本文整理自楊建平老師在留學全知道平臺的講座，如需轉載，請按轉載要求。
大家好，我是包玉剛實驗學校的楊建平老師。非常榮幸能夠通過留學全知道這個平臺，和大家一起分享IBDP數學課程改革當中的一些變化。
今天我會從課程改革的背景，新課程的內容，考察的形式，選課以及面對新的課程改革我們將如何準備，才能幫助我們孩子將來更好的適應IB的學習這幾個方面，簡要地談一下我自己的一些個人的想法。
IB的數學課程為什麼要改革？
在談這個話題之前，我想先分享一組數據給大家看一下。
IB所有的科目都是分HL高級水平和SL標準水平的。以2017年為例，這張圖中列出來的科目都是IB選課當中比較大眾化的一些學科，必修課和選修課都有。
數學這個學科，選高級水平的人差不多隻有15%左右，有的時候還沒有，所有的科目當中選高級水平最少的一個學科，和某些學科相比，這個比例真的是非常少，可能只有有些學科的1/3，甚至或者只有1/4。
為什麼選數學HL高級水平的人這麼少呢？
因為高級水平的數學真的是挺難的，比我們大多數家長想象的都要難。我的學生一直都是這樣子評價高級數學的，他們覺得上課只要老師一講就覺得挺容易的，但是輪到自己拿到習題的時候，就會發現那些很難的數學理論知識，他們沒有辦法靈活地運用，但是其他人只要稍微點撥一下，好，立馬就又懂了。
高級數學比大多數人想象的要難，所以真正能把它學好的孩子不是非常的多，這也就導致了大家選的人會比較少。
接下來的這份表格，是2018年所有參加數學四個不同級別的考試人數分佈圖，以及得分的百分比情況。去年大約一共有10萬個人參加了考試，10萬個人不到一點點。
這四個級別的考試當中，第一行的進階數學是四個裡面最難的一個，也是學的人極少的一個。那麼這個課程用孩子們的話說，就是給那些超級數學大咖們學的，或者是數學天才們學的，裡面包含了我們國內大學數學的微積分，離散數學概率統計，數論群論的這些知識，課程的普及度非常小，連可用的資源都很少。 第二行的數學研究是四個課程當中最簡單的，在國內幾乎沒有孩子選這樣的課程。這個課程一般都是給將來你要學習純藝術方向，或者做音體美、設計等等方向的孩子學習的。這個課在西方國家選的人比較多，以前我們出去培訓的時候，有一個加拿大的老師跟我們說，他對班級裡面選數學研究的學生這樣說，如果你學了數學研究還拿不到七，那說明十有八九你是個白痴。
雖然這個老師說得誇張了一點，但這個課程的難度甚至不能達到某些大學對數學的入學要求。所以在有一些大學，它其實是並不認可這個課程的難度的。
那麼，HL高級數學和SL標準數學是我們國內大多數孩子選的兩個數學級別，像我們這樣的雙語學校，差不多是1/3的人選高級數學，2/3的人選標準數學。
從得分的情況來看，高級數學得7的百分比是13.7%，如果你選高級數學，你要得到7還是挺難的。
那有的人會認為，我選標準數學，那我就得7的概率應該會更高一點。從這張表格當中你也可以看到，標準數學它得7的概率其實也不高，反而概率最高的是什麼？是最難的進階數學，因為學跟學這個課程的人實在是太厲害了，所以他們得了7。
剛才所呈現的這兩組數據也是導致這次數學改革的其中一個原因。新的課程改革就是為了鼓勵更多的學生能在將來選擇高級水平數學。
另外新的課程當中，我們更強調了運用圖形計算器，或者一些其他更先進的數學軟件來進行數學建模的能力，它更加註重了將抽象的數學理論知識運用到實際生活問題解決能力的培養。如果高中以前是在體制內讀書的，那麼運用計算器的意識可能會更加的薄弱一些。
國內我們國內的數學給孩子們打下了超級紮實的代數基礎，我們的學生就很習慣性地做什麼都是手動計算，利用圖形計算器去畫函數圖像，再去解決實際問題的意識相對來說就弱一些。所以新大綱當中也特別注重了這一能力的培養。
新數學課程做了哪些改變？
左邊一欄黃色是我們現在的課程，四個不同的級別，從上而下由難到易。新的課程體系將這四個不同級別的課程進行了整合，分成了兩個方向，一個是數學分析與方法，還有一個是應用與解釋。
分析與方法這個方向是對數學十分感興趣的學生設計的，使他們能夠熟練地建構數學觀點，培養數學的思維能力。他們將在科技層面探索數學的應用，並運用數學能力解決實際問題。
這一方向中的SL課程和目前的SL課程比較類似，HL課程和目前的大綱中的HL也是類似的，只是加入了更多的微積分的知識。
另外一個方向是應用與解釋，應用與解釋是為那些喜歡從數學的角度來看待世界，並喜歡運用科技手段來解決實際問題的人，所以他更強調數學的實用性。這一方向中的HL課程增加了更多的統計和離散數學的內容。
所以，正在讀十年級的學生將會第一次使用新的大綱，並在2021年的5月份第一次參加考試。
現在大家看到的這張圖就是我們新課程的模型。
左邊兩個條形統計圖是應用與解釋方向，偏應用型；右邊兩個是分析與方法方向，是偏理論型的。無論是選哪一個級別的，都是學習五大模塊的知識：藍色的是數與代數，綠色的是函數，黃色的是幾何與三角，橘紅色的這個是概率統計，天藍色的部分是微積分。
唯一的差別是每一個模塊可能在你選的不同的級別，學習內容是學習時間是不一樣的，學習內容也不是完全一樣的，有重合的部分，也有是一些不一樣的地方。
你現在看到的，是我們教學的一個基本模型，每個課程之外還要加30個小時，基於問題解決的探索或者數學建模的學習。因為我們每一個孩子在IB數學課程學完之後，還要再交一篇用英文寫的數學論文。怎麼完成這樣一篇數學論文，需要有老師的指導，需要有學生在課堂上自己探索的過程，所以這個時間有30個小時。
總共加起來，如果你將來選SL標準數學，不管是哪一個方向的學習時間都是150個小時；HL高級數學的學習時間是240個小時，1.5倍！
從這裡的兩張圖你可以看得出來的，無論是選應用型的數學，還是選理論方向的數學，中間有一個藍色的交集的部分，交集的部分是60個小時的學習內容，無論你選這四個數學分支當中的哪一個，你都是要完成這60個小時的共同的學習內容。
從左邊的這幅圖當中你可以看得出來，無論你是選哪一個方向的，標準數學已經變成了高級數學的其中一個部分。
為什麼要這麼做？
課改的目的是鼓勵更多的學生在最初的時候選擇高級數學。如果你學了一段時間HL以後，發現成果不如預期的那麼好，可能還會影響你將來大學的申請，那你可以很靈活的再把它調回SL，因為HL的內容是完全的可以覆蓋所有的SL的內容的，不像過去SL和HL是有差別的。
有部分的學校，不管你選什麼數學，可能在剛開學的一兩個月中，所有的孩子都會放在一起先學完這60個小時的共同內容，然後再分不同的方向，分不同的級別。
這兩個方向的課程到底有哪些區別？
我在從教學的內容上面來做一下區分。分析與方法這個課程，SL標準級別中五個單元的知識還是比較均衡的，每一個模塊的學習時間差不多都是在20多個小時。
微積分部分的學習時間是28個小時，難度比較適中的，我們絕大多數的孩子學起來覺得還是比較輕鬆的。概率和統計部分，它也能涵蓋大學入學所需要的那些比較基礎的概率統計的知識。所以我覺得將來標準級別的課程可能還是最受歡迎的一個課程。
HL高級別數學和現在的高級別數學其實很相像，三角函數以及微積分的佔分比重非常大，就這兩個模塊的知識就要佔掉106個小時，差不多是整個課程一半的時間去掉了。他的微積分的難度，也是跟國內大學高等數學當中的那些微積分的知識相當的。比如解微分方程，泰勒展開式，廣義積分等等，還有其他很多的知識都還是比較難的。所以將來HL的數學，我覺得對學生來學起來還是挺困難的。
應用與解釋這個課程，它是希望學生能夠用數學去解釋生活當中的很多現象，用函數模擬出來，能夠讀懂數據，並從數據當中提取有效的信息進行分析和推測，所以他對函數和概率的要求會比較多，佔比比較大。微積分的內容相對來說比較少，只有19個小時的學習時間，而且它的難度比較低，它只要求學生掌握非常基礎的微分和積分的知識就可以了，那麼考試的難度相對來說也比較低一點。
應用與解釋方向的HL高級數學是今年新出的一個課程。它的統計概率統計部分佔分比重比較大，有52個小時的學習時間，是把我們現有高級數學選修部分的概率統計和離散數學當中的一些圖論的知識加到了這個課程當中。我們好多年之前曾經教學過學生維諾圖，後來就被刪掉了，現在這個又開始變成了其中的一個考察點。
新課程的考查形式如何？
先講分析與方法這個方向，HL高級數學它是外部考試是5個小時，SL標準數學是3個小時，共同的地方就是試卷一都不可以使用計算器，試卷二和試卷三可以使用計算器的。
試卷一和試卷二都是分成兩個部分進行考察，A部分為簡答題，B部分為大的綜合題，分數對半55分，滿分都是110分。
那麼問題就在這裡，A部分的簡答題一共是九道題，合起來是55分；B部分的綜合題部分只有三道題，合起來也是55分。從這幾年的教學情況來看，孩子們很容易在試卷B的部分失分比較多。因為試卷B只有三道題，每道題的分值大多數時候在15分到25分之間，一道大的綜合題可能就有四個問題或者五個問題，有時候甚至有更多一點，而且是一問套著一問的，所以如果前面做錯了，後面就很難拿到分數了。
高級數學當中，試卷三是今年新出的一個考試類型，55分，只有兩道題。他考試所提問的形式，跟我們傳統考試所問的問題差別很大，所以我覺得學高級數學將來這個試卷三，這種數學建模的題對學生來說可能是一個蠻大的挑戰。
好，這是外部考試，那麼內部考試還有一篇論文。論文是在老師的指導下完成的，每個學校因為學校內部安排的不一樣，論文撰寫的時間也是不一樣，我們學校是從11年級的第二學期開始，也就是說1月份開始，一直寫到9月份國慶之前結束，我們是分把它拆分成很多細小的部分，讓學生一點一點地完成的。
分析與方法的SL標準數學部分，大家你可以看一下上面的圖片當中的題，它的唯一的差別就是說它的試卷A和試卷B的部分，得分並不是對半分的，而是變成了試卷B的部分，會比試卷A的部分稍微高一點點，可能是43分、45分、47分都是有可能的。
應用與解釋這個方向，它的考試跟前面也是差不多，外部考試都是5個小時和3個小時，但是他有一點非常好的就是，他是全程都可以使用計算器的，所以您不用擔心您的孩子說計算能力太差，老是算錯。您唯一要去擔心的是他有沒有使用計算器的強烈的意識，或者說能不能熟練地使用這個計算器。
這一方向的試卷一和試卷二的考試形式和剛才的也是不一樣的，剛才是每張試卷都有簡答題和大的綜合題，這個方向的考試簡答題是全部在試卷一上面，試卷二全部都是大的綜合題，所以試卷二相對來說得分有可能就會低一點。
試卷三跟剛才那個是一樣的，也是兩道大的數學建模，或者是數學理論知識的探索。這個方向的數學考試，它要求閱讀的內容比剛才那個要更多一些，所以我們前面IB新大綱出來在培訓的時候，很多老師不管是中國老師還是國外的一些老師就比較擔心，
如果學生英語閱讀理解的能力要稍微弱一些，還真不建議你讀應用與解釋方向的高級別數學，否則你會被那些問題繞暈的。尤其是試卷三，它只有兩道題，它一道題可能就是A4紙正反兩面。他只問了一道題，你就要需要從這些內容當中去得到這些有效的信息，然後再來解題。所以他對學生的語言能力也有一定的要求。至於他的論文要求和前面是一樣的。
IB該怎麼選課？
我們還是建議學生一定要根據自己對學習的興趣，以及將來大學想申請的目標、專業的大方向來選擇課程。如果有條件的話，不妨在選課之前諮詢一下孩子學校的升學輔導顧問，或者您在機構幫孩子請的這些升學輔導顧問，看看怎樣搭配課程會比較合適。
如果是將來想從事工程計算機物理數學經濟這些方向的，我們是建議孩子你一定要選高級別數學的。
如果說你對文科比較感興趣，將來申請的目標專業也是偏文科方向，比如說社會地理這些自然科學，比如說商業心理學藝術設計，電影製作這些方向，那麼你就選擇應用與解釋這個課程，實用性比較強，不像分析與方法那麼抽象，那麼難去理解。
如果你將來所選的專業方向需要用到比較多的數學，或者說要把數學作為一個比較強大的功能學科去使用的時候，那毫無疑問，你必須要選擇分析與方法這個課程。如果你將來不從事純粹的什麼工程類或者計算機類，那你可以選擇分析與方法的SL標準級別。
當你確定了哪一個方向之後，我們建議孩子們可以事先嚐試一下高級數學。從現在的課程體系來看，高級數學的難度可能是標準數學難度的三倍。這是學生們這樣評價的，因為他們覺得要花的時間要付出的努力差不多是這個樣子。
我個人認為將來的高級數學，考試的難度可能比現在要稍微簡單一點，因為過去我們HL和SL雖然學一模一樣的內容，但是實際考試的時候，它的高級數學比它的標準數學的題目要難很多。但是新的考試當中，高級數學和標準數學它有一小部分的內容，考試題是一模一樣的。這樣一定程度上，也是會把HL考試的難度稍微下降了一點。
由於應用與解釋這個方向的HL是今年新出的一個課程，所以不少的家長和學生都比較感興趣，他們也問是不是應用與解釋的HL，比另外一個方向分析與方法方向的HL更容易一些？
因為課程還沒有實施，所以我們看不到暫時看不到學生實際最終實際學習的狀況如何，暫時在這裡無法做評判。IB官方組織給出來的解釋，無論是從考試形式上還是學習的過程當中，他們會保證這兩個課程的難度是一致的。
還有不少家長問，這個課程有沒有被所有的大學認可？
IB也給200多個大學發了一個徵詢函，每個大學的回覆是不一樣的，大多數的大學還是認都認可這四個課程的。比如說多倫多大學，如果你大一的時候是要選微積分，那麼他只認你分析與方法這個方向的HL和SL，和應用與解釋這個方向的HL，那麼應用於解釋方向的SL，他是不認可的，他認為你這個能力本身是不夠的。
還有英國的一些比較好一點的，就是排名比較靠前一點的大學，只要它這個專業它是要求你要有A level數學水平的，或者是further A level水平的，那麼他是要求你一定要選分析與方法這個方向，而且是HL的。所以每個大學不太一樣，就要看一下你申請的大學是大致要什麼方向，然後再來決定。
這兒我跟大家分享一下，我們的學生在聽完了選課建議以後,他們自己的一些思考。
他們跟我說分析與方法，這個課程因為存在的時間比較長了，它也已經被所有的大學認可，它有很大的一個資源庫，將來無論是你想提前自學一點，或者還是想多做一些練習，你的YouTube的視頻上有很多的內容，題庫裡面也有很多的題，將來可以幫助你練習。
但是應用與解釋這個課程，因為它是新出的，可利用的資源比較少，而且新的課程被大學的認可可能也需要有一個過程，所以他們覺得可能選擇分析與方法這個課程會更加的保險一點，而且很多的大學在大一的時候，反正還是要學習微積分的，所以他們覺得可能這個課程更加合適一點。
當然不管怎麼樣，我們還是建議孩子，如果要選高級數學，那麼一定是要對數學真的感興趣的。
因為我們在這幾年的教學過程當中也發現，有很多時候我們孩子本身數學的能力不是那麼強，比如說看到其他人都選了高級數學，或者說因為我的升學輔導顧問說，你必須選高級數學，你才能考得上前多少名的大學，結果孩子學習的過程當中非常的痛苦。
所以我們建議你不但要聽大學升學輔導顧問的那些建議，你也要根據自己的自身的能力量力而行，千萬不可以別人選什麼我就學的選什麼。
關於IB的選課，這裡我想再多囉嗦幾句。因為在真正讀IB之前，所有的選課，我們可能更多的考慮的是你將來要申請什麼大的方向。這種選課一定程度上會忽略孩子在學習過程中會遇到的困難。
我想和大家分享一下我們的學生在他們學完了IB之後，那麼回頭再去看他們當初的選課，所得到的一些經驗總結。
IB一共是六個大組，數學是屬於第五組，它是一個必修的，學生用了三個大於號來標註標高級別數學和標準級別數學的難度。
第一組和第二組是語言類的。因為我們大多數的孩子都是中國籍的，所以就會選擇中文，A那麼這個地方是中文母語，中文B是給那些外國人學中文的。英文A或者英文B是看孩子自身的能力，如果你的英文能力特別強，那你就選英文A英語文學；如果你的英文程度還行，那你就選英文B，就是英語語言學科。
在新的大綱當中，中文高級水平比中文標準水平多了兩本閱讀書目。但是對我們的孩子來說，作為母語，可能學習這個語言本身難度的挑戰，不如其他的學科學更難的知識來的挑戰那麼大，所以他們就畫了一個約等於的符號。
第四組是自然科學，可選大於等於1門。比如說你將來想學醫學方向，那你就可以在第四組的時候選擇生物和化學。在第四組自然科學當中，其中有一個環境與社會,用孩子們的話說就是這個課相對來說比較水一點，難度稍微低一點，那麼如果你也學不了物理，學不了化學，學不了生物，那麼至少第四組你就可以用環境與社會這門課稍微衝一下。第三組是社會科學，也可以選擇大於等於1門。所以我們有很多學生他會選經濟，經濟加上歷史或者經濟加上地理，或者是經濟加上心理學。
在第三組當中，其中有兩個難度比較高，一個是歷史，如果你的孩子英語讀不了英語文學HL，你就不要讀歷史的HL，因為要求的閱讀量和寫作量非常大，你是不一定能讀得下去的。第三組當中還有一個心理學也是非常難的。所以這個只能看每個學校提供的課程，然後你再自由的搭配。
第六組是屬於選修的，像我們學校提供的是視覺藝術，音樂，戲劇和電影，這個要根據每個學校或者自己自身的情況而定。如果你第六組不選，你可以在自然科學或者社會科學當中多選一門課也可以。
我想跟大家分享我們學生完學完兩年的IB之後，回頭再去反思，如果我現在還有機會重新選課，我會怎麼辦？
這是我們一個學校的一個超級大牛娃，非常有心的一個孩子，做的跟同學們一起做的一個方案的總結，他將選課分成了四類，
理科方向，文科方向，藝術和語言類，分別是怎麼搭配的。那麼如果是在國內讀IB的課程，那麼語文數學英語這三門學科你是必須要學的，那一定程度上已經將這個學科已經框死了，只剩下其它三門你可以自由搭配，其實搭配的空間並不是很大。
那麼我們這個孩子很有趣，他還總結了比如說每一個不同的方向下面怎麼選課是比較合適的，那麼在後面有機會我可以分享一下我們孩子的公眾號給大家，一篇非常有趣的文章，大家可以參考一下，用他們的話說，這是他們的血淚的總結。
其實，IB課程比我們絕大多數家長其實想象的要難。我常常跟學生開玩笑說，IB當中最厲害的學生不是你可以得到45分滿分的學生，而是你能按時把作業都做完的學生。不僅學科內容難，作業量也大，而且它還要求學生要學TOK、要寫EE，要做課外活動。 所以一定程度上對學生的要求非常高。
所以如何選課還真的是一門大學問。我覺得參與學習的學生，比我這個老師可能更有發言權。
如何應對新課程的變化
如何幫助我們的孩子更好的應對新課程的變化，以及將來如何更好地學好新課程，那麼我想提幾點我自己個人的一些看法：
第一個就是從高中開始，我們需要很有意識地培養孩子數學建模的能力以及論文撰寫的能力。數學論文的撰寫作為IB數學最終考察的其中一個部分，它已經存在不少年了，所以很多學校也已經把論文撰寫的要求降低，在9年級10年級的時候，就嘗試著按照能力水平寫一點小小的文章，到最終12年級的時候，完成這篇數學論文就不會有那麼吃力。
可能有些學校圖書館老師工作做得比較好的話，他們能教會學生如何去收集資料，如何去做一些參考文獻的備註，這個能力也是很重要的。
關於數學建模的能力，這個是中國數學和外國數學一直都比較強調的，在我們國內數學，我們也一直強調要把數學應用於生活實際，我們也是在嘗試著做各種各樣的課程改革。
今年IB數學，尤其是高級別的數學當中，運用數學建模的能力變成了一個蠻重要的考察點。如果是從家長或者說學生個體方面去培養自己的數學建模能力，我覺得比較難，還是要依賴於學校的課程方面，做課程改革，做課程建設，要有鋪墊式的，讓學生有能力的去慢慢的一步一步步的去培養數學建模的能力。
比如我們學校，因為我們九年級和十年級學的是英國的IGCSE的課程，其中有一個叫international math,翻成中文應該叫國際數學，代號是0607。
那麼在這個課程當中，它其中有一個部分叫investigation and modeling,就是數學建模探索。在international math 的考察範圍當中還有一個試卷六，就是跟我們將來要考試的HL數學的試卷三的考查內容非常的類似，只不過難度級別上相差很大。所以international math它可以作為培養九年級學生數學建模能力的一個基礎課程。
如果不開設數學international math的學校，也可以運用他試卷六上面的一些建模的案例，對學生進行數學建模能力的培養，教會學生一些方法還是很重要的，能力的培養它是需要一年一年地幫助學生慢慢去建立的。
既然我們很多的家長都想讀IB課程，一定會去讀私立學校，那麼家長也可以通過家委會，或者通過學校的教導處進行溝通，希望學校必須要建立這樣的課程，幫助學生學會如何建模。
第二點的建議，就是希望我們孩子可以從九年級開始，不論是在體制內讀書，還是在國際學校讀書，都應該紮紮實實地將代數和各種函數的知識學好了，尤其是各種函數的知識，這個是將來學習數學建模和微積分的一個重要基礎。 第三點建議就是從高中開始，每次解題，尤其是考試的時候，一定要有詳細的解題過程。在我們學校從九年級開始，每次考試的時候都不發任何的草稿紙，我們要求學生一定要有詳細的解題過程。
當一個學生用規範的數學語言、數學符號以及數字向考官呈現你的思維過程，也是你在和考官進行溝通的一個過程，溝通能力是IB非常重視去培養的一個能力之一。如果沒有中間的過程，最後的答案是對的，只能給最後答案分一分，所以說，解題的過程比最後的結果要來得更重要。
第四點，從高中開始，請一定不要限制你的孩子使用計算器。圖形計算器的功能有很多，它並不是用來計算加減乘除的。加減乘除的計算只是裡頭的一小點，非常小的一個部分。
我們家很多家長總是很擔心，那麼從九年級開始就使用計算器，那麼計算能力變弱了，將來考試來不及怎麼辦？
我以IB高級數學考試舉例，它是兩個小時12道題，很多人都來不及做，來不及做的真正原因不是他們計算能力太弱了，而是題目變得更難了。他們花在每道題上，去想怎麼做的時間花的太長了，才導致來不及做，或者壓根就不會。
那麼現在新的課程改革了，如果將來你的孩子選的是應用與解釋方向的數學，那麼從頭至尾都是可以使用計算器的，你就更沒有必要去擔心它的計算能力變弱這個事了。
所以能夠熟練地使用圖形計算器，對孩子來說也是一個非常重要的本領。我個人認為其實更小的時候就應該使用計算器了，現在有那麼多的強大的功能軟件可以進行簡單的計算和數據分析，為什麼我們還要浪費孩子們的寶貴時間去做這些事，讓他們算算算？我個人覺得非常沒必要，這只是代表我個人的觀點。
總之一句話，只有一直保有對數學的學習興趣，才能把IB的數學學好，尤其是高級數學，因為高學數學比較難，只要只有真正有興趣，真的才能學好它。
-End-
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