中考熱點專題突破精講精練3： 與座標系中的有關熱點問題

平面直角座標系下研究問題是學習函數的基礎，求圖形變換或座標，座標規律探究，動點函數圖像的確定及有關量的求值等這些問題題目靈活且綜合性強，考查學生獨立畫圖並數形結合思考問題的能力。是近幾年的中考的熱點題目，很多問題都是在"動"和"變換"上做文章，。

類型1平面直角座標系中圖形的變換

例1.如圖，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點A在第二象限，點D在第一象限，AB＝2√3，OD＝4，將矩形ABCD繞點O旋轉，使點D落在x軸上，則點C對應點的座標是( )

A．(－√3，1)

B．(－1，√3)

C．(－1，√3)或(1，－√3)

D．(－√3，1)或(1，－√3)

【分析】 根據矩形的性質得到CD＝AB＝2√3，∠DCO＝90°，根據已知條件得到∠DOC＝60°，OC＝2，①當順時針旋轉至△OD′C′時，過C′作C′E⊥OD′於E，②當逆時針旋轉至△OD″C″時，如解圖，過點C″作C″F⊥OD″於F，解直角三角形即可得到結論．

【解答】 在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝2√3，∠DCO＝90°，OD＝4，

∴∠DOC＝60°，OC＝2.

①當順時針旋轉至△OD′C′時，如解圖，∠D′OC′＝∠DOC＝60°，OC′＝OC＝2，

過點C′作CE⊥OD′於E，則OE＝1/2OC′＝1，C′E＝√3/2OC′＝√3，∴C′(1，－√3)．

②當逆時針旋轉至△OD″C″時，如解圖，∠D″OC″＝∠DOC＝60°，OC″＝OC＝2，過C″作C″F⊥OD″於F，則OF＝1/2OC″＝1，C″F＝√3/2OC′＝√3.

∴C″(－1，√3)．

綜上所述，點C對應點的座標是(1，－√3)，(－1，√3)，故選C.

針對訓練

1．（2018•牡丹江中考題）如圖，△ABC三個頂點的座標分別是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），將△ABC繞著原點O旋轉75°，得到△A1B1C1，則點B1的座標為（ ）

A．（√2，√6）或（﹣√6，﹣√2）

B．（√6，√2）或（﹣√6，﹣√2）

C．（﹣√2，﹣√6）或（√6，√2）

D．（﹣√2，﹣√6）或（√2，√6）

2．（2018秋•蘇州期末）如圖，已知P（3，2），B（﹣2，0），點Q從P點出發，先移動到y軸上的點M處，再沿垂直於y軸的方向向左移動1個單位至點N處，最後移動到點B處停止，當點Q移動的路徑最短時（即三條線段PM、MN、NB長度之和最小），點M的座標為（ ）

A．（0，1/2） B．（0，2/3）

C．（0，4/3） D．（0，4/5）

3．（2018•瀘州模擬）如圖，在平面直角座標系中，已知點A、B、C的座標分別為（﹣1，0），（5，0），（0，2）．若點P從A點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向B點移動，連接PC並延長到點E，使CE＝PC，將線段PE繞點P順時針旋轉90°得到線段PF，連接FB．若點P在移動的過程中，使△PBF成為直角三角形，則點F的座標是______

類型2 平面直角座標系中圖形的規律探索

例2．（2018•阜新中考題）如圖，在平面直角座標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°後得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續旋轉2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果點A的座標為（1，0），那麼點B2018的座標為（ ）

A．（1，1） B．（0，√2）

C．（﹣√2,0） D．（﹣1，1）

【分析】根據圖形可知：點B在以O為圓心，以OB為半徑的圓上運動，由旋轉可知：將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°後得到正方形OA1B1C1，相當於將線段OB繞點O逆時針旋轉45°，可得對應點B的座標，根據規律發現是8次一循環，可得結論．

【解答】∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），

連接OB，由勾股定理得：OB＝√2，

由旋轉得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝√2，∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°後得到正方形OA1B1C1，

相當於將線段OB繞點O逆時針旋轉45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，√2），B2（﹣1，1），B3（﹣√2，0），…，

發現是8次一循環，所以2018÷8＝252…餘2，∴點B2018的座標為（﹣1，1）

故選：D．

【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角．也考查了座標與圖形的變化、規律型：點的座標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規律的方法，屬於中考常考題型．

【方法規律】解決規律探索類問題，要運用一般與特殊的思想，從簡單的情況入手，"列而不算，規律自現"；解決循環類型的規律探索問題，找出循環組是關鍵！

針對訓練：

4.如圖，動點P從(0，3)出發，沿箭頭所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等於入射角．當點P第2 018次碰到矩形的邊時，點P的座標為( )

A．(1，4) B．(5，0)

C．(7，4) D．(8，3)

5．（2018秋•桐梓縣期中）已知等邊△ABC，頂點B（0，0），C（2，0），規定把△ABC先沿x軸繞著點C順時針旋轉，使點A落在x軸上，稱為一次變換，再沿x軸繞著點A順時針旋轉，使點B落在x軸上，稱為二次變換，…經過連續2018次變換後，頂點A的座標是（ ）

A．（4033，√3） B．（4033，0）

C．（4036，√3） D．（4036，0）

6．（2018春•商河縣期末）在平面直角座標系中有三個點A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），點P（0，2）關於A的對稱點為P1，P1關於B的對稱點P2，P2關於C的對稱點為P3，按此規律繼續以A、B、C為對稱中心重複前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，則點P2018的座標是（ ）

A．（0，0） B．（0，2）

C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）

類型3 根據幾何圖形中的動點問題判斷函數圖象

例3.(2018·濰坊中考題)如圖，菱形ABCD的邊長是4釐米，∠B＝60°，動點P以1釐米/秒的速度自A點出發沿AB方向運動至B點停止，動點Q以2釐米/秒的速度自B點出發沿折線BCD運動至D點停止．若點P、Q同時出發運動了t秒，記△BPQ的面積為S釐米2，下面圖象中能表示S與t之間的函數關係的是( )

【分析】 應根據0≤t＜2和2≤t＜4兩種情況進行討論．把t當作已知數值，就可以求出S，從而得到函數的解析式，進一步即可求解．

【解答】 當0≤t＜2時，S＝2t×√3/2×(4－t)＝－√3t²＋4√3t；當2≤t＜4時，S＝1/2×4×√3/2×(4－t)＝－√3t＋4√3；只有選項D的圖象符合，故選D.

方法總結：函數圖象的判斷：(1)根據實際問題判斷函數圖象時,需遵循以下幾點:①找起點:結合題幹中所給自變量及因變量的取值範圍,對應到函數圖象中找出對應點; ②找特殊點:即指交點或轉折點,說明圖象在此點處將發生變化; ③判斷圖象趨勢; 判斷函數的增減性; ④看是否與座標軸相交:即此時另外一個量為0等.

(2)以幾何圖形(動點)為背景判斷函數圖象的題目,一般的解題思路為設時間為t(或線段長為x),找因變量與t(或x)之間存在的函數關係,用含t(或x)的式子表示,再找相對應的函數圖象,要注意是否需要分類討論自變量的取值範圍.

針對訓練

7．(

8．(2018·東營中考題)如圖所示，已知△ABC中，BC＝12，BC邊上的高h＝6，D為BC上一點，EF∥BC，交AB於點E，交AC於點F.設點E到邊BC的距離為x，則△DEF的面積y關於x的函數圖象大致為( )

9．(2018·煙臺中考題)如圖，矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，點P從點A出發，以1 cm/s的速度沿A→D→C方向勻速運動，同時點Q從點A出發，以2 cm/s的速度沿A→B→C方向勻速運動．當一個點到達點C時，另一個點也隨之停止．設運動時間為t(s)，△APQ的面積為S(cm2)，下列能大致反映S與t之間函數關係的圖象是( )

10．(2018·葫蘆島中考題)如圖，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，點P從點B出發沿著B→A→C的路徑運動，同時點Q從點A出發沿著A→C→D的路徑以相同的速度運動，當點P到達點C時，點Q隨之停止運動，設點P運動的路程為x，y＝PQ2，下列圖象中大致反映y與x之間的函數關係的是( )

類型四 已知函數圖象計算相關量

例4.（2018•烏魯木齊中考題）如圖①，在矩形ABCD中，E是AD上一點，點P從點B沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止；點Q從點B沿BC運動到點C時停止，速度均為每秒1個單位長度．如果點P、Q同時開始運動，設運動時間為t，△BPQ的面積為y，已知y與t的函數圖象如圖②所示，以下結論：①BC＝10；②cos∠ABE＝3/5；③當0≤t≤10時，y＝2/5t2；④當t＝12時，△BPQ是等腰三角形；⑤當14≤t≤20時，y＝110﹣5t，其中正確的有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個

【分析】根據題意，確定10≤t≤14，PQ的運動狀態，得到BE、BC、ED問題可解．

【解答】由圖象可知，當10≤t≤14時，y值不變，則此時，Q點到C，P從E到D．∴BE＝BC＝10，ED＝4故①正確．∴AE＝6,Rt△ABE中，由勾股定理求得AB＝8，∴cos∠ABE＝AB/BE=4/5；故②錯誤

當0≤t≤10時，△BPQ的面積,1/2PB·QB·cos∠ABE=2/5 t2,∴③正確；

t＝12時，P在點E右側2單位，此時BP＞BE＝BC,由勾股定理求得PC＝21√7,∴△BPQ不是等腰三角形．④錯誤；

當14≤t≤20時，點P由D向C運動，Q在C點，△BPQ的面積為1/2×10×(22-t)=110-5t,則⑤正確故選：B．

【點評】本題為雙動點問題，解答時既要注意兩個動點相對位置變化又要注意函數圖象的變化與動點位置變化之間的關聯．

針對訓練

11．（2018•河南中考題）如圖1，點F從菱形ABCD的頂點A出發，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點F運動時，△FBC的面積y（cm²）隨時間x（s）變化的關係圖象，則a的值為（ ）

A．√5 B．2 C．5/2 D．2√5

12．（2018•本溪中考題）如圖1，在矩形ABCD中，點E在CD上，∠AEB＝90°，點P從點A出發，沿A→E→B的路徑勻速運動到點B停止，作PQ⊥CD於點Q，設點P運動的路程為x，PQ長為y，若y與x之間的函數關係圖象如圖2所示，當x＝6時，PQ的值是（ ）

A．2 B．9/5 C．6/5 D．1

13．（2018•長豐縣一模）如圖1，△ABC中，∠A＝30°，點P從點A出發以2m/s的速度沿折線A→C→B運動，點Q從點A出發以a（cm/s）的速度沿AB運動，P，Q兩點同時出發，當某一點運動到點B時，兩點同時停止運動．設運動時間為x（s），△APQ的面積為y（cm²），y關於x的函數圖象由C1，C2兩段組成，如圖2所示，下列結論中，錯誤的是（ ）

A．α＝1 B．sinB＝1/3

C．△APQ面積的最大值為2

D．圖2中圖象C2段的函數表達式為y＝﹣1/3x²+5/3x

針對訓練參考答案

1.C

【解析】根據題意只研究點B的旋轉即可，OB與x軸夾角為45°，分別按順時針和逆時針旋轉75°後，與y軸負向、x軸正向分別夾角為30°，由此計算座標即可．故選：C．

2.A

【解析】將BN沿NM方向平移MN長的距離得到AM，連接AB，可得四邊形ABNM是平行四邊形，根據當A，M，P在同一直線上時，AM+PM有最小值，最小值等於線段AP的長，即BN+PM的最小值等於AP長，可得PM、MN、NB長度之和最小，再根據待定係數法求得AP的解析式，即可得到點M的座標．故選：A．

3. （5，2），（√5/2 +7/2，√5 -1）．

【解析】當P位於線段OA上時，顯然△PFB不可能是直角三角形；由於∠BPF＜∠CPF＝90°，所以P不可能是直角頂點，可分兩種情況進行討論：

①F為直角頂點，過F作FD⊥x軸於D，BP＝6﹣t，DP＝2OC＝4，在Rt△OCP中，OP＝t﹣1，由勾股定理易求得CP＝t²﹣2t+5，那麼PF2＝（2CP）²＝4（t²﹣2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB＝PF²÷PD＝t²﹣2t+5，而PB的另一個表達式為：PB＝6﹣t，聯立兩式可得t2﹣2t+5＝6﹣t，即t＝√5/2+1/2；

②B為直角頂點，那麼此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那麼BP＝2OC＝4，即OP＝OB﹣BP＝1，此時t＝2．

故答案是：（5，2），（√5/2 +7/2，√5-1）．

4．C

【解析】 根據反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環組依次循環，用2018除以6，根據商和餘數的情況確定所對應的點的座標即可．

如解圖，經過6次反彈後動點回到出發點(0，3)，∵2 018÷6＝336……2，∴當點P第2 018次碰到矩形的邊時為第337個循環組的第2次反彈，點P的座標為(7，4)．故選C.

5.D

【解析】利用已知點座標得出等邊△ABC邊長為2，根據三角函數可得等邊△ABC的高，頂點A的座標分別為（4，0），（4，0），（7，√3），（10，0），（10，0），（13，√3），…，進而得出點的座標變化規律,2018÷3＝672…2，672×6+4＝4036，故頂點A的座標是（4036，0）．故選：D．

6.D

【解析】設P1（x，y），再根據中點的座標特點求出x、y的值，找出循環的規律即可得出點P2018的座標．

可求P1（2，﹣4）．同理可得，P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，

∴每6個操作循環一次．∵2018＝6×336+2，∴點P2018的座標與P2（﹣4，2）相同．故選：D．

7．C　【解析】如解圖，過點C作CD⊥y軸於點D，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠OAB＝90°，∵∠DCA＋∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠OAB.又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴△CDA∽△AOB，∴OB/DA=OA/DC=AB/AC＝tan 30°，則x/y-1＝√3/3，故y＝√3x＋1(x＞0)，則選項C符合題意．故選C.

8．D　【解析】過點A向BC作AH⊥BC於點H，所以根據相似比可知：EF/12＝6-x/6，即EF＝2(6－x)，所以y＝1/2×2(6－x)x＝－x²＋6x(0＜x＜6)，該函數圖象是拋物線的一部分，故選D.

9．A　【解析】由題意，得AP＝t，AQ＝2t.①當0≤t≤4時，Q在邊AB上，P在邊AD上，如解圖①，

S△APQ＝1/2AP·AQ＝1/2·t·2t＝t²，故選項C、D不正確；②當4＜t≤6時，Q在邊BC上，P在邊AD上，如解圖②，S△APQ＝1/2AP·AB＝1/2t·8＝4t，故選項B不正確；故選A.

10．B

【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴由勾股定理求得AC＝8，當0≤x≤6時，AP＝6－x，AQ＝x，∴y＝PQ²＝AP²＋AQ²＝2x²－12x＋36；當6≤x≤8時，AP＝x－6，AQ＝x，∴y＝PQ²＝(AQ－AP) ²＝36；當8≤x≤14時，CP＝14－x，CQ＝x－8，∴y＝PQ²＝CP²＋CQ²＝2x²－44x＋260，故選B.

11.C

【解析】通過分析圖象，點F從點A到D用as，此時，△FBC的面積為a，依此可求菱形的高DE，再由圖象可知，BD＝√5，應用兩次勾股定理分別求BE和a．故選：C．

12.B

【解析】由圖象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，設：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，conα＝AD/BE=a/3，在Rt△BCE中，sinα＝BC/BE＝a/4，由（sinα）²+（conα）²＝1，解得：a＝12/5，當x＝6時，即：EN＝3，則y＝MN＝ENsinα＝6/5．故選：B．

13.C

【解析】根據圖象確定點Q的速度，AB長，再由銳角三角函數用∠B的正弦值和x表示y將（4，4/3）代入問題可解．

當點P在AC上運動時，y＝1/2AP·AQ·sin∠A=1/2×2x·ax·1/2=1/2 ax ²

當x＝1，y＝1/2時，a＝1

由圖象可知，PQ同時到達B，則AB＝5，AC+CB＝10

當P在BC上時y＝1/2x·(10-x)AQ·sin∠E，

當x＝4，y＝4/3時，代入解得sin∠B＝1/3

∴y＝1/2x·(10-x)1/3=-1/3x²+5/3x,

當x＝﹣b/2a=5/2時，y最大＝25/12,故選：C．

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