歸一問題
【含義】
在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然後以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。
【數量關係】
總量÷份數＝1份數量
1份數量×所佔份數＝所求幾份的數量
另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數
【解題思路和方法】
先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。
例1
買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？
解
（1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12（元）
（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）
列成綜合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
例2
3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？
解
（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？90÷3÷3＝10（公頃）
（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6＝300（公頃）
列成綜合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）
答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。
例3
5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？
解
（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？100÷5÷4＝5（噸）
（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？5×7＝35（噸）
（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷35＝3（次）
列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要運3次。
歸總問題
【含義】
解題時，常常先找出“總數量”，然後再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。
【數量關係】
1份數量×份數＝總量
總量÷1份數量＝份數
總量÷另一份數＝另一每份數量
【解題思路和方法】
先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。
例1
服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法後，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？
解
（1）這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）
（2）現在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）
列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904（套）
答：現在可以做904套。
例2
小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？
解
（1）《紅巖》這本書總共多少頁？24×12＝288（頁）
（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8（天）
列成綜合算式24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以讀完《紅巖》。
例3
食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。後來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？
解
（1）這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）
（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）
列成綜合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：這批蔬菜可以吃25天。
和差問題
【含義】
已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。
【數量關係】
大數＝（和＋差）÷2
小數＝（和－差）÷2
【解題思路和方法】
簡單的題目可以直接套用公式；複雜的題目變通後再用公式。
例1
甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？
解
甲班人數＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人數＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2
長方形的長和寬之和為18釐米，長比寬多2釐米，求長方形的面積。
解
長＝（18＋2）÷2＝10（釐米）
寬＝（18－2）÷2＝8（釐米）
長方形的面積＝10×8＝80（平方釐米）
答：長方形的面積為80平方釐米。
例3
有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解
甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？
解
“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此甲車筐數＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙車筐數＝97－64＝33（筐）
答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。
和倍問題
【含義】
已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。
【數量關係】
總和÷（幾倍＋1）＝較小的數
總和－較小的數＝較大的數
較小的數×幾倍＝較大的數
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。
例1
果園裡有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？
解
（1）杏樹有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）
答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。
例2
東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？
解
（1）西庫存糧數＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）
（2）東庫存糧數＝480－200＝280（噸）
答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。
例3
甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天後乙站車輛數是甲站的2倍？
解
每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當於每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以後甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數（52＋32）就相當於（2＋1）倍，
那麼，幾天以後甲站的車輛數減少為
（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）
所求天數為（52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以後乙站車輛數是甲站的2倍。
例4
甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？
解
乙丙兩數都與甲數有直接關係，因此把甲數作為1倍量。
因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍；
又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍；
這時（170＋4－6）就相當於（1＋2＋3）倍。那麼，
甲數＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙數＝28×2－4＝52
丙數＝28×3＋6＝90
答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。
差倍問題
【含義】
已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。
【數量關係】
兩個數的差÷（幾倍－1）＝較小的數
較小的數×幾倍＝較大的數
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。
例1
果園裡桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？
解
（1）杏樹有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）
答：果園裡杏樹是62棵，桃樹是186棵。
例2
爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？
解
（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）
（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）
答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。
例3
商場改革經營管理辦法後，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？
解
如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當於上月盈利的（2－1）倍，因此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）
本月盈利＝18＋30＝48（萬元）
答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。
例4
糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天後剩下的玉米是小麥的3倍？
解
由於每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等於原來的數量差（138－94）。把幾天後剩下的小麥看作1倍量，則幾天後剩下的玉米就是3倍量，那麼，（138－94）就相當於（3－1）倍，因此
剩下的小麥數量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）
運出的小麥數量＝94－22＝72（噸）
運糧的天數＝72÷9＝8（天）
答：8天以後剩下的玉米是小麥的3倍。
倍比問題
【含義】
有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。
【數量關係】
總量÷一個數量＝倍數
另一個數量×倍數＝另一總量
【解題思路和方法】
先求出倍數，再用倍比關係求出要求的數。
例1
100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解
（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）
（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）
列成綜合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
例2
今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？
解
（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）
（2）共植樹多少棵？400×160＝64000（棵）
列成綜合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全縣48000名師生共植樹64000棵。
例3
鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？
解
（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200（倍）
（2）800畝收入多少元？11111×200＝2222200（元）
（3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20（倍）
（4）16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000（元）
答：全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。
相遇問題
【含義】
兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。
【數量關係】
相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）
總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間
【解題思路和方法】
簡單的題目可直接利用公式，複雜的題目變通後再利用公式。
例1
南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？
解
392÷（28＋21）＝8（小時）
答：經過8小時兩船相遇。
例2
小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那麼，二人從出發到第二次相遇需多長時間？
解
“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。
因此總路程為400×2
相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。
例3
甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。
解
“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）
兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：兩地距離是84千米。
追及問題
【含義】
兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在後面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，後面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。
【數量關係】
追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及時間
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。
例1
好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？
解
（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）
（2）好馬幾天追上劣馬？900÷（120－75）＝20（天）
列成綜合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好馬20天能追上劣馬。
例2
小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解
小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］
＝300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3
我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？
解
敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知
追及時間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
＝220÷20＝11（小時）
答：解放軍在11小時後可以追上敵人。
例4
一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。
解
這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落後於貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，
這個時間為16×2÷（48－40）＝4（小時）
所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）
列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］
＝88×4
＝352（千米）
答：甲乙兩站的距離是352千米。
植樹問題
【含義】
按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。
【數量關係】
線形植樹棵數＝距離÷棵距＋1
環形植樹棵數＝距離÷棵距
方形植樹棵數＝距離÷棵距－4
三角形植樹棵數＝距離÷棵距－3
面積植樹棵數＝面積÷（棵距×行距）
【解題思路和方法】
先弄清楚植樹問題的類型，然後可以利用公式。
例1
一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解
136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2
一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？
解
400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白楊樹。
例3
一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？
解
220×4÷8－4＝110－4＝106（個）
答：一共可以安裝106個照明燈。
例4
給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60釐米和40釐米，問至少需要多少塊地板磚？
解
96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）
答：至少需要400塊地板磚。
例5
一座大橋長500米，給橋兩邊的電杆上安裝路燈，若每隔50米有一個電杆，每個電杆上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？
解
（1）橋的一邊有多少個電杆？500÷50＋1＝11（個）
（2）橋的兩邊有多少個電杆？11×2＝22（個）
（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）
答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。
年齡問題
【含義】
這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關係隨著年齡的增長在發生變化。
【數量關係】
年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯繫，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。
【解題思路和方法】
可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。
例1
爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？
解
35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，
明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。
例2
母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年後母親的年齡是女兒的4倍？
解
（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）
（2）幾年後母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成綜合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年後母親的年齡是女兒的4倍。
例3
甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？
解
這裡涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：
過去某一年 今年 將來某一年
甲 □歲 △歲 61歲
乙 4歲 □歲 △歲
表中兩個“□”表示同一個數，兩個“△”表示同一個數。
因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，
因此二人年齡差為（61－4）÷3＝19（歲）
甲今年的歲數為△＝61－19＝42（歲）
乙今年的歲數為□＝42－19＝23（歲）
答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲。
行船問題
【含義】
行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船隻本身航行的速度，也就是船隻在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船隻順水航行的速度是船速與水速之和；船隻逆水航行的速度是船速與水速之差。
【數量關係】
（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（順水速度－逆水速度）÷2＝水速
順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關係的公式。
例1
一隻船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這隻船逆水行這段路程需用幾小時？
解
由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速為25－15＝10（千米）
船逆水行這段路程的時間為320÷10＝32（小時）
答：這隻船逆水行這段路程需用32小時。
例2
甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？
解
由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可見（36－20）相當於水速的2倍，
所以，水速為每小時（36－20）÷2＝8（千米）
又因為，乙船速－水速＝360÷15，
所以，乙船速為360÷15＋8＝32（千米）
乙船順水速為32＋8＝40（千米）
所以，乙船順水航行360千米需要
360÷40＝9（小時）
答：乙船返回原地需要9小時。
列車問題
【含義】
這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。
【數量關係】
火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速
火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）
÷（甲車速－乙車速）
火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）
÷（甲車速＋乙車速）
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關係的公式。
例1
一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？
解
火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。
（1）火車3分鐘行多少米？900×3＝2700（米）
（2）這列火車長多少米？2700－2400＝300（米）
列成綜合算式900×3－2400＝300（米）
答：這列火車長300米。
例2
一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？
解
火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為
8×125－200＝800（米）
答：大橋的長度是800米。
例3
一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在後面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？
解
從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。
例4
一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那麼，火車從工人身旁駛過需要多少時間？
解
如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當於火車相遇問題。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。
時鐘問題
【含義】
就是研究鐘面上時針與分針關係的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。
【數量關係】
分針的速度是時針的12倍，
二者的速度差為11/12。
通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。
【解題思路和方法】
變通為“追及問題”後可以直接利用公式。
例1
從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？
解
鐘面的一週分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在後，兩針相距20格。所以
分針追上時針的時間為20÷（1－1/12）≈22（分）
答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。
例2
四點和五點之間，時針和分針在什麼時候成直角？
解
鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或後15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針後（5×4）格，如果分針在時針後與它成直角，那麼分針就要比時針多走（5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那麼分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。
（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）
（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）
答：4點06分及4點38分時兩針成直角。
例3
六點與七點之間什麼時候時針與分針重合？
解
六點整的時候，分針在時針後（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。
（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）
答：6點33分的時候分針與時針重合。
盈虧問題
【含義】
根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有餘（盈），一次不足（虧），或兩次都有餘，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。
【數量關係】
一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：
參加分配總人數＝（盈＋虧）÷分配差
如果兩次都盈或都虧，則有：
參加分配總人數＝（大盈－小盈）÷分配差
參加分配總人數＝（大虧－小虧）÷分配差
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關係的公式。
例1
給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就餘11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？
解
按照“參加分配的總人數＝（盈＋虧）÷分配差”的數量關係：
（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少個蘋果？3×12＋11＝47（個）
答：有小朋友12人，有47個蘋果。
例2
修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？
解
題中原定完成任務的天數，就相當於“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數＝（大虧－小虧）÷分配差”的數量關係，可以得知
原定完成任務的天數為
（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
這條路全長為300×（22＋4）＝7800（米）
答：這條路全長7800米。
例3
學校組織春遊，如果每輛車坐40人，就餘下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？
解
本題中的車輛數就相當於“參加分配的總人數”，於是就有
（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）
（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）
答：有6輛車，有270人。
工程問題
【含義】
工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關係。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。
【數量關係】
解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關係列出算式。
工作量＝工作效率×工作時間
工作時間＝工作量÷工作效率
工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解題思路和方法】
變通後可以利用上述數量關係的公式。
例1
一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？
解
題中的“一項工程”是工作總量，由於沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由於甲隊獨做需10天完成，那麼每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：兩隊合做需要6天完成。
例2
一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？
解一
設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以
（1）每小時甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）
（2）這批零件共有多少個？
7÷（1/6－1/8）＝168（個）
答：這批零件共有168個。
解二
上面這道題還可以用另一種方法計算：
兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7
所以，這批零件共有24÷1/7＝168（個）
例3
一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，餘下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？
解
必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是
60÷12＝560÷10＝660÷15＝4
因此餘下的工作量由乙丙合做還需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）
答：還需要5小時才能完成。
例4
一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？
解
注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當於一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。
要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其餘兩個量便可由條件推出。
我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知
每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知
一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15
又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1×2，
所以，2小時內注滿一池水
至少需要多少個進水管？（15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（個）
答：至少需要9個進水管。
正反比例問題
【含義】
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那麼這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係叫做正比例關係。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關係叫做反比例關係。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。
【數量關係】
判斷正比例或反比例關係是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。
【解題思路和方法】
解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。
正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。
例1
修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米後，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？
解
由條件知，公路總長不變。
原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當於（4－3）份，從而知公路總長為300÷（4－3）×12＝3600（米）
答：這條公路總長3600米。
例2
張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？
解
做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關係
設91分鐘可以做X應用題則有28∶4＝91∶X
28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13
答：91分鐘可以做13道應用題。
例3
孫亮看《十萬個為什麼》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？
解
書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關係
設X天可以看完，就有24∶36＝X∶15
36X＝24×15X＝10
答：10天就可以看完。
按比例分配問題
【含義】
所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分佔總數量的份數，另一種是直接給出份數。
【數量關係】
從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數＝比的前後項之和
【解題思路和方法】
先把各部分量的比轉化為各佔總量的幾分之幾，把比的前後項相加求出總份數，再求各部分佔總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前後項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。
例1
學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？
解
總份數為47＋48＋45＝140
一班植樹560×47/140＝188（棵）
二班植樹560×48/140＝192（棵）
三班植樹560×45/140＝180（棵）
答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。
例2
用60釐米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少釐米？
解
3＋4＋5＝1260×3/12＝15（釐米）
60×4/12＝20（釐米）
60×5/12＝25（釐米）
答：三角形三條邊的長分別是15釐米、20釐米、25釐米。
例3
從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，並規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少隻羊。
解
如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到
1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
9＋6＋2＝1717×9/17＝9
17×6/17＝617×2/17＝2
答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。
例4
某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？
解
80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三個車間一共820人。
百分數問題
【含義】
百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。
在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。
【數量關係】
掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關係：
百分數＝比較量÷標準量
標準量＝比較量÷百分數
【解題思路和方法】
一般有三種基本類型：
（1）求一個數是另一個數的百分之幾；
（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；
（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。
例1
倉庫裡有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各佔原重量的百分之幾？
解
（1）用去的佔720÷（720＋6480）＝10%
（2）剩下的佔6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2
紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？
解
本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%
或者1－420÷525＝0.2＝20%
答：男職工人數比女職工少20%。
例3
紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？
解
本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25%
或者525÷420－1＝0.25＝25%
答：女職工人數比男職工多25%。
例4
紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各佔全廠職工總數的百分之幾？
解
（1）男職工佔420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女職工佔525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男職工佔全廠職工總數的44.4%，女職工佔55.6%。
“牛吃草”問題
【含義】
“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在於要考慮草邊吃邊長這個因素。
【數量關係】
草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數
【解題思路和方法】
解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。
例1
一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？
解
草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
（1）求草每天的生長量
因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等於原有草量加上20天內的生長量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天內生長量
同理1×15×10＝原有草量＋10天內生長量
由此可知（20－10）天內草的生長量為
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生長量為50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5天內草總量
5天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125
（4）求多少頭牛5天吃完草
因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。
因此5天吃完草需要牛的頭數125÷5＝25（頭）
答：需要25頭牛5天可以把草吃完。
例2
一隻船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘
水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？
解
這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最後一問給出了人數（相當於“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：
（1）求每小時進水量
因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量
10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量
所以，（10－3）小時內的進水量為1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小時的進水量為14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30
（3）求17人幾小時淘完
17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是
30÷（17－2）＝2（小時）
答：17人2小時可以淘完水。
雞兔同籠問題
【含義】
這是古典的算術問題。已知籠子裡雞、兔共有多少隻和多少隻腳，求雞、兔各有多少隻的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。
【數量關係】
第一雞兔同籠問題：
假設全都是雞，則有
兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）
假設全都是兔，則有
雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）
第二雞兔同籠問題：
假設全都是雞，則有
兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）
假設全都是兔，則有
雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）
【解題思路和方法】
解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然後以兔換雞；如果先假設都是兔，然後以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。
例1
長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠裡。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？
解
假設35只全為兔，則
雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔數＝35－23＝12（只）
也可以先假設35只全為雞，則
兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數＝35－12＝23（只）
答：有雞23只，有兔12只。
例2
2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？
解
此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每隻雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每隻兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有
白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）
答：白菜地有10畝。
例3
李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？
解
此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有
作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日記本數＝45－15＝30（本）
答：作業本有15本，日記本有30本。
例4
（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少隻？
解
假設100只全都是雞，則有
兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
雞數＝100－20＝80（只）
答：有雞80只，有兔20只。
例5
有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？
解
假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
方陣問題
【含義】
將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。
【數量關係】
（1）方陣每邊人數與四周人數的關係：
四周人數＝（每邊人數－1）×4
每邊人數＝四周人數÷4＋1
（2）方陣總人數的求法：
實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數
空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）?
內邊人數＝外邊人數－層數×2
（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：
總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4
【解題思路和方法】
方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。
例1
在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？
解
22×22＝484（人）
答：參加體操表演的同學一共有484人。
例2
有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。
解
10－（10－3×2）?
＝84（人）
答：全方陣84人。
例3
有一隊學生，排成一箇中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？
解
（1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方陣內層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）
答：這隊學生共160人。
例4
一堆棋子，排列成正方形，多餘4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？
解
（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）
（2）縱橫增加一層後正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5
有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？
解
第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：這個三角形樹林一共有15棵樹。
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