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函数一词最早出现于清朝数学家李善兰的译作《代数学》一书中。从字面意思来看，函数就是一个数中包含着另一个数。

（李善兰出生于1811年，是中国近代数学先驱）

初中阶段，我们就开始接触函数这个概念了，教科书上是这样说的：在某一变化过程中，存在两个变量，如果其中一个量y总存在唯一对应的值随着x值的改变而改变，那么y就被称之为x的函数。其中x被称之为自变量，另一个量y则被称之为因变量。

高中阶段，函数的概念又更加深刻了，出现了集合和映射的概念，将只能是数的变量拓展到了包含任意元素的集合。高中函数的定义是这样的：假设AB两个集合是非空集，按照某种对应关系（又称之为映射）f，对于集合A中的任意元素a，集合B中总是存在唯一对应的元素b，那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数。在这里，变量的取值范围分别称之为定义域和值域。

其实，函数就是描述变量的一种手段。这个世界因为存在因果律，才使得我们可以用函数这种概念去描述变量之间的关系。不管是连续的量还是离散的量，只要是变量都可以用函数来描述。比如随机变量就存在分布函数。正因为如此，函数在生活中才变得如此的重要。

函数不一定存在数学解析式，函数的图像也并不一定能够完整的画出来，但变量与变量之间的关系却是真实存在的。在变化的世界中寻找规律是一件很困难的事，但科学技术的发展都离不开它。

我们在中学阶段学习的都是初等函数，初等函数是由五大基本初等函数和常数在有限次的有理运算和复合操作后演绎而成的，它们是：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。有时还会引入常数函数这个概念。除了初等函数，还有非初等函数，比如狄利克雷函数和黎曼函数等。

如果按照取值范围，又可以分为实变函数与复变函数。我们通常所学习的都是二元函数，就是只有两个变量，有两个以上变量的就称之为多元函数。关于函数的性质就更多了，主要有奇偶性、单调性、周期性、连续性、凹凸性、有界性等。

总结起来，函数就是集合与集合之间一种确定的对应关系。这么说吧，只有你真正掌握了函数，你才能算得上进入了高等数学领域。

科学探索菌

为了解释函数的本质是什么？有必要知道函数的发展史，通过了解函数的发展历程，我们可以从表面本质彻底的认识函数！

第一个历程，几何观念下的函数

1.伽利略是最早透露出函数概念的，只不过当时用的不是函数这个名词，他指出：用文字和比例的语言表达两个量的关系。仅此而已。

2.随后解析几何出现，直角坐标系的发明者笛卡尔在解析几何中注意到：“两个变量之间的关系也一个变量，总是依靠另一个变量而存在”。很遗憾的是，当时大部分函数都被当做曲线来研究，并没有意识到需要提炼出函数这一概念！

3.时间到了1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示“幂”，后来陆续用function表示曲线上点的坐标或者与曲线有关的量，这个时候“function”的词义应该不被翻译成函数，应该翻译成“功能”（个人观点），但是无论如何，1673年是数学历史上第一次见到“function”一词，是历史性的突破！直到现在，依然都是使用它！

第二个历程，代数观念下的函数

1.1718年，伯努力在莱布尼茨的基础上，对函数再次进行了定义：“强调函数需要用公式来表示”，到这儿可以看出比较接近我们现代函数了。

2.1756年，伟大数学家欧拉给出定义，一个变量的函数是由这个变量和一些数（即常数），以任何方式组成的解析表达式。可以看出这个概念中解析式对于函数的重要意义被体现出来，比伯努利的定义更普遍，更具有广泛意义。

第三个历程，对应关系下的函数

不要着急，很接近本质了！

1.1821年，柯西指出一个函数需要有两个变量，一个是自变量，一个是因变量。此时此刻，函数模型非常类似我们初中学的函数概念！

对于柯西这个大佬不用过多介绍，高中生只是知道一个“柯西不等式”，高考还不一定用的上，但是到了大学，柯西才正式登上舞台，会被虐的体无完肤！你有类似的经历么？反正我当年对他是又爱又恨！

2.1837年，狄利克雷（Dirichlet）指出：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数，自此诞生了函数的经典定义。

3.康托尔建立了集合论，美国数学家维布伦用集合和对应的概念给出了近代函数的概念，同时，打破了变量是数的局限性，变量可以是数，也可以是其他对象。

第四个历程，集合论下的函数

1930年，新的代现代函数定义为：

现代函数的本质，重点强调“映射”“法则”“对应”“变换”。哪个词都可以，有了这个概念，不仅可以做简单的函数对应，也可以做复合函数的对应。

简单函数：x对应y

复合函数：x对应y，y对应z，如下图，就构成了复合函数！

中文的“函数”

函数这个词本身是舶来品，“function”这个词在英文中就是功能的意思，那么是谁把它翻译成函数的呢？

答案是清代的数学家李善兰。是他首次将“function”译为“函数”

看完了函数的发展历程，可以看出函数的发展是不断得到严谨化，精确化的过程，逐渐地通过表面现象抽离出函数的本质，这与我们学习函数的过程是一样的！从初中那种单纯的自变量，因变量的关系，到高中在对应法则下，用映射定义出的函数！在到大学多元，多对应的复变函数等等！

以上是我的回答，欢迎大家讨论，发表自己观点。

数学你新哥

大家好，我是一名数学老师，函数大多数学生，都只是知道甚至会背定义但是大多数人并不知道函数的本质。特别是在高中阶段，一进入函数部分的学习会有一大批学生掉队。下面我们来理解下函数的本质到底是什么。

其实，见到函数的定义，大多人都会蒙圈，这是什么鬼？我们首先来看下高中函数的定义

其实函数并没有大家想象的那么复杂，我们换个角度来思考，首先我们理解下什么是关系

这种关系特殊在哪里了？

我们自己判断下下面哪个是任意对唯一的关系

回头我们再仔细读一遍定义便会恍然大悟，函数就是数与数之间的一种任意对唯一的对应关系，这就是函数的本质

下面可以自己判断下这道题

看完之后大家是否能够准确理解什么函数呢？自己如果有看不懂的地方可以关注头条号数学灭火逻辑，有视频讲解帮你清晰理解函数的本质。

欢迎大家留言发表你的看法。

数学灭火逻辑

不请自来，我是数学漫谈——专注数学教育，传播数学文化，下面谈谈我的认识。

函数是我们接触很早的一个概念，初中阶段我们开始接触函数的概念，从一次函数到反比例函数再到二次函数，到了高中阶段我们学习指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数。可以说在中学阶段我们一直在和函数打交道。

大学阶段的高等数学或数学分析，研究对象就是函数，还有复变函数、实变函数、泛函分析等等。总之一句话如果你一直学习数学的话，你会发现函数是陪伴你最长的概念。

那到底函数的本质是什么？其实函数的概念并非生来就有，也并非一成不变的，对于函数的本质，不同的历史阶段有不同的认知。人们对函数的认知从最早的变量说、发展为对应说，再到后来的关系说，最后推广到集合范畴。

变量说阶段

古罗马数学家丢番图在《算术》中引入了变量的概念，这是函数概念的萌芽。

函数概念的真正发展是16世纪以后，尤其是微积分的创立，极大的促进了函数概念的产生、发展和完善。

17世纪伽利略的著作《两门新科学》中包含了变量或函数的概念，不过他是用文字和比例的语言来表达的，没有明确的提到函数的概念。

在此之后，解析几何之父——笛卡尔在研究中发现了两个变量之间存在相互依赖的关系，最先提出了“变量”的概念。

1665年，牛顿提出了“流数术”，他用“流量”一词描述变量之间的依赖关系。

1673年，数学符号大师——莱布尼茨首次提出了“函数”这一术语，用函数描述随着曲线上的点变化的量。不过最早英文中的“function”并不解释为函数的意思，而是“功能”，除此之外，他还引进了"变量"、"常量"、“参变量”等概念，这些名词一直沿用至今。

以上都是在几何范围内给出的变量之间的依存关系，牛顿和莱布尼茨虽然创立了微积分，但没有给出函数的解析定义。17世纪末以前，人们还没有从普遍意义上认识到函数的本质。

对应说阶段

微积分的创立极大的促进了函数概念的发展，在前人的基础上，1718年，约翰.贝努利对函数概念进行了明确定义，把常数和变量x按任何方式构成的量称为"x的函数"。

18世纪中叶，欧拉给出了函数的符号f(x)，并提出了函数的解析表达式，他认为：“一个变量的函数是由这个变量和常数以任意方式组成的解析表达式”，他还规定了函数在给定的函数的“定义域”内由同一个解析表达式来表示，这标志着函数概念由几何形态转向代数形态。这和我们初等函数的概念已经很接近了。

关系说阶段

函数的概念还在不断的完善和发展，1800年前后，数学分析的严密化对函数概念提出了更高的要求。

1822年，傅里叶发现有些函数可以用曲线表示，也可用一个式子或多个式子来表示，他的发现推动了函数概念又一次发展，结束了函数概念是否用唯一式子表示的争论。

1823年，柯西从定义变量角度给出了函数的概念，并给出了变量和自变量的定义，他认为无穷级数是定义函数的有效方法，但函数不一定有解析表达式。

1837年，狄利克雷给出了函数的定义：“若多x的每一个值，有晚去确定的y 值与之对应，则不管对应方式如何，都成为y对x的函数”。狄利克雷给出的函数定义已经和我们现在教科书中的定义很吻合了。

集合论下的函数

康托尔创立了集合论，人们把函数的定义域由数推广到集合上。

1887年，戴德金给出了系统S上的一个映射蕴含了一个规则，依此规则，S中的每一个元素都对应着一个确定的对象，S称为映像。这是函数概念的扩充。

随后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义：

他把函数的定义域、值域及对应法则进一步具体化。

1939年法国的布尔巴基学派给出完善的现代函数的定义：

结语

结合以上函数概念发展的历程，我们不难看出，随着科学的不断进步，函数的概念也在不断完善，目前中学和高等数学上的函数是基于实数范围内的，可以理解为：对于任意一个非空集合的自变量x，通过对应法则f，都能找到唯一确定的y与之对应，那么y是关于x的函数。但除了实数范围内的函数，我们还有复变函数（复数范围内的）、实变函数、泛函分析、点集拓扑等和函数有关的学科。

数学漫谈

答：函数的本质就是一个“变化着的量”，也叫“因变量”，它通常由许多自变量构成一个数学式子，通常用f表示（function ）。

一元函数通常用f（x）表示，二元函数就是f（x，y），三元函数就是f（x，y，z），如此等等。当然还有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数，等等。

函数与方程很容易混淆。一个式子如果是“等式”，那么就是方程，否则，就是函数。比如，f（x）=ax+c，它是一个一元一次函数，而不是方程；如果写成y=ax+c，则是一个二元一次（直线）方程，而不是函数。但是，如果我们把f（x）定义成y，则y就是函数的因变量了，这时的二元一次方程就变成了一元一次函数；更恐怖的是，我们还要把这个函数演变成图形图像。

其实，“函数图像”与“函数”不是一个概念，也没有必然的联系，而是一种人为的规定。也就说，函数的本身只是一个变化着的量，这个量的变化范围取决于自变量和关系式；如果我们设定这些变量都是互相垂直的，那么，自变量与因变量之间就会形成许多图像来，否则，函数是不会形成图像的。

太极盘古

函数的来源

如果给你一个函数 y = 5x, 这到底是什么意思呢？其实生活中你就可以总结出来，大米￥5块一斤，我买一斤得付5块钱，两斤付10块（2 * 5），以此类推。那么，

付的钱 = 5 * 米的斤数

当我们不确定我们要买多少斤的时候，我们用一个字母x去代替这个模糊的数，表达如下：

付的钱 = 5 * x 那么x是什么呢？他依然是数，准确的说是数的集合。 如果我们只关注等式右边的5 * x， 那这是“代数”的思考范畴。

但是当我们把付的钱看成是y或者f(x)的时候，y = 5x就是函数了。这是函数发展的一个缩影。

函数到底是什么呢？

首先要弄得因变量和自变量，还是上面的例子，米的斤数x我们可以随便买，但是当x变化的时候，所付的钱数y就得跟着变化。那么，x就自变量（自己变化的量），y就是因变量（因为外界的变化而变化的量）。

这样去理解：男生追女生的时候说：“我会为了你而改变”。虽然大部分的男生只是随口说说，根本不会去这么干。但是这句话里面，男生和女生的关系是什么呢？女生就是自变量，男生是因为女生才改变的，所以男生是因变量。

函数y = f(x)最最本质的定义时，任意一个自变量x都对应一个因变量y。“一一对应”有时候会给学习函数带来很多的困惑。

任意一个自变量x都对应一个因变量y。记住这句话就够了。

例子：y = x 是函数，为什么？因为x取任意一个数的时候，都能找到一个y对应。x = 1, y也等于1；

y = x ^ 2是函数，为什么？因为x取任意一个数的时候，都能找到一个y对应。 x = 1, y = 1; x = -1, y = 1。 我们只能说y是x的函数，但是反过来呢，y = 1是不是可以对应两个x = 1或者-1。那么x就不是y的函数。

x^2 + y^2 = 1， 这个图形画出来是个圆。那么x，y之间有函数关系吗。答案是没有。为什么？以为当x取任意一个有效值的时候，y都有两个值对应，比如x = 0, y = 1或者-1；反之亦然。那么我们就说x，y没有函数关系。

怎么去理解呢？举个不恰当的例子 - 古时候的“一夫多妻”，一个丈夫可以有多个妻子，但是妻子只能有一个丈夫。那么，妻子就是x，丈夫就是y。

函数曾经拯救了数学

曾今就有人争论说，到底正整数（1，2，3，4, 5...）和正偶数（2,4,6,8,10...）那个数多呢？

你的答案是什么呢？直觉上来说正整数的个数要多于正偶数。因为正整数里还有奇数的存在。

但是有的人就会说，正偶数看做y，正整数看做x，那么他们的关系是：y = 2x；也就是说正整数中任意一个数字通过乘以2都可以在正偶数里找到。1 - 2， 2- 4， 3 -6；

那么，由于函数的对应关系，可以总结出不管正整数有多少个，正偶数都可以相应的匹配多少个。那就是说，正整数的个数和正偶数的个数相等。

是不是绕进去了。没关系。函数就是个对应关系。任意一个自变量x都对应一个因变量y。上面这道题本身就是有问题的，怎么去数无穷的个数呢？都告诉你无穷了，有限定的个数还叫无穷吗？

这就是“有穷思想”和“无穷思想”的区别？以后有机会讲讲微积分。

“逃学博士”，天天有料，喜欢就关注我。

逃学博士

函数的本质，就是对应关系。

更广泛的对应关系，称为映射。映射分为单射、满射，及合而为一的双射，也称一一对应。

函数，作为映射的特例，是数与数的对应关系；映射，不必拘泥于数！

函数，很多分类，林林总总，无法归总。

按性质分，有单调函数，凹凸函数，奇偶函数，周期函数，可导函数，可积函数，正则函数，…；

按变量分，有实变函数，复变函数，泛函，…；

按人名分，黎曼函数，柯西函数，狄里克雷函数。

高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

没有函数，就没有现代数学！

高数小栈

函数的本质是指它的功效用途，是用來反映和论证客观实在中的物质或事物的事实根据，反映和描述物质运动变化状态的各种关系，在位置方位上的对称对应的坐标关系，点线面的各种线型轨迹的运动关系，反映发展的事物的规律，使用公式符号数字规则运算演算工具，确定事物内部的规则运动变化状态的轨道轨迹，涵数运用公式方法规则模式演算的过程，是遵循人的思维规律反映事物运动状态变化的较为稳定固有的客观规律、认识功能、思维效法，是人类智慧最好的烂漫花苑。

涵数对于解释和确定事物现象背后隐蔽的本來面貌内部本质是极为重要，对于揭示伪科学掩盖客观实在、伪造假象的事实，起到防患未然的作用，对于发现未知新事物的踪迹，具有预先推断预算测算的预见作用，对于破解数学疑难问题或猜想，具有攻城解围功效，对于人工智能技术、通讯信息互联网技术创新与发展，具有重要的助推器作用，对于数学家所从事的数学领域，涵数具有重中之重的至关重要的作用，掌握了涵数等于掌握了现代科技的高端领域，这个领域是数学家的领地。

当今数字化时代众多门类的高新技术研发行业，都会更加需要包括涵数专业在内的门类齐全的数学家团队组成的战斗军团，都是由各种科学家构成。那种认为涵数离我们现实生活很远不着边际的想法，以为涵数专业找不到工作的想法，其实是不了解现时状态下社会现实的需要，不了解社会需求的紧迫性，激烈的高新技术核心技术的竞争其真正的竞争实质内容就是对专业人才的竞争，没有人才就不能搭台唱戏就没有综合力量。

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函数的本质是集合和集合之间的一种关系。

对于任意元素 x, y，用 (x, y)={{x}, {x, y}} 表示它们组成的序对（{x, y} 是无序对）。

对于任意两个集合 X，Y，定义卡氏积：

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }

称 任何一个 卡氏积的子集 f ⊆ X × Y 为 X 到 Y 的一个二元关系。

如果 关系 f 满足：对于任意 X 中的元素 x，在 Y 中最多只有一元素 y 和 x 有关系，即，

(x, y₁) ∈ f ∧ (x, y₂) ∈ f ⇒ y₁ = y₂

则称 f 为 函数关系，记为 f : X → Y，X 和 Y 分别被称为 原陪域 和 陪域。

对于任意 A ⊆ X，称所有 Y 中和 A 的元素有关系的元素组成的集合为 A 的像集，记为 f(A)，有，

f(A) = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ f }

对于任意 B ⊆ Y，称所有 X 中和 B 的元素有关系的元素组成的集合为 A 的 原像集，记为 f⁻¹(B)，有，

f⁻¹(B) = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ f }

特别当 A = {x} 是单点集时，{y} = f({x}) 简写为 y = f(x)，称，y是x的像，x是y的一个原像。

令，dom f = f⁻¹(Y)，ran f = f(X)，分别成为 定义域 和 值域。

对于 函数关系 f: X → Y ，如果 dom f = X，则称 f 为映射。

对于 映射 f: X → Y，

• 如果 ran f = Y，称 f 是 满射 或 到上的；
  

• 如果 对于任意 y ∈ ran f，y 的原像集 f⁻¹(y) 都是单点集，即，|f⁻¹(y)| = 1，则称 f 是 单射 或 一一的；

既是单射又是满射，称 f 为 双射、一一对应、一一到上的。

一般地，如果 映射 f : X → Y 的陪域 Y 是数域，则称 f 为函数，再 根据 原陪域X 的不同（以下，A 是一般集合，R是实数域，C是复数域，K 是数域，V 和 W 是向量空间，L 和 P 是函数空间）：

• 称 f: A → R 为集函数；

• 称 f: R → R 为 实函数；

• 称 f: C → C 为 复函数；

• 称 f: V → K 为 多元函数；

• 称 f: L → K 为 泛函数；

特别地：

• 称 f: V → W 为 向量函数；

• 称 f: L → P 为 算子；

我们经常说的函数特指实函数。

另外，称自身到自身的映射 T : X → X，为变换，为双射的变换称为置换。

有些函数除了用序对的集合定义外还可以表示成解析式的形式，称为函数的解析式表达。

常用的 初等函数，有（a, b, c 都是常数）：

• 常函数：y = c；

• 线性函数： z = ax + by；

• 幂函数：y = xᵃ；

• 指数函数：y = aˣ；

• 对数函数：y = ln x，y = logₐ x；

• 三角函数：y = sin x, y = cos x, y = tan x, ...；

• 反三角函数：y = arcsin x, ...；

• 双曲函数：y = sinh x, y = cosh x, ...;

常用的 超越函数, 有：

• 伽玛函数：
  

• 贝塔函数：

一些特殊函数：

• 指示函数（也称 特征函数）：

• 单位脉冲函数：

• 单位阶跃函数：

如果函数的解析式写为 f(x, y) = 0 的形式，则称为 隐函数。

如果，函数y = f(x) 是双射，x = f⁻¹(y) 依然是函数，称为反函数。

对于实函数 f, g 可以定义 函数的四则运算：

(f + g)(x) = f(x) + g(x)、 (f - g)(x) = f(x) - g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x)、(f/g)(x) = f(x)/g(x)

对于 函数 f: X → Y、g: Y → Z，可以定义函数复合运算 g ∘ f : X → Z，(g ∘ f )(x) = g(f(x))

实函数还具有如下性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性、极限、连续性、一致连续性。

最后，函数被广泛的使用在数学的各个领域，扮演者重要角色，也背负不同的本质特性，例如：

• 《集合论》中的 等价；
  

• 《线性代数》中的 （多）线性映射；
  

• 《抽象代数》中的 同态和同构；

  
  

• 《拓扑学》中的 拓扑同胚和同轮；
  

• 《范畴论》中的 态射、自然变换、函子；

思考思考的动物

一直喜欢数学，但是离开太久，已经无法使用专业术语。简单说说我的理解。

函数的本质，是标记事物的运动轨迹。

一个事物的运动轨迹，之所以作为我们的研究对象，主要是为明确该事物将于何时出现于何地的问题，对应到数学上就是取值与函数值之间的对应关系。有句歌词叫做，无论何时，无论何地，心中一样亲。

比如金大侠小说中大理段誉的凌波微步，就可以做成平面函数乃至立体函数。又如篮球的投篮，足球的射门，芭蕾舞演员的脚尖等等，也都可以做成函数来玩。现在的技术条件太好了，我们可以录像重放，来确定时间与空间的函数关系。

光说武术体育舞蹈容易让人误解。同样在经济领域，如商品价格与其市场占有率的关系，也是一种有研究价值运动轨迹。在健康领域，癌症发病率与年龄的关系，同样是一种有研究价值的运动轨迹。学习生活比较规律的大学生，一天或一周出没于宿舍食堂教学楼图书馆实验楼运动场，也是有研究价值的运动轨迹。

运动轨迹在空间的某一点（就是函数值），垂直投影到（假设三个）数轴上的点，就是取值。例如函数，y=X1+X2+X3

我主张，学一个东西最好的办法就是当做玩，而且要玩坏它，能做到玩坏了的程度，基本就是骨灰级玩家了。这时候就可以不用专业术语说话了，用普通（的人）话就好。

这当然是我理想化了，哈哈😄

關鍵字: 逻辑哲学论 教育 函数