（本文為張奠宙、鄭正亞兩位教授所寫）
數學和數學教育的歷史可以說一樣長，
但是，數學早已形成系統完整的理論，而數學教育理論仍在襁褓之中，世上至今沒有一部公認的權威的“數學教育學”，正因為如此，數學教育中的爭論應該特別多，
在國外，數學教育學派林立，新口號新觀點不斷湧現，彼此的交流討論十分活躍；相比之下，國內的數學教育界少有爭鳴，比較沉寂。鑑於此，本文想提出一些不同的意見，開展爭鳴，歡迎同行提出不同看法，進行商榷，
俗話說：“不打不相識”，
形成有中國特色的數學教育理論，需要不同意見的切磋琢磨。
一、要探索數學教育的特定規律，不要走“教育學+數學例子”的路子
數學教育是一般教育的一部分，當然受一般教育規律的支配，
但是，數學教育學要研究的是數學教育的特殊規律，應該突顯教學教育的特色，翻開一些著作，其中提到“數學教學原則時”，只是“抽象與具體相結合”“分析與演繹相結合”“教師主導作用與學生主體學習相結合”等等，這似乎是在讀一般教育學，其意義就不很大了。
且看國外提出的口號：“大眾數學”“數學問題解決”“非形式化原則”“計算機輔助數學教學”等等，都是數學教育中特有的問題，循此路子下去，終有一日會形成數學教育的特有規律。
弗賴登塔爾提出的數學教學原則是：①“培養學生的數學現實”，②“發展學生教學化能力”，③“學生創造數學”，④“適度嚴謹性”，這些提法都是數學教育所特有的，因而受國際同行尊重，並被反覆引用。
一般理論加數學例子的做法，在數學方法論的著作中也有體現，如果還是分析綜合、演繹歸納、聯想類比這種一般的科學方法論內容，稱之為數學方法論，恐怕不太合適罷！
徐利治先生提倡RMI原理，受到廣泛歡迎，正因為它是數學教育所特有的，所有才有很強的生命力。
二、不要過分渲染“邏輯思維能力”
我國在數學教育論上的一大創造，便是三大能力的提出，即要培養運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力。
這三條，絕不是“教與學”加“數學例子”，確實為數學教育所特有，其概括的簡潔與精確，將是數學教育理論中的精品，當然，三大能力之外，還應該提倡培養用數學意識和方法解決實際問題的能力，這在新的九年義務教學大綱中已有強烈體現，這裡不贅。
現在，還有一種說法是：“三大能力中的核心是邏輯思維能力”，對此我不敢苟同，我曾和許多同志交換過看法，他們覺得數學教育的價值就是培養人的邏輯思維能力，至於有用無用，不必討論。
中學數學無非是鍛鍊思維的體操，談應用就會走上實用主義的道路，乃是一種短視行為，我覺得這種觀點是有害的，
理由有三，①數學不等於邏輯，數學是生動活潑的模型和思想，方程是平衡的模型，函數是變化的模型，結構思想、向量觀點、隨機理念、計算機功效等等都不是邏輯可以推出來的。數學比邏輯要豐富得多，學習數學可以培養學生的邏輯思維能力不過是重要的副產品，並非第一位的目的。②邏輯思維只是思維能力的一種，它到處有用，但範圍有限，一個人若只會邏輯思維，單一運用邏輯語言，那便會成為形而上學者，書呆子，一些迷戀數學的學生常常會覺得物理學、化學等學科“不嚴格”，因而不願去學，就是因為太相信“邏輯”的功能了，在某種意義上，這樣的學生已是錯誤數學教育的受害者。③數學創造主要不是靠邏輯，邏輯演繹只是同語反覆，出現一個個的重言式，你要創造，必須提出新的概念，添加新的對象，創立新的方法，只在邏輯圈子裡打轉不會有新東西出來，
所以，著名數學家、菲爾茲獎獲得者小平邦彥甚至說：“我認為數學和邏輯沒有關係”，這已是極而言之了。
三、“嚴謹性與量力性相結合”的提法不夠準確
關於數學的特點，我曾經寫過文章，對抽象性、嚴謹性、廣泛應用性這三條提出質疑。我的意思是這三條不夠準確，沒有指出數學抽象的特點，沒有指出嚴謹性適用的範圍，如果一味地講抽象、嚴謹，除了把不喜歡數學的孩子們嚇跑之外，並不能給數學教育帶來多少好處。
數學的內容如此豐富多彩，生動活潑，為什麼非要眾口一詞地念叨“抽象”“嚴謹”不可呢？在此基礎上發展一下，豐富一下，使之更吸引人，更加準確，總是沒有壞處的罷！
現在來談“嚴謹性與量力性”的數學教學原則，這一條具有數學特點，應予肯定，但是嚴謹性的問題並不是簡單的年齡特徵問題，不僅是量力而行的問題，而且是如何評價嚴謹性，什麼是嚴謹性的標準，以及是否處處需要嚴謹的問題。
首先，不嚴謹的數學也是數學，
許多數學在剛創立時往往是不嚴謹的，如果拿20世紀的數學嚴格性來衡量，中國古代數學根本沒有嚴格證明，牛頓發明的微積分毫無嚴格基礎，歐拉也成了“不嚴格”的數學家，但是誰能否認中國古代數學成就以及牛頓、歐拉的數學功績呢？評判一項數學成果的價值，不能僅僅從嚴格性著眼。因此，嚴謹性並非只是孩子們的接受能力高低問題，而是數學本身固有的現象。
其次，現今的中學數學根本做不到完全嚴謹，數學邏輯學家羅素和懷特要證1+1＝2，花了300多頁，這樣的嚴謹性誰能受得了，希爾伯特的《幾何基礎》是完全嚴謹的，可是大多數數學教師並不能做到這樣的嚴謹，我們只能做到局部嚴格，因此，並不是“教師”、“教材”都能做到嚴格，只是學生年齡太小，才故意降低嚴格程度，事實是，老師、學生都做不到真正的嚴謹！
第三，數學活動不需要完全嚴格，我們研究數學，進行數學教學，從來不是在絕對嚴格的環境內進行的，不懂希爾伯特的《幾何基礎》中的嚴密性，照樣可以教幾何，照樣可以發表數學論文，所以，中學教材中的嚴密性，是按人們的需要而設計的，並不僅是考慮學生的可接受性。
因此，數學教學的原則應該是適度的嚴謹性，
這個度，是根據數學本身需要，社會對數學嚴謹性的要求，以及學生年齡特徵等綜合確定，因時因地而異，經常在改變著，不要把嚴格性吹得神乎其神，也不要怕別人扣“不嚴格”的帽子，問題要看你的“嚴格性”是否適度，是否恰當。
四、淡化形式，注重實質
這一問題和嚴格性有密切聯繫，自從20世紀50年代學習蘇聯以來，中國數學教材的內容大幅度地嚴密化了，嚴謹的標準便是形式主義，追求形式上的完美，保持教學語言的形式邏輯嚴格要求，
總的來說，這是一個進步，但是過分的形式化，帶來繁瑣、雕琢的毛病，反過來抑制了生動活潑的數學思維，這方面，陳重穆教授已作了精闢的論述（見文［3］），真可謂鞭辟入裡，下面所引入的許多例子，都是來自該文。
形式化的一個表現是什麼都要來個定義，按形式邏輯的要求，屬加種差是最常用的定義形式，於是“方程”要有嚴格定義：“含有未知數的等式叫作方程”，學生們必須背出來，而且要考，這就大可不必了，試問ax=b中，a、b是不是未知數，0＊x=0，x-x=0算不算含未知數？x+1=x+2是不是等式？
總之，可以沒完沒了地和你“抬槓”。其實，在中學裡許多名詞不必正式定義，說明一下就可以了，淡化處理為好，弗賴登塔爾在華東師大講學時說，椅子這個概念人人都懂，描寫可以，但下嚴格定義十分困難，即使有了嚴格定義，也不好用，何必呢？
人們在分類時，要求不重不漏，本來是對的，可是有人硬要將三角分為“等邊三角形”“等腰三角形”和“不等邊三角形”三類，後者豈不是畫蛇添足？有何意義？報刊上也見討論0是不是虛數之類的問題，都是企圖走向劃一的形式主義道路。
以上種種，都是追求形式的花架子，應該談化。學好數學，主要是抓住數學思想，形成數學觀念，掌握數學技能，不要被那些無關宏旨、貌似高深的問題所左右，以免浪費精力。
有人說“形式化的嚴謹性”是懸在數學教師頭上的一把劍，
一旦被人從形式邏輯上找出破綻，指為“不嚴格”“犯科學系錯誤”，那真是奇恥大辱，可能一輩子抬不起頭來。當然，邏輯上真有毛病，當然要改過來，誠懇接受批評，問題是有些批評屬於吹毛求疵，對課堂上的自然語言橫加挑剔，結果弄得許多教師（特別是青年教師）謹小慎微，使生動活潑的思想淹沒在形式的海洋裡中。
適度的“非形式化”是國際上同行的數學教育原則之一，
講微積分不用ε—N方法，講概率不從排列組合開始，應是完全正常的事，但在形式主義者看來，就是“不嚴格”“誤人子弟”“燒夾生飯”，這樣下去，現代化的數學內容怎樣到中學裡去？
現在的九年義務制大綱，還保留著形式演繹的某些過分要求，例如初中生不接觸立體幾何，說那是高中的事，可是大多數學生是不升高中的，他們一生就永遠接觸到天天接觸的地球，建築等立體幾何內容了，這豈非作繭自縛？
五、布魯姆的目標教學可能導向“數學八股”
布魯姆的教育目標分類創立於20世紀50年代初，其目的是為了協調大家對“理解”“掌握”“運用”等詞語的含義，給出統一的理論框架，因此，這一理論從一開始就是為考試而服務的。它在美國得到一些響應，但並未形成共識，另一方面，荷蘭的弗賴登塔爾對它提出了許多質疑和批評，認為這一理論只適用社會科學和人文科學，不適合數學，特別是把整個知識看成一些知識點的總彙，缺乏整體認識，仍是它的致命弱點。（見文［4］）
然而，80年代的中國，布魯姆理論卻風行一時，究其原因，自然是應試教育的需要，說得不好聽一點，布魯姆的教育目標分類理論為中國的應試教育提供了美麗的科學外衣。
在這一理論指導下，整個數學被分解為若干知識點，按照目標要求出題，教師就把知識點按考試要求列出考點，按重要性配備數量不等的練習題。
既然目標明確，就大運動量訓練，對號入座，刻意模仿，記憶程式，以求考試成功。出考題者則以知識點的覆蓋面大為要求，所以試題越來越多，題量越來越大，學生見題就套，必須不假思索就能回答才好，因為根本沒有時間讓你思考。這樣一來，考者和應考者都在知識點上做文章，年年如此，知識點前，人人平等，中國現代考試的格局由此形成。
我們不想對布魯姆的理論發表評論，而是想就這種考試模式發表意見。國家考試中心楊學為主任曾說，中國的封建科舉也曾經考過策論，詩詞等很實用的科目，但是後來為了“客觀公正”，便擬出了“起承轉合”的要求，形成八個“考點”，大家就在這八個點上作同樣的文章，這便是明清以後的八股文，中國高考如果不是考能力，而是考知識點，那就難免會與考八股文殊途同歸。
因此，我想到，布魯姆的教育目標理論如果被用來指導數學“知識點”“考點”的安排，那就會被異化為“數學八股”！把布魯姆理論用來為“應試教育”提供理論依據，是否把人導入了誤區？
六、正視“數學的應用”
中國的數學教育，似乎已經將數學應用的意識失落了，雖然在講數學特徵時總忘不了帶上一句“數學的廣泛應用性”，實際上卻再也不研究數學究竟如何用於其他學科和日常生活，一個突出的例子是：社會主義市場經濟已經列入憲法多年，中學數學卻無絲毫反映，是不是神經已經麻木了？
究其實質，還是有許多思想障礙，
其一，正因為數學有“數學廣泛性”，到處都可用，畢業以後總有用，學好理論自然有用，因此，不必教應用。
其二，文革時期講應用，失敗了，應用就是實用主義，忽視基礎理論誰講應用誰倒黴，何必講應用？
其三，考試不能考應用，數學試卷不能出現數學以外的名詞和知識，否則，究竟是考學生的數學還是考別的知識？既然不能考應用，當然不必教應用。
其四，數學應用太簡單，用不著深入的數學知識。既然“應用”如此容易，不教也會用，所以無需教應用。
其五，誰說沒有數學應用？行程問題，濃度問題，年齡問題，工程問題，多得很，我們不管哪些真有用，哪些假有用。
其六，最保險的是數學內部的應用，三角在幾何中應用，複數在幾何中應用，幾何在代數中的應用等都是，應用就是運用，何必一定要在實際生活中應用？
還可以舉出一些，總而言之，就是反對在其他學科和日常生活中運用數學知識，上述理由都是不想搞應用的遁詞，根本站不住，不值得認真反駁。
還是談談社會主義市場經濟，據調查，初中畢業生半數不會填銀行單據，不懂複利，不理解利潤，看不懂股票走勢圖，弄不清有獎銷售的概率，更不會計算分期付款，捫心想一想，這樣搞數學教育，將置全民的數學素質於何地？對得起父老鄉親嗎？
搞數學的應用教育，非不能也，仍不為也，數學教育理論若不正視這一問題，不給予充分的研究，實在不能成為真正的理論。
七、數學後進生問題應在教學教育學中佔有重要位置
迄今為止的我國數學教育著作中，很少提及數學後進生的問題，這是由於英才教育觀佔導的緣故。在九年義務教育制度之前，教育實行淘汰制，數學更是一把篩子，優良的“穀粒”留下，差劣的“秕糠”揚棄，天經地義，所謂的數學教育無非是幫助學生過“篩子”，即應試。
現在不同了，按義務教育法，所有兒童都必須讀滿九年，至少在這九年內，“穀粒”和“秕糠”同存，而且必須一視同仁，這一重大轉變，必然要反映到數學教學的理論中來，工業化國家在五六十年代經歷過的事，現在輪到我們這個十多億人口的大國來實現了，作為數學教育理論研究，必然把立足點移到全民素質教育上來，“大眾數學”的口號必須付諸實現。
在大城市，這一趨勢十分明顯，上海長寧區的“活動教學”給我留下深刻印象，他們講座標系，就用兩根塑料繩在課堂上以某同學為原點拉成座標架，然後讓每個同學找出自己的座標，這比在黑板上畫兩條垂線的灌輸型教學要高明得多，特別是後進生，據說，這種活動已積累了許多種，我預計，它將代表著未來數學教育的一種趨勢。
報刊上，常見引用斯托利亞爾的話說：“數學教學是數學活動的教學”，但是，看上下文的意思，數學活動就是學生坐在課桌上做練習，開動腦筋思考，
這對中等以上學生當然可以進行，但對後進生，就不見行得通，必須真正地活動起來，把教室弄得活潑熱鬧，才能更好地調動起後進生的積極性。
八、有關數學史教學不能老是講比西方早多少年
近年來，為了貫穿愛國主義教育。常常要介紹中國數學史上的人和事，這無疑是很有必要的，但是，我所看到的材料，最終的落腳點，都是把中國古代數學家的成就，說成比西方早多少年。
《九章算術》系統敘述分數，比西方早1400年，祖沖之發現π的密率為355／113，比西方早1100年，賈憲三角比阿拉伯人早300年，等等。這樣做，當然也是必要的，但是用這種方式進行愛國主義教育，恐怕遠遠不夠，數學成果如此之多，只在某幾點上比外國人早若干年，豈非其他成果都比別人晚多少年嗎？仔細一想，就會感到它不能激勵多少愛國主義熱忱。
正確的態度應該是將科學進步看成人類共同努力的成果，不要分遲早，但是要講貢獻。
中國古算的成就，總的來說，晚於埃及、巴比倫和古希臘，但這並不是說中國古算成績不大，相反，按照吳文俊先生的看法，中國古算有它自己的特點：講究實用，突出原理，注重算法代數和幾何相互滲透，位置記數方法，等等。
這些特點，正是中國古算對人類文明的貢獻，深入挖掘這些西方數學所沒有的東西，才能真正貫徹愛國主義教育，產生民族自豪感。
九、計算器（機）的使用
這又是我國數學教育研究的薄弱環節，在計算器的使用上，上海新編教材已正式列入，人民教育出版社的教材也在提倡使用，但終因考試不能用計算器而未能付諸實施。不過，也聽到有人擔心：“用了計算器將來不會心算、筆算了怎麼辦”？我想這種擔心是多餘的，正像發明了汽車不必擔心人腳會退化一樣，計算器（機）是人腦的延長，只會提高人腦的效率，而不是相反。
我參加過多次數學教育會議，分組活動時，最大的一組必定是計算器（機）在數學教學中的應用。在這一組裡，交換軟件，相互展示，十分熱鬧，中國學者在這方面沒有什麼發言權。
我有時在想，高科技在現今數學教育中的運用已相當深入，而我們仍固守人工計算，原地踏步不前，這似乎像大年用大刀長矛對付火炮火槍一樣，雖然功夫了得，但卻仍然敗下陣來，
我們縱然可以拿奧林匹克數學競賽冠軍，到頭來卻在技術使用上落在後面，豈不是又要捱打？居安思危，還是未雨綢繆的好（其實雨已下得不小了）。
十、最後，談談選題和文風問題
近幾年來，可說是數學教育著作出版的黃金時期，各種作品如雨後春筍，一片繁榮景象，其中確有許多真知灼見，彙集起來，當是有相當分量的工作，不過，若從高要求來看，也有一些不足之處，依個人管見，似有以下諸點值得改進（包括作者自己）：
（1）缺乏科學形態。一種科學論文或論著，總是在前人的基礎上有所改進，因此，必須要引別人的論著，說明哪些是自己的見解，哪些是別人已有的，不能把別人的東西隨意拿來。從版權角度，是版權利益問題，從繁榮科學角度，這是鼓勵書人創造，尊重別人勞動的學術環境問題。
（2）缺乏細緻論證。 如果談做數學題，必須嚴格論證，那麼理應遷移到數學教育研究上來，但與此相反，有的作品隨意談感想，不加論證，有的作品舉出一個論點，舉上一個例子就算完事，毫無嚴謹性可言，從東西方文化角度看，西方人研究問題有如西醫，遇到病人，就化驗，研究病理，做試驗，開刀破肚子在此不計。東方人論證，就像中醫，憑經驗，辨證施治，沒有那套實驗手續。依我之見，還是中西醫結合為好，我們當前的研究，缺乏西醫的那種打破砂鍋問到底的勁頭。
（3）喜歡用大字眼，比較空泛。有一陣子，喜歡借用系統、信息、反饋、最優控制等等字眼，後來又有套用思維的字眼，解題研究非要說成解題思維，分析綜合，演繹歸納本來大家都清楚，現在也非要弄出“分析思維”“綜合思維”等，其實內容並無變化，有時數學教育說成數學思維教育，內涵其實不同了，但仍當作一回事。
（4）過分追求某種程式和文字修飾。寫經驗必定是分三到四段，每段一個小標題，文字講究對仗，每段內容是一個觀點，舉上一個例子，其中不乏套話空話，談一個問題的特徵，必定要提出幾個“性”出來，以示提煉得非常精確，於是就有了“優美性”“提前性”之類的怪詞出來。
（5）選題比較單一。數學教育書刊，多的是解題文章，這本無不可，只是題材和寫法過於雷同，數學教育的選題可以很廣，宏觀上看，民族文化傳統對數學教育的影響，經濟發展對數學教育的要求，都是可以做的題目；微觀上看，男女學生差異，無限觀念的調查，弱智兒童的數學學習等等都是新的領域，可是國內很少有人涉及，真是“熱”的熱死，“冷”的冷死。近來又見對數學美十分關注，但是翻閱一下，大同小異，無非是簡約美、和諧美、對稱美、奇異美那麼幾條，但對中學教材內容的美作些分析如何？概念之美，證明之美，體系之美，無限之美，平衡之美，可探討的方面很多，何必總說那幾句老話？
（6）研究方法單調。我們缺少實驗報告，典型分析，個案報告，跟蹤調查，積幾十年資料寫成的著作還未見（像克魯捷茨基的《中小學能力心理學》那樣的力作）。
（7）關心全局改革的研究太少。中國數學教育究竟應該走什麼路？教材應該如何改？數學教育理論應該如何建設，提個什麼行動口號？這都是有關全局的事，未來世紀的大事，但目前研究的力度很小。國家興亡，匹夫有責，不能什麼事都要等上級的指示來了才動起來，有些事，數學教育研究部門和師範學院數學系應該先研究出方案，供領導決策時的參考，起參謀作用。
（8）注意研究國際數學教育經驗不夠。數學教育是最具國際可比性的學科，國外投入數學教育的研究的力量遠大於我們，有許多經驗可供參考，與其他領域和其他學科相比較，數學教育方面的改革步伐和開放程度都是不大的，恐怕應引起重視。
參考文獻：
［1］弗賴登塔爾.Summary of Principles in Msthemstics Education
［2］小平邦彥.數學究竟是什麼.數學譯林，1986（1）
［3］陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質.數學教育學報，1993（2）
［4］唐瑞芳.關於布魯姆教育目標分類學的思考.數學教育學報，1993（2）
這是華東師範大學張奠宙與湖南零陵師專鄭正亞兩位教授向中國數學教育界提出的十個問題，這些問題概括了當前國內外數學教育界面臨的問題，
有人覺得兩位教授提出這十個問題十分具有前瞻性，反映了許多人對於中國數學教育的心路歷程，也有人覺得這十個問題過於杞人憂天，
對於這十個問題你們是怎麼看的，是否有不同的觀點，歡迎在下方的留言區留言，
讓我們打一架，來相識.
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