古希臘時期，畢達哥拉斯用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理。自此，人類便開始將形狀與數學聯繫在一起。

200年後，歐幾里得把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發，論證命題得到定理的幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學。

經過數千年的更迭，人們對於形狀的研究越來越複雜，而這時，霍奇猜想就應運而生。

霍奇猜想誕生的背景

17 世紀 70 年代以前，幾何和代數都有了相當的發展，但它們是互相分離的兩個學科。笛卡爾對當時的幾何方法和代數方法進行比較思考，他主張把幾何學的問題歸結成代數形式的問題，用代數學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創立了我們現在稱之為的“解析幾何學”。

笛卡爾的數學思想證明了如果你抽象一步進一步，幾何實際上是與代數相同，幾何可以轉化為代數方程，代數方程同樣也可以轉化為幾何圖形。

如果你想看到某條線與特定圓交叉的位置，你可以幾何地繪製形狀，或者只是用代數方式比較方程。 兩種方法都會給出相同的答案。

到了19世紀，數學家嘗試推廣笛卡爾的方法。他們從一些代數方程入手，把這些方程的解定義為“幾何”對象。以這種方式從代數方程產生的對象，就被稱為“代數簇”。

球射影空間上的代數簇

因此，代數簇是幾何圖像的一種推廣．任何一個幾何對應都是一個代數簇，但是有許多代數簇是不可能被直觀化的。然而，並不因為某個特定的代數簇不可能被直觀化，你就不能對它做（代數）幾何。你能做，只不過這是沒有圖形的幾何。

之後，數學家很快發現更復雜的方程，或者甚至方程組都在一起工作，可以在各種維度產生驚人的形狀。

數學家為了得到更加複雜的形狀，發現了一個非常實用的方法，基本想法是在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧非常好用，使得它可以用許多不同的方式來推廣。

數學家希望通過這種方法，用各種不同類型的方式一步一步地擴展，最終建立一組強有力的代數方程或／和幾何工具，使各種複雜的對象分類成一些具體的簡單的幾何對象及其組合。這使得數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。

不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來在這種擴展過程中，幾何出發點變得模糊起來——到底從哪些簡單幾何對象組合起；組合的程序／序列又是什麼。因此，必須加上一些沒有任何幾何解釋的＂非幾何＂基本模塊。

正是基於這樣的困境， 1958年，英國數學家，第13次國際數學大會的主席霍奇教授提出：對於射影代數簇空間，在非奇異復射影代數簇上, 任何一個霍奇類都可以表達為代數閉鏈類的有理線性（幾何部件的）組合。

這句話是什麼意思呢？“非奇異射影代數簇”指代的是由一個代數方程的解所生成的光滑的多維物體的“表面”。簡單而言就是：任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多複雜(只要你能想得出來)，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。

霍奇猜想提出的意義

現代數學自伽羅瓦的群論誕生以來，越來越傾向於提煉出對事物本質抽象的認識。

一百多年以來，數學家們在抽象的基礎上繼續建立更深的抽象，每一層次的抽象都更加遠離我們日常的經驗世界。以群論為例，我們通用的“加、減、乘、除”則被抽象為四種運算法則。

霍奇猜想則是現代數學極端抽象體系下誕生的難題。作為高度專業的問題，它處理的對象與人們的直覺相去甚遠，以至於不但對猜想本身的對錯難以下判斷，甚至連問題本身的表述都在尋求建立真正的共識。

也就是說這個問題的表述是否嚴謹合理在數學界都還存在一定的爭論。有些人甚至說它應該更準確地稱為一個不著邊際的猜測。

而霍奇猜想的證明將在代數幾何、分析和拓撲學這三個學科之間建立起一種基本的聯繫。

霍奇猜想的證明進展

美國數學學會曾出版專門關於霍奇猜想研究進展的書。在其序言的開頭有一段對霍奇猜想的陳述，它被這本書描述為這個猜想的“通俗版本”：

這本書曾出版了兩版。第二版在1999年出版，共有368頁，每頁都排得密密麻麻。根據已知的情況作了更新。其中列出了發表於1950年至1996年的71篇論文，這些論文都僅僅是關於這個猜想的一個方面，即所謂阿貝爾簇上的霍奇猜想的。這本書的作者在序言中承認，即使有了這個補遺，這個綜合報告仍然是不完全的，要讀者參閱其他資料。

也就是說說從1958年提出，霍奇猜想的研究進展幾乎為0，而唯一有突破的一次證明還是在霍奇猜想提出之前，是由美國數學家萊夫謝茨於1925年解決的，他證明了霍奇猜想的一種情況。

複雜幾何圖形

相比起大名鼎鼎的龐加萊猜想、哥德巴赫猜想等，霍奇猜想可以稱之為世界上最難的數學問題，誕生半個多世紀，數學家依然對它束手無策。

目前，兩名畢業於北京大學數學科學學院的80後中國數學家惲之瑋、張偉證明了函數域中的高階Gan-Gross-Prasad猜想，張偉和惲之瑋所發現證明的這個公式和7個“千禧年問題”中的3個（霍奇猜想、黎曼假設、BSD猜想）都有關係。惲之瑋在接受CCTV採訪時說：“我們的等式是連接了數論和幾何的兩個量，幾何那邊和代數幾何中的霍奇猜想有關，數論那邊和黎曼假設中的黎曼Zeta函數有關，這個等式本身可以看作是在BSD猜想框架下的一些拓展”。

惲之瑋,張偉

希望中國數學家可以在這個千年未決的難題上取得一點小的突破，這樣數學家才知道霍奇猜想通往的方向究竟會是哪裡。