在數學界中，一直有一本書被當作神話一般，它就是歐幾里得的《幾何原本》。不僅因為它出現的時間很早，更是因為這個《幾何原本》結構嚴謹，邏輯清晰並且幾個公理的正確性讓許多人為之陶醉。直到近兩千後的今天，依舊被我們作為教科書，可見其影響力和正確性。歐幾里得一共提出了五大公設，一直被當做完全正確的公里來看，但是第五大公設直接導致了

歐幾里得五大公設

1. 任意兩點可以通過一直線連接 ；
2. 任意線段都能延伸成一直線 ；
3. 任意線段可以一個端點為圓心該線段為半徑作圓；
4. 所有直角都全等；
5. 若兩直線都與第三條相交併且在同一邊內角和小於兩直角則這兩條直線在這一邊必相交。

這五大公設的前四條沒有任何問題，關鍵就在第五大公設上。第五大公設被稱為平行公設，後面又被改寫為：過一條直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。兩者是完全等價的。這個第五大公設一直被研究了將近兩千年，最重要的理由就是：此公設與其他4條公設相比，不但比較複雜而且也不顯而易見。甚至連歐幾里得自己也隱隱約約覺得第五公設好像不那麼完美，在《幾何原本》中其他四條公設被大量運用，而第五大公設出現極少，給人的感覺好像是逼不得已才使用的。所以引起了其他學者的注意，自從《幾何原本》流傳後，就有人開始試圖使用其他公設或者原理推導出這第五個公設。

將近兩千年了，沒有人做到，直到近代才催生出了非歐幾何。

非歐幾里得幾何

正是這第五大公設明明是對的，但總讓人感覺有哪邊不對勁，使得人們對它的研究一直到了近代。有人開始提出了新的第五大公設，從而誕生了非歐幾里得幾何學，目前非歐幾何一般是指羅巴切夫斯基幾何(雙曲幾何)和黎曼的橢圓幾何。

非歐幾何是在歐幾里得幾何的基礎上發展來的，其餘四大公設都不變，只改變了第五公設，從而根據這些公設和原理推導出其他一系列稀奇古怪卻自成體系的幾何結論出來。比如羅巴切夫斯基幾何將第五條公設改為了：在平面內，從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行。而作為大數學家的黎曼（沒錯，就是提出黎曼猜想的那位），思考了另一個方向：是不是存在過直線外一點，根本就不能做直線和已知直線平行？

基於這一點，黎曼開創了黎曼幾何。這種幾何很難想象，因為它的一個基礎就是：平行線不存在！它的另一條公設認為直線可以無限延長，但總的長度是有限的。即它的模型實際可以認為是一個類球面型，故被稱為橢圓幾何。

廣義相對論與黎曼幾何的關係

它們兩者有關係嗎？有關係，關係還不是一般的大。愛因斯坦的廣義相對論，一舉打破傳統的時空，將時空網狀結構引入到宇宙中，並順利解釋了引力的來源。廣義相對論認為時空是不均勻的，只有在一小段的空間時間內才會呈現出近似的均勻性，而一旦尺度一放大，就會呈現出不均勻性。

而這種不均勻性，剛好與黎曼的非歐幾何異曲同工！因為不均勻性所以根本不存在兩條完全平行的直線，只有在一小塊平面中，它們才看起來好像是平行的！

於是黎曼幾何被作為了廣義相對論的空間幾何模型，得到了廣泛的應用。這個爭論了近兩千年的“第五公設”成為了孕育物理學革命的基礎之一。

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