所謂"動點型問題"是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目。 這類試題以運動的點、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個或多個變量，要求確定變量與其他量之間的關係，或變量在一定條件為定值時，進行相關的幾何計算和綜合解答，解答這類題目，一般要根據點的運動和圖形的變化過程，對其不同情況進行分類求解。下文主要針對多動點問題進行分析講解。

解題策略

解決此類與運動、變化有關的問題，重在運動中分析，變化中求解。

首先，要把握運動規律，先固定一動點，然後尋求運動中的特殊位置，在"動"中求"靜"，在"靜"中探求"動"的一般規律。

其次，通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中是否保留或具有某種性質，要用運動的眼光觀察出各種可能的情況分類討論，較為精確地將每種情況一一呈現出來。

再次，要學會將動態問題靜態化，即將動態情境化為幾個靜態的情境，從中尋找兩個變量間的關係，用相關字母去表示幾何圖形中的長度、點的座標等，很多情況下是與三角形的相似和勾股定理等聯繫在一起的，在整個解題過程中，要深刻理解分類討論、數形結合、化歸、相似等數學思想。

經典考題

1.如圖1，在銳角△ABC中，AB＝5，AC＝4√2，∠ACB＝45°

（1）計算：求BC的長；

（2）操作：將圖1中的△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1．如圖2，當點C1在線段CA的延長線上時,求∠CC1A1的度數；

（3）探究：如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉所得到的△A1BC1中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

【解析】（1）如圖1中，作AH⊥BC於H．解直角三角形求出AH，CH，BH即可解決問題．BC＝BH+CH＝3+4＝7．

（2）利用旋轉的性質解決問題即可求∠CC1A＝90°．

（3）本題我們發現有兩個運動狀態：①旋轉運動：△ABC繞著點B旋轉；②點P在線段AC上運動，旋轉後的對應點為P'

逐步分析，以靜制動，我們先讓點P安靜點不要亂動！

然後可知在△ABC旋轉的過程中，點P的軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的一個圓（如圖1）.

①如圖2，過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝7√2/2，

此時容易分析出，當P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝7√2/2﹣5/2；

②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝5/2+7＝19/2．

2．如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是______．

【分析】本題更厲害，直接三個動點，這題雖然動點較多，但是仍然可延續上面一題的思想，"先固定，後放開"

本題我們先固定點P，那麼當點P固定時，PE+PF的最小值自然是PE、PF同時取得最小時的情況，此時PF的最小值為PB-BF，PE的最小值為PA-AE，所以PE+PF的最小值為PB+PA-3

此時，點E、F兩個動點轉化到A、B兩個定點上去了，問題就變為了求"PA+PB"將軍飲馬問題，通過這種方式從而求得解題思路！

【解答】：作A點關於直線DC的對稱點A′，連接BD，DA′，

可得A′A⊥DC，則∠BAA′＝90°，故∠A′＝30°，

則∠ABA′＝60°，∠ADN＝∠A′DN＝60°，

∵AB＝AD，∠BAD＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，

∴∠ADB+∠ADA′＝180°，

∴A′，D，B在一條直線上，

由題意可得出：此時P與D重合，E點在AD上，F在BD上，此時PE+PF最小，

∵菱形ABCD中，∠A＝60°，

∴AB＝AD，則△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝AD＝3，

∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，∴PE＝1，DF＝2，

∴PE+PF的最小值是3．

故答案為：3．

變式．如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，⊙A、⊙B的半徑分別為4和2，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最大值是（　　）

A．6√3+12 B．6√3+16 C．18 D．6

【分析】如圖，連接PB，延長PB交⊙B於F，連接PA交⊙A於E，要求PE+PF的最大值，可以轉化為求PA+PB的最大值．通過尋找特殊點，發現當點P與點C重合時，PA、PB同時取得最大值，此時PA+PB的值最大．

【解答】：如圖，連接PB，延長PB交⊙B於F，連接PA交⊙A於E，

要求PE+PF的最大值，可以轉化為求PA+PB的最大值．

∵點P在線段CD上，

∴①當點P與點C重合時，PA最大，（因為∠ACD＜∠ADC，所以，點C是"小角"點）；

②當點P與點C或者點D重合時，PB最大．（因為∠ACD＝∠ADC，所以，點C、D均是"小角"點）．所以，根據①、②可知，當點P與點C重合時，PA、PB同時取得最大值，此時PA+PB的值最大，

在△ACD中，∵∠ADC＝120°，AD＝DC＝6，

∴AC＝2×6×√3/2＝6√3，

∴PE+PF的最大值＝AC+AE+BC+BF＝6√3+12．

故選：A．

3．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，先將紙片摺疊，點D的對應點記為點P，摺痕為EF（點E、F是摺痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．

（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖1）．

①當點P與點A重合時，∠DEF＝_______°，當點E與點A重合時，∠DEF＝_______°．

②當點E在AB上時，點F在DC上時（如圖2），若AP＝7/2，求四邊形EPFD的周長．

（2）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交於點M（如圖3），當AM＝DE時，請求出線段AE的長度．

（3）若點P落在矩形的內部（如圖4），且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值．

【解析】（1）①當點P與點A重合時，EF是AD的中垂線，可得結論；當點E與點A重合時，如圖2，則EF平分∠DAB, 故答案為90，45；

②如圖3中，證明△DOF≌△POE（ASA）得DF＝PE，根據一組對邊平行且相等得：四邊形DEPF是平行四邊形，加上對角線互相垂直可得▱DEPF為菱形，當AP＝7/2時，設菱形的邊長為x，根據勾股定理列方程得：32+（7/2﹣x）2＝x2，求出x=85/28，所以菱形的周長＝85/7；

（2）如圖3中，連接EM，設AE＝x．

由摺疊知PE＝DE，∠CDB＝∠EPM＝90°，CD＝CP＝4，

∵AM＝DE∠A＝90° EM＝EM，

∴Rt△AEM≌Rt△PME（HL），∴AE＝PM＝x，

∴CM＝4﹣x，BM＝AB﹣AM＝AB﹣DE＝4﹣（3﹣x）＝1+x，

在Rt△BCM中，BM²+BC²＝CM²,

∴3²+（1+x）²＝（4﹣x）²,

解得,x＝0.6．∴AE＝0.6．

（3）在本問中，存在E、F兩個動點，兩個動點一起運動時，研究問題相對較麻煩，所以常常先固定一個動點，然後在該點固定的背景下來研究另外一個動點，依次達到"減小思維量、簡化問題"的功能！

比如可先固定點E不動，讓點F先動，於是可知，點P的軌跡在以點E為圓心，ED為半徑的圓上運動，發現隨著點F越靠近點C，AP越小，所以可知，當點F運動到與點C重合時，AP最小。

當點F與點C重合時，本題就變得"常規了"，此時點P在以C（F）為圓心，CD（即4）為半徑的圓上運動，所以當A、P、C共線時，AP最小，此時AP=5-4=1.

初中階段的同學，可以從三角形三邊關係去分析，也可以作圖操作探究出點F在點C位置時點P靠點A最近. 因此有如此求解過程。

如圖4﹣1中，連接PF，AP，AC．

∵PA≥FA﹣FP，FD＝FP，

∴PA≥FA﹣FD，此時PA的最小值＝FA﹣FD，

∵（FA﹣FD）﹣（AC﹣CD）＝FA﹣DF﹣AC+DF+CF＝FA+CF﹣AC＞0，

∴AC﹣CD＜FA﹣FD，

∴當F與C重合時，FA﹣FD的值最小，由摺疊得：CD＝PC＝4，

由勾股定理得：AC＝5，

∵PA≥AC﹣PC，

∴當P，A，C共線時，AP有最小值，∴AP＝5﹣4＝1，

則AP的最小值是1．

4.如圖①是一副三角板，其中∠B＝∠E＝90°，∠A＝∠C＝45°，∠F＝30°，AC＝EF＝2．把兩個三角板ABC和DEF疊放在一起（如圖②），且使三角板DEF的直角頂點E與三角板ABC的斜邊中點O重合，DE和OC重合．現將三角板DEF繞O點順時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形BGEH是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖③）．

（1）當旋轉角度為45°時，EG和AB之間的數量關係為_______．

（2）當DF經過三角板ABC的頂點B，求旋轉角α的度數．

（3）在三角板DEF繞O點旋轉的過程中，在DF上是否存在一點P，使得∠APC＝90°，若存在，請利用直尺和圓規在DF上畫出這個點，並說明理由，若不存在，請說明理由．

（4）在射線EF上取一點M，過M作DF的平行線交射線ED於點N（如圖④），若直線MN上始終存在兩個點P、Q，使得∠APC＝∠AQC＝90°，求EM的取值範圍．

【分析】（1）旋轉角度為45°時，EG是△ABC的中位線，根據三角形的中位線定理即可得出EG和AB 之間的數量關係．

（2）當DF經過三角板ABC的頂點B，求旋轉角α的度數，即求∠ECD的度數，通過作輔助線可以得到P點與B點重合，從而得到答案．

（3）實際上是圓的切線的性質及判定的運用．

（4）題意告訴我們存在的點要在AC為直徑的圓上，所以MN就應該是圓的弦從而得到EM應小於AC的一半．

【解答】：（1）AB＝2EG．

（2）過點E作EP⊥DF，垂足是P，

∵∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，AC＝2

∴EB＝1

∵∠FED＝90°，∠F＝30°，EF＝2

∴EP＝1

∴當DF經過三角板ABC的頂點B時，點P與點B重合，

此時∠PED＝30°，∠CED＝60°

即旋轉角α為60°；

（3）以E為圓心，EC為半徑畫圓，與DF相切於點P，P點即為所求的點．

∵∠FED＝90°，∠F＝30°，EF＝2, ∴EP＝1.∴P點在⊙E上，

∵AC是⊙E直徑，∴∠APC＝90°；

（4）以E為圓心，EC為半徑畫圓．

當EM＜2時，直線MN和⊙E交於P、Q兩點，∠APC＝∠AQC＝90°．

反思總結

“讓動點先不要動”，主要出現在多重動態問題當中，體現出的是一種解題思維，即對問題逐步分析，逐步解決，然後各個擊破！這種思想在生活與學習當中也可運用！也是正如華羅庚先生所言，遇到困難的問題，學會退，退到最簡單的情況，以獲得啟發，進而找到解決問題的正確途徑。

當我們上學時，在學校往往由於所學科目太多，作業太多，來不及處理學習中的問題時，可以讓一些問題先安靜點，先解決掉重要的、緊急的問題動起來，然後再去解決次要問題！

當工作時遇見一大堆事無法處理的時候，先拋開一些問題，先去解決重要的、較緊急的事，解決後再去解決次要的問題！人腦CPU就那麼點處理量，如果顧忌的東西越多，那麼往往只會得不償失。

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關鍵字: 數學 中考 多動點