喊wo臭小猫
我觉得非数学专业的人似乎没有必要来了解这个axiom of choice
“给出一个由非空集合为元素的无穷集合S，你可以从每个元素集合里拿出一个元素，构造一个新无穷集合”
注意这里的要害在于：这个新集合的构造过程是不需要给出的，也就是说，你不需要指明如何从原来的集合里挑选元素。
这个“公理”听起来很合理，但细究起来有一些让“某些数学家”（比如构造主义学派）不太舒适的地方：这条公理意味着你不需要真正去（通过特征等）理解和挑选元素，依然可以宣称该集合被创造出来了。
这个定理我记得最早好像是ZFC里使用，用来试图解决康托尔集合论悖论（这是一个更大的坑）。
跟这个axiom of choice有关的是一个非常非常著名且反直觉的定理：taski-banach定理。绝对让人摔掉下巴！
“一个三维空间里的单位实心球，可以被分割成有限块（实际上最少只要5块），将这些小块仅仅通过旋转和平移这两种刚体运动（没有拉伸！），就可以完整的重构出两个和原先一模一样的单位实心球！一个点都不少！”
这个定理的完整证明比较啰嗦，但关键步骤很简单，用到抽象代数里的“二阶自由群”，很容易证明球的两种（比如分别沿x轴和y轴）旋转（角度只要是π的无理数倍即可）可以构成一个二阶自由群的两个生成元。然后运用一个二阶自由群的经典方法将之拆成两个与原群“几乎”一样的集合。最后是一堆啰嗦的方法把上面“几乎”俩字去掉。
注：这个定理我个人认为具有强烈的物理意义：空间和物质不可能（像实数轴一样）是无限连续可分的，否则质量守恒等大批物理概念都不复存在。
tarski-banach定理的证明过程其实是需要依赖“选择公理”的。实际上并未真正给出一个“明确的，可执行”的方法来指导你一步步如何切割单位球，而是证明了“这种切割是存在的”。这也是构造主义数学家对此公理有所诟病的地方。
帖木兒
第一个提出这条公理的人，是一个能接受随机，也能接受无限，但是不能接受把这两个概念组合在一起的数学家。
但是我想破了脑袋，也不清楚为什么这两个不能组合在一起，这两个概念的结合，为什么不是自然的而是需要一条公理来保证。
数学史上，这个公理的提出，据说是为了良序定理的合理性。
是不是，为了接受一个列举不出来的良序的存在，所以选择公理必需提出？
为了否认这种良序的存在，就要否认选择公理？
