好。可是如果從對運算的理解來說，九九乘法表卻不容易幫助理解。還拿上述的例子繼續說，通過對17×13的還原，我們會發現，所謂乘法，就是數字的累加，其實就是加法運算，而除法運算，作為乘法的逆運算，其實也是加法的逆運算。而所謂的加法的逆運算減法，其實就是一個數加另一個數的相反數，其實還是加法，所以綜上所述，所謂的四則運算，其實就是加法運算，減乘除只是加法的其他計算表現形式。

但如果只注重九九乘法表，只注重計算效率，就會認為加法就是加法，乘法就是乘法。這在數學思想上就是不對的。

對四則運算認知的不足，會引發更大的問題。

有人可能會說，管他什麼認知不認知，不認知這些，照樣能計算出來，沒什麼大問題。但是我想說，如果連這個基礎都認識不清楚，那麼對數學的學習就很難進步，有的人數學學的很好，可他自己都不知道自己為什麼能學的這麼好，其實就是他潛移默化之間，明白了這些最基本的數學思想（當然基礎數學思想不只有四則運算的認知），而有些人數學無論怎麼學，都不行，其實就是連最基礎的數學都沒弄明白。我單單提一下對四則運算認知不足的後果。

最明顯的一點，就是對高等數學不理解，他們很難弄明白級數的概念，他們很難理解為什麼一個積分函數能分解出多項式，他們看泰勒公式就像看天書，他們很難明白曲線積分曲面積分的含義……這些種種不理解，其實根源就是，他們把運算分割了，認為加就是加，乘就是乘，或者即使知道，但卻忽略了。為什麼會忽略？因為計算直接靠背就行。這可能是很多大學生學高數費勁，很多老師講課也費勁的原因之一。

當然，沒有批評中國教育的意思，而且客觀的說，中國基礎教育總體來說還是非常成功的。而且我指出的問題，只是從認知方面進行的分析，如果從效用上分析，九九乘法表就有其天然的優勢了，如果中國的教師，都能既注重效用，又注重認知，把這些都綜合起來，那麼一定會更好。

上面這段粘貼的是我當初的回答，作為回答這個問題的背景吧。對於乘法，其實就是加法的另一種表現形式，8×5和5×8，雖然計算的結果相同，但是代表的數學含義是完全不一樣的。之後所謂的交換律，結合律，分配律等，都是基於計算而提出的。8×5不能寫成5×8，這不是死不死板的問題，而是一個最基礎的數學認知問題，他考察的不是計算，而是對四則運算乘法的認知。如果你對我粘貼的部分進行閱讀了的話，就會更加深刻的理解這其中的含義了。

教育有話說

我想這不是學校、老師死板，而是數學的嚴謹！雖然8*5同5*8的結果一模一樣，但意義完全不同。

要解釋這個問題，我們先要弄明白什麼是乘數，什麼是被乘數以及乘和乘以的區別。

所謂被乘數就是乘法中被乘的數字，放在乘法符號前面，而乘數是用以乘的數字，放在乘法符號後面，兩者統稱為因數！

而

這可能有些晦澀繞口，舉個例子吧：a*b。

這裡面a是被乘數，b是乘數，讀作a乘以b，或者b乘a，表示有b個a相加。

倘若反過來，b*a，則意義完全相反，是a個b相加！讀作b乘以a，或者a乘b。

所以題主的五個八相加，只能寫成8*5，讀作8乘以5！否則，意義就完全不對了。

我想很多人都覺得這很麻煩，明明結果都一樣，還搞這麼多名堂，純粹是多此一舉的事情，但數學概念就是這麼嚴謹，容不得半點歧義！

把這個知識點延伸開，到除法，除和除以的結果就天差地遠了。

請叫我樹先生

我是翼翔老師，教育是我的主業。

在目前的教綱中，這兩個寫法都是被允許的，答案確實是兩個空。

這個問題，註定會引發熱議。

原因有二：

1、和以前我們小時候學的不一樣。

2、有些工作，明確的要求注意乘法中數字的位置。

那麼，為什麼現在要修改教材，數學不是講究嚴謹的嗎？這樣修改過後，明顯讓人感覺不嚴謹了嘛！

第一點：絕大多數工作和生活中，不需要區分乘法中數字的位置

以前的教材，是有乘數和被乘數的區別，而現在教材，統一稱為乘數。

而在我們的生活中，運用到乘法的時候，一般很少考慮位置的先後。

第二點：一個乘式，可以表示兩種意義（和以前的教法不一樣）

比如：8+8+8，可以寫成8*3，也可以寫成3*8，這在新教材中都是被允許的。

同時，在沒有應用情境的情況下，一個乘法算式可以代表兩種意義：

8*3，既可以代表3個8相加，也可以代表8個3相加。

但在實際情境中，需要孩子知道算式的具體含義是代表幾個幾相加。

下面看教師用書中這段說明：（注意理解各數的意義，但是列式不分先後）

最後，最好在此提到一下歷史教法：以前的教法中，8*3只能代表一個意思，3個8相加，這樣做的好處是讓孩子對知識的發展有個大致的瞭解，但是不做強制要求。

第三點：很多孩子在學習乘法中，對於乘數和被乘數的識別感覺到非常困難

大家應該都有經驗，我們以前在學習這部分內容的時候，經常會為搞錯數字的先後感到苦惱。所以，在考慮實際運用的過程中影響很小，現在把這個內容降低難度，達到一個減輕孩子負擔的目的。

第四點：方便學習乘法口訣和乘法交換律

在學習乘法口訣和交換律時，可以比較容易讓孩子們理解。

看下圖：

從上圖可以看出，同樣多的小球，我們根據以前的規範：

橫著看，得出6*4=24

豎著看得出：4*6=24

所以可以理解出交換律，6*4=4*6，都可以用四六二十四來記憶。

綜合以上，目前所用的教材，提及乘法的意義，乘式代表的意義。但是，對於乘數和被乘數的說法，已經改成了都是乘數。

對於以後工作中，如果要運用到乘數和被乘數的概念時，可以稍微學習一下即可。

翼翔老師的兒童教育

這是一種規範，但也是錯誤的規範。

5個8相加，為什麼不能同樣是8個5相加？

強調過程的意義在於什麼？在於保證人在規範的條件下獲得結果，而我們所說的規範條件，其實就是合法、符合道理、符合道德。除此之外，任何形式邏輯都不應該作為思維的束縛。

5個8相加的結果是40，8個5相加的結果還是40，用兩者方法都能得到同樣的結果，而這也不涉及到法律、道德、道理的問題。為什麼不可以？有人說5個8相加只需要做四次加法，而8個5相加卻需要做7次加法，所以，5個8的運算速度更快。

這也是一個比較荒謬的結論，數理上的速度，並不代表物理上的速度，每個人的大腦不同，在處理信息時採用的方式也不同，最好的辦法當然就是按照個人最佳方式來，而不是按照數理上認為的最有效方式。舉個簡單的現實例子，看下圖。

黑線是兩點之間線段最短，而紅線呢？卻是速度最快，因為人游泳的速度不可能比跑步快，更何況還要頂著海浪。如果一定要按照數理上的最佳方式，可能救援者就僅僅晚到十幾秒，落水者已經淹死了。

美國內華達州有個案例很火，一個母親告幼兒園教會了自己孩子“o”是一個字母，結果母親勝訴了。

這件事兒看起來很荒謬，很多人認為學校幫助學生知道字母“o”是天經地義的事情，但是我們不妨看看那位母親的申述主張，她說：我的孩子再知道“o”是字母，並指導這個字母的讀法之前，她會把這個字母想象成雞蛋、想象成輪胎、想象成一切可以是圓形的東西，但是她現在只是知道那時字母“o”。

為什麼當地法院會判這位母親勝訴，因為母親拿出來法官不能拒絕了理由，那就是學校剝奪了孩子的想象空間，更抑制了孩子自由發展的空間。

我們的教育中有很多問題，其中最令人無法接受的就是教條主義，一個結論只能對照一個過程，如果出現另一種方式，那就必然是錯的，這就是對孩子數學天賦的抑制。教育者有沒有考慮過，為什麼享譽世界的中國數學家裡面，只有華羅庚和陳景潤是自己培養出來的？為什麼蘇步青、陳建功、陳省身都是從國學回來的？為什麼我們改革開放之後，一個世界級的偉大數學家都沒有培養出來，就是因為這樣教條主義，導致很多有天賦的人，必須要出國學習，才能獲得成功。

想想華羅庚和陳景潤，我們偉大的民族幾億人口裡面才出現兩個，這是什麼概率？

不能否認特定領域5個8和8個5之間存在區別，但認識的方法不應該是教條的，否則就是失敗的教育。

我們強調獲得結果可以用任何方式，前提是不能違法法律、道德和道理。如果只是過程的學習，並且一定要強調5個8和8個5之間存在區別，那就要拿出來道理，不要硬性規定。

這個世界上沒有什麼事情是絕對，之所以1+1=2，是因為在這個算式裡面，1被賦予了作為最低整數單位的特徵，但在這個特徵之下，也會有其他的答案，比如24，因為兩打啤酒是24瓶。

做規範沒問題，但教育者也需要自己先把問題搞明白。當一個孩子面對5個8相加的時候，他習慣性把8寫在後面，然後再去查個數寫在前面，這有問題嗎？

有些人說數學是嚴謹的，所以必須這樣。這話怎麼這麼像鍵盤俠說的？數學是嚴謹的定理化的嚴謹，不是教條化的嚴謹。那麼多聰明的老師在，誰來說說8*5寫成5*8違反了什麼定理？

總結一句：教條就是為了省事兒，規矩定下來了，就不用解釋了，這不是真的為了孩子好。

補充：統一回復一些問題，以正視聽

其實從頭到尾說的就是避免思維僵化和教條主義，並且明確說了在法律、道理、道德、定理之外，任何情況都不能作為孩子發揮創造力和想象力的束縛，否則就是對孩子天賦的扼殺。

而一些人留言說工程、算法等等領域必須要規矩，請問有人說這些領域不要規矩嗎？上面說的四點要素不是已經涵蓋所有必須遵守的規矩了嗎？一個剛剛學習乘法的孩子，到底應該用哪個領域來束縛他？工程？計算機？航空航天？還是大家認為那些所有高端的領域？

對於基礎數學來說，5*8和8*5，已經沒有乘數和被乘數的差別了，教育領域已經把這個規範取消了，因為這個規範是教條的。竟然還有人說兩者之間有區別，這不是僵化啊，這是墨守成規啊，這是刻板印象啊。拿成人的思維去約束孩子，那我們更不能出影響世界的偉大數學家了，因為這片土地上已經沒有世界級的偉大數學家了。

關於紅綠燈，剛才說了，四大元素必須遵守，但差別在於你要去哪兒啊，要是去馬路對面，當然要等。要是去斜對面，最好是先走另外一條綠燈的路，這還用探討嗎？

有人反駁我字母“o”的案例，真心覺得這沒什麼好說的，按照皮亞傑認知發展理論，2-7歲的孩子是開發創造力和想象力最重要的階段，這裡也叫前運算階段（Preoperational Stage），所以美國那個地方法官才會認可家長的主張，認為幼兒園是有錯的。因為大家都明白，如果讓孩子晚兩年知道字母“o”的含義和發音，並不會影響孩子認識字母“o”和掌握語言。就像我們的漢字一樣，一共有十萬詞組，其中大約四五萬常用詞組，這點兒字兒兩年還學不完麼？更何況跟我們漢語言相比，是那麼淺顯的英語。

這段文字我特意放在最後，而不是放在前面跟他們開撕，因為我知道急於反駁他人的人，是沒有耐心看到最後的。相反，和我有著同樣理解，同樣是反對教條主義和思維僵化教育方式的人，更願意接收到這最後一部分信息。

還是那句話，無論是數學，亦或者是其他科學，都要保證嚴謹性，但不是教條化的嚴謹。科學的基礎是辯證邏輯，而不是形式邏輯，因為有了辯證，科學家才能發現科學本身的不足，由此讓科學不斷的發展。這也是科學的偉大之處，它能讓人類生活的越來越好。

但迷信科學的人，卻一直認為科學是無所不能的，這類思維僵化的人還是自娛自樂的好，不要出來浪，否則會害人。

小言詹詹

兩種觀點都沒有問題。關鍵看從什麼角度思考。

如果只是為了計算出結果，8x5和5x8都是可以，當然可以填兩個空。因為乘法因數可以互換，不影響結果：AB=BA。

但如果要明白乘法的邏輯和意義，那就應該是8x5，因為題中說的是5個8相加，而不是8個5相加。所以只需要一個空就可以了。8x5中，8是被乘數，是不變量，而5是乘數，是個變量。這個邏輯在現實的應用可能意義更大。

打個比方：

我們在學習中，學習知識積累總量=學習的效率x學習時間。所以要加大學習知識的總量，那麼只有兩個途徑，要麼是：依據原有的方法和習慣，保持平衡的學習效率，多花一些時間學習；要麼是：還用原來的時間，或者減少時間，改進自己的學習方法和習慣，提升自己的學習效率。我想大多數人都想用後一種方式，但很多人並不是能夠一下子想清楚這樣的問題。

原因就是我們把這兩個方面當成了同等重要的東西。這個時候你要把那一部分放在首位，定為變量就很重要了。因為時間是有限的，而且和別人比，時間又是公平的，你和別人比時間，在某種程度上是沒有優勢的；但在效率上，每個人就各不相同。而且提升效率方面的能力一旦擁有，那是誰也剝奪不了的。

再打個比方：

生產廠商要增加產量，一般也只有三個途徑，要麼是：改進生產工藝，應用先進技術，提升效率，在同樣時間裡生產出更多的產品；要麼是：保持現有生產工藝和技術，增加生產線，增加員工數量，生產出更多的產品。要麼就是都保持不變，要求員工不停地加班加班，增加生產時間，生產出更多的產品。

你要把哪一個放在首位，把哪一個當成變量，就很重要。

乘法，如果只是為了算出一個結果，那就太簡單了，甚至都不用怎麼去學，如今我們有了計算器，完成可以利用計算器實現。但要讓孩子理解乘法的邏輯，我覺得就很有意義。

所以我更加喜歡，只用上個空的做法。

啟智

我是小學老師，下學期就正好教到這部分內容。我來說說我的看法。

首次出現乘法是在二年級上冊。在假期裡我讓孩子家長監督孩子背過乘法口訣表，但是我強調不許家長給孩子講解這部分。留到學校由我們老師給學生講是最好的選擇。因為這部分內容和過去相比教材上的要求已經發生了變化。

乘法是求幾個相同加數的和的簡便運算。過去是：被乘數＊乘數=積

8+8+8+8+8這個相同加法算式，用乘法計算。那麼加數8就是過去的被乘數，數字5就是乘數，表示5個8相加是多少，必須寫成8＊5=40

現在教材上已經有了更改。

這是教材上的例題。和題主所問的那題基本上是一致的。

可見題主所說的只可以寫成8＊5不可以寫成5＊8是過去的說法。現在教材早就改成這兩種答案都是正確的了。現在的靈活多了，難度也降低了很多。過去那種方法，很多學生弄不清楚哪個是相同加數，哪個是相同加數的個數，誰在前，誰在後難住了好多的孩子。

某領導人在關心孫子寫作業時，正好孩子為這部分頭疼，領導人做了指示，後來教材就改成現在這樣了。

所以我經常說知識有時代性，不要老拿著你過去學的那套去教孩子，有時費力不討好。還是多和老師交流溝通把吧。一起關注孩子們的成長。

心中百合靜靜開

數學是一門系統性特別強，特別嚴謹的學科，不像語文一句話有很多不同的說法，有同義詞的存在，所以對於上面的回答，我覺得只有一個答案，那就是8×5，表示8個5相加。並不是數學的死板，還是一種必須的規範性。我們從小就學習寫字，而且要按照正確的筆順進行書寫，老師上課也會強調書寫的規範性，英語的字母也是一樣的，書寫都有一定的順序，就是這個道理。

這道題中8+8+8+8+8表示5個8相加，如果寫成5×8則表示8個5相加。所以兩個式子的結果雖然是相同的，但含義是完全不一樣的。這就是數學中的嚴密性和邏輯性。

所以，我們需要從小培養起孩子的規範性和嚴密性。

逗你學

8+8+8+8+8寫成乘法算式只能寫8x5，不能寫5x8嗎，小學數學這麼死板？

親愛的家長同志，這其實不叫做死板，而是叫做規範。

雖然8X5和5X8的結果相等。但是兩者所表示的含義不同。

前者表示，5個8相加。後者，表示8個5相加。

如果不這樣子規範。那就會亂套啊，比如題目要求請你寫出5個8相加的式子來，你難道可以寫成5+5+5+5+5+5+5+5來嗎？對啊，它和8+8+8+8+8的結果也是一樣啊。但是所表達的意義完全不一樣。

所以，也請督促孩子，孩子的學習，我們應該從小處細節的規範做起。

比如寫漢字，那個筆順的規範，其實不管你怎麼寫，橫七豎八的，最後那個字還是寫出來了。但是為什麼小學一年級的時候，要特別強調孩子寫筆順，而且筆順也是考試的一個重點。就是這個道理。

這個題目來自於某小學的期考試卷，是個填空題，8+8+8+8+8寫成乘法算式時給了兩個空（ ）和（ ），就有人提出來只能寫8x5不能寫5x8，所以應該只給一個空。你怎麼看這道題？

所以，方老師也認為，這裡只有一個空，他的答案只有一個，那就是8X5，表示5個8相加。

我是初中數學老師，班主任，現在今日頭條開通方老師數學課堂，專門講解初中數學題和中考科普，歡迎大家關注。

關鍵字: 數學 考量 算式