點動成線、線動成面、面動成體，點是構成圖形的最基本元素.在幾何中，把具有某性質的運動的點組成的集合叫做具有這種性質的點的軌跡.
運動軌跡為圓的模型常見情形
1．圓的定義（動點到定點的距離等於定長）
該類型定義很容易理解，但具體到題目中很多孩子經常忽略圓的存在，中考中常出現的背景為摺疊問題．
2．定角對定弦型
如圖1，當動點對某兩定點的張角固定不變時，那麼該動點的軌跡為以兩定點為弦所對的圓弧．
如圖2，該類題目解題的一般邏輯為：①觀察以動點為頂點的角是否為定值；②找定角所對定線段；
③由定角找圓周角，從而得出弦所對圓心角；④由弦及圓心角構造出圓，出軌跡弧．
應用舉例
1．（2019•自貢中考題）如圖，已知A、B兩點的座標分別為（8，0）、（0，8），點C、F分別是直線x＝﹣5和x軸上的動點，CF＝10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸於點E，當△ABE面積取得最小值時，tan∠BAD的值是（ ）
A．8/17 B．7/17 C．4/9 D．5/9
【解析】如圖，設直線x＝﹣5交x軸於K．由題意KD＝1/2CF＝5，
∴點D的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，
∴當直線AD與⊙K相切時，△ABE的面積最小，
∵AD是切線，點D是切點，∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝OE/OA=DE/AD，∴OE/8=5/13，∴OE＝10/3，
2．（2019•十堰中考題）如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，連接BF，DE．若△AEF繞點A旋轉，當∠ABF最大時，S△ADE＝______ ．
【解析】作DH⊥AE於H，如圖，由於AF＝4，則△AEF繞點A旋轉時，點F在以A為圓心，4為半徑的圓上，當BF為此圓的切線時，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理計算出BF＝3，接著證明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然後根據三角形面積公式求解．∴S△ADE＝1/2AE•DH＝1/2×3×4＝6．故答案為6．
3．（2019•通遼中考題）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點，且AM＝1/3AD，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長度的最小值是______ ．
【解析】過點M作MH⊥CD交CD延長線於點H，連接CM，
∵AM＝1/3AD，AD＝CD＝3，∴AM＝1，MD＝2。
∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°。
∴HD＝1/2MD＝1，HM＝√3HD＝√3，∴CH＝4
∴由勾股定理可求得MC＝√19，
∵將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，
∴點A'在以M為圓心，AM為半徑的圓上，
∴當點A'在線段MC上時，A'C長度有最小值
∴A'C長度的最小值＝MC﹣MA'＝√19﹣1，故答案為：√19﹣1。
4．（2019•南充中考題）如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在y軸的正半軸及原點上滑動，頂點B在x軸的正半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB＝24，BC＝5．給出下列結論：①點A從點O出發，到點B運動至點O為止，點E經過的路徑長為12π；②△OAB的面積最大值為144；
【解析】：∵點E為AB的中點，AB＝24，∴OE＝1/2AB=12,，
∴AB的中點E的運動軌跡是以點O為圓心，12為半徑的一段圓弧，
∵∠AOB＝90°，
∴點E經過的路徑長為90×12×π/=6π1，故①錯誤；
當△OAB的面積最大時，因為AB＝24，
所以△OAB為等腰直角三角形，即OA＝OB，
∵E為AB的中點，
∴OE⊥AB，OE＝1/2AB=12,
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，∴∠DFA＝∠AOB，∴∠DAF＝∠ABO，
5．（2019•淄博中考題）如圖，頂點為M的拋物線y＝ax²+bx+3與x軸交於A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交於點C．
（1）求這條拋物線對應的函數表達式；
（2）問在y軸上是否存在一點P，使得△PAM為直角三角形？若存在，求出點P的座標；若不存在，說明理由．
（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA＝OA，過D作DG⊥x軸於點G，設△ADG的內心為I，試求CI的最小值．
【解答】（1）∵拋物線y＝ax²+bx+3過點A（3，0），B（﹣1，0），
9a+3b+3=0,a-b+3=0,解得：a=-1,b=2.
∴這條拋物線對應的函數表達式為y＝﹣x²+2x+3
（2）在y軸上存在點P，使得△PAM為直角三角形．
∵y＝﹣x²+2x+3＝﹣（x﹣1）²+4
∴頂點M（1，4）
∴AM²＝（3﹣1）²+4²＝20
設點P座標為（0，p）
∴AP²＝3²+p²＝9+p²，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2
①若∠PAM＝90°，則AM²+AP²＝MP²,∴20+9+p²＝17﹣8p+p²,
解得：p＝﹣3/2,∴P（0，﹣3/2）.
②若∠APM＝90°，則AP²+MP²＝AM²，
∴9+p²+17﹣8p+p²＝20,
解得：p₁＝1，p₂＝3,
∴P（0，1）或（0，3）.
③若∠AMP＝90°，則AM²+MP²＝AP²,∴20+17﹣8p+p²＝9+p².
解得：p＝7/2,∴P（0，7/2）.
綜上所述，點P座標為（0，﹣3/2）或（0，1）或（0，3）或（0，7/2）時，△PAM為直角三角形．
（3）如圖，過點I作IE⊥x軸於點E，IF⊥AD於點F，IH⊥DG於點H.
∵DG⊥x軸於點G,∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°,∴四邊形IEGH是矩形.
∵點I為△ADG的內心,∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG.
∴矩形IEGH是正方形,
設點I座標為（m，n）,∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n.
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m,∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m.
∵DA＝OA＝3,∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m,∴DG＝DH+HG＝m+n.
方法小結
對於變化萬千的題目，如何抓住本質？一般來說，初中階段的這類問題還是以定角為背景，我們可以一分為二來看．若邊不變，則“定邊對定角”，三角形外接圓是不變的，在這不變中，我們可以求定值，如弦長，運動的軌跡長．也可以尋找其中變化的量，來求線段的最值．若邊在變化，則“動邊對定角”，三角形外接圓處在變化中，我們要找其中的不變量或者變量之間的不等關係來建立不等式，從而求出最值．
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