有關求解最值的問題很多，題目的類型也很多，一般都是放在選擇題壓軸題的位置上或填空題的壓軸題的位置上。很多同學對動點幾何最值問題很畏懼，不知如何下手分析，做題沒思路。筆者認為這是模型積累不夠的表現，幾何的基礎是圖形的性質，而不同的圖形性質可以搭建出各個模型，從而演化出我們熟悉的典型題目。
在日常學習中，同學們如果只是粗略地將所有練習題做一遍，而拒絕總結歸類，可能最終並不會有太多收穫。更重要的是，在遇到模型疊加及綜合後，是否可以準確判斷出相關模型及切入點，決定了一道幾何題能否在規定時間內被攻破。其次，不會做幾何輔助線，往往是對關鍵詞不敏感。
做幾何題的重點在於多種模型綜合運用，對模型的熟練掌握直接體現為：題中出現關鍵字眼的時候可以馬上在腦中反應出多種做法，並挑選出正確的做法。此外，對幾何模型的掌握絕不能一知半解，否則很容易陷入錯誤解法的怪圈。今天我們推出一種解決最值問題的模型：定邊對定角模型。
模型探究
如圖，在△ABC中，AB=4,∠ACB=90°，
（1）求△ABC的最大面積。
（2）求AC+BC的最大值。
分析：本題中有兩問，我們首先來研究第一問：
在條件中，我們可以知道AB的長為4, 如果以AB為底，那麼底是確定的，即為定長，現在要求△ABC的面積的最大值，我們只需要讓AB邊上的高最大即可，所以可以過點C作CD⊥AB於D（如下圖），則當CD最大時，△ABC的面積最大，所以我們將這類問題轉化為求高CD的最大值問題。
在前面的學習中，我們已經知道，當直角三角形的斜邊為定值時，斜邊上的中線為定值,且等於斜邊的一半，所以我們可以作出AB邊上的中線CE(E為AB的中點),如下圖：
通過以上步驟，我們可以知道△CED為直角三角形，CE是斜邊，根據斜邊大於直角邊，我們可以知道CD＜CE=2, 而點C為動點，當點C在AB的垂直平分線上時，即△ABC為等腰直角三角形時，CD與CE重合，此時CE=CD,
故我們可以得到CD≤CE=2.這樣我們就找到了高CD的最大值，從而可以計算出△ABC的最大面積為4×2×0.5=4.
（2） 接下來，我們繼續研究第二問，需要求解AC+BC的最大值為多少？
在前面的學習中，我們已經學習了要求兩條線段的和時，我們可以通過截長補短法來解決，這種方法可以將兩條線段和的問題轉化為一條線段的長度問題。下面我按照這個思路給大家分析一下。
首先，我們延長AB到B',使得CB'=CB,連接BB',如下圖所示。
通過恰當的作輔助線，我們可以知道AB'=AC+BC，即將求AC+BC和的問題轉化為求AB'的長問題。根據上圖我們可以知道∠AB'B=45°，而AB=4,所以我們可以快速定位到定邊定角模型，點B'的軌跡是以AB為弦，圓心角∠AOB=90°的優弧。所以我們就可以快速畫出點B'的軌跡。如下圖所示：
由上圖可知，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，OA=OB=2倍根號2，即⊙O的半徑為2倍根號2，而AB'為⊙O的一條弦，我們知道，在圓中直徑是最長的弦，所以當點C與O重合時,AB'最長，即AC+BC的和最大。此時三角形ABC恰好是以點C為頂點的等腰三角形。動態演示如下：
模型綜述
定邊定角模型中，以動點為頂點的三角形是等腰三角形時，三角形的面積最大，周長最大。這一個結論很重要，需要每個同學理解並牢記。
經典考題
1．在平面直角座標系中，點A、B、C座標分別為（0，1）、（0，5）、（3，0），D是平面內一點，且∠ADB＝45°，則線段CD的最大值是______．
【解析】：∵點A、B座標分別為（0，1）、（0，5），∴AB＝4，
作PH⊥AB於H，則AH＝BH＝2，取PH＝2，則△PAB為等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°
∵∠ADB＝45°，∴∠ADB＝1/2∠APB，
∴點D在以P點為圓心，PA為半徑的圓上，
∵線段CD要取最大值，∴P點在第二象限，P（﹣2，3），
∵CD≤PD+PC（當且僅當C、P、D共線時取等號），
∴CD的最大值為PD+PC，
2．如圖，已知等邊△ABC的邊長為2√6，D，E分別為BC，AC上的兩個動點，且AE＝CD，連接BE，AD交於點P，則CP的最小值______．
【解析】：∵CD＝AE，∴BD＝CE，
易證△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，
∴點P的運動軌跡是弧AB，∠AOB＝120°，連接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
3．如圖示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝√3，點P在Rt△ABC內部，且∠PAB＝∠PBC，連接CP，則CP的最小值等於______．
【解析】：如圖所示，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝√3，
∴tan∠BAC＝BC/AC=√3/3，∴∠BAC＝30°，
∴∠CBA＝60°，即∠1+∠2＝60°，
∵∠PAB＝∠1，∴∠PAB+∠2＝60°，∴∠APB＝120°，
∴點P在以AB為弦的圓O上，∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，∴∠3＝∠4＝30°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，即∠CBO＝90°，
∠DAO＝∠BAC+∠4＝60°，∠AOD＝30°，
過點O作OD⊥AC於點D，∴∠DOB＝90°，
∵∠DCB＝90°，∴四邊形DCBO是矩形，
∴DC＝OB，OD＝BC＝√3，
∴在Rt△ADO中，AD＝OD•tan30°＝√3×√3/3＝1，
∴DC＝AC﹣DC＝3﹣1＝2，∴OB＝OP＝2，
∴利用勾股定理可求得OC＝√7，
當點O、P、C在一條直線上時，CP有最小值，
∴CP的最小值為OC﹣OP＝√7﹣2．
變式．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為______．
【解析】：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
4．如圖三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，以BC為邊向三角形外作等邊三角形BCD，連AD，則當∠BAC＝______度時，AD有最大值_____．
【解析】：如圖，在直線AC的上方作等邊三角形△OAC，連接OD．
∵△BCD，△AOC都是等邊三角形，
∴CA＝CO，CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠OCD，易證△ACB≌△OCD，
∴OD＝AB＝3，
∴點D的運動軌跡是以O為圓心OD長為半徑的圓，
∴當D、O、A共線時，AD的值最大，最大值為OA+OD＝4+3＝7．
∵△ACB≌△OCD，∴∠CAB＝∠DOC，
∵當D、O、A共線時，∠DOC＝180°﹣60°＝120°，
∴當∠BAC＝120度時，AD有最大值為7．故答案為120，7．
5．如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，且AB＝2，若將△AEF繞點A逆時針旋轉一週，在旋轉過程中直線BE、DF相交於點P．
（1）在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，線段BE、DF有怎樣的數量關係和位置關係，並就圖2的位置加以說明；
（2）在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，線段PA的長度是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
（3）求當△AEF繞點A從起始位置旋轉一週回到終止位置過程中，點P運動的路徑長．
【解析】：（1）BE＝DF，BE⊥DF，如圖1，
易證△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE+∠AGB＝90°，∴∠ADF+∠PGD＝90°，
∴∠DPG＝90°，∴BE⊥DF；
（2）如圖1，取EF中點，連接PH，AH，
∵∠EAF＝∠FPE＝90°，
∴PH＝AH＝1/2EF＝√2/2，
∴點P，H，A三點共線時，PA最長為√2．
（3）連接BD，取BD中點O，連接OP，OA，如圖2，
∵∠BAD＝∠BPD＝90°，
∴OP＝OA＝1/2BD＝√2，∴P在以O圓心，√2為半徑的圓上，
當PA取最大時，PA＝OP＝OA＝√2，
點P運動的路徑是以O為圓心，以√2為半徑圓心角是60°的弧的位置，再返回到點A，從另一方向繼續以點O為圓心以√2為半徑旋轉60°的弧的位置，再返回，即：4段以點O為圓心，√2為半徑圓心角是60°的弧的弧長，
∴點P運動的路徑長為4×π√2/3＝4π√2/3．
6．問題提出：
（1）如圖1，已知△ABC，試確定一點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形；
問題探究：
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在該矩形中作出一個面積最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求滿足條件的點P到點A的距離；
問題解決：
（3）如圖3，有一座塔A，按規定，要以塔A為對稱中心，建一個面積儘可能大的形狀為平行四邊形的景區BCDE．根據實際情況，要求頂點B是定點，點B到塔A的距離為50米，∠CBE＝120°，那麼，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請說明理由．（塔A的佔地面積忽略不計）
【解析】：（1）如圖記為點D所在的位置．
（2）如圖，
∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中點O，則OB＞AB．
∴以點O為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O一定於AD相交於P₁，P₂兩點，
連接BP₁，P₁C，P₁O，∵∠BPC＝90°，點P不能在矩形外；
∴△BPC的頂點P₁或P₂位置時，△BPC的面積最大，
作P₁E⊥BC，垂足為E，則OE＝3，
∴AP₁＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，由對稱性得AP₂＝8．
（3）可以，如圖所示，連接BD，
∵A為▱BCDE的對稱中心，BA＝50，∠CBE＝120°，
∴BD＝100，∠BED＝60°
作△BDE的外接圓⊙O，則點E在優弧BD上，取弧BED的中點E′，連接E′B，E′D，
則E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D為正三角形．
連接E′O並延長，經過點A至C′，使E′A＝AC′，連接BC′，DC′，
∵E′A⊥BD，
∴四邊形E′BC′D為菱形，且∠C′BE′＝120°，
作EF⊥BD，垂足為F，連接EO，則EF≤EO+OA＝E′O+OA＝E′A，
∴S△BDE＝1/2•BD•EF≤1/2•BD•E′A＝S△E′BD，
∴S平行四邊形BCDE≤S平行四邊形BC′DE′＝2S△E′BD＝100²•sin60°＝5000√3（m²）
所以符合要求的▱BCDE的最大面積為5000√3m²．
解題思路總結
1-模型識別：兩定（A、B）一動（C），AB長固定，∠ACB固定，
求△ABC周長及面積最大值；
2-計算模型建立：做△ABC外接圓，
3-模型結論：當△ABC為以C為頂點等腰三角形時，其周長和麵積最大。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
