張天蓉
愛因斯坦和哥德爾，是當年在普林斯頓高等研究院裡經常一塊兒散步的一對忘年交。那是在愛因斯坦去世前的十幾年，從1940年，哥德爾正式受聘到普林斯頓高研院開始，一直到愛因斯坦生病去世。
愛因斯坦有一段話，可看出他對哥德爾的欣賞程度。愛因斯坦晚年時曾經對經濟學家奧斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）表示說，他自己的研究已經沒有太大意義，而他之所以每天還到高等研究院來，只是為了與哥德爾一起走路回家！
愛因斯坦和哥德爾
對公眾而言，愛因斯坦的名字家喻戶曉，但哥德爾卻鮮為人知。那麼，哥德爾何許人也？對科學有些什麼傑出的貢獻，才會使得愛因斯坦如此推崇他？
庫爾特·弗雷德里希·哥德爾（德語：Kurt Friedrich Gödel，1906年－1978年），是一個出生於奧匈帝國，後半生在美國度過的數學家。被人譽為亞里士多德之後最好的邏輯學家。
哥德爾比愛因斯坦晚出生27年，在1906年，愛因斯坦發表3篇重要論文之“奇蹟年”後的第二年，哥德爾才呱呱墜地。哥德爾天分極高，從小是個數學神童，喜歡尋根究底地問問題，因而在4歲的時候就得了一個“為什麼先生”的綽號。
在維也納大學時，他曾經修讀過理論物理，也研究過相對論，之後專攻邏輯學和集合論。他最重要的數學成果：哥德爾不完備定理，是他在25歲（1931年）緊接著博士論文之後完成的【1】。
哥德爾不完備性定理包含兩個定理：
1. 一個包含了算術的任意數學系統，不可能同時滿足完備性和一致性；
2. 一個包含了算術的任意數學系統，不可能在這個系統內部來證明它的一致性。
讓我們試圖用通俗（不太嚴格）的說法來理解哥德爾的不完備性定理，以及他的證明方式。
通俗而言，完備性指的是這個系統包括了所有它定義的對象，一致性指的是沒有邏輯上的自相矛盾。所以，首先將兩個定理翻譯成通俗語言：
1. 一個算術系統，要麼自相矛盾，要麼總能得出一些無法包括於該系統中的結論；
2. 不可能在一個算術系統內部，證明此係統是不自相矛盾的。
哥德爾不完備性定理的數學證明過程十分複雜，但是哥德爾定理及其方法的核心思想，都是運用了“自指”（自我指涉）的概念，這個概念可以用著名的“理髮師悖論”來說明。
傳說某小鎮上只有一個理髮師，他將他的顧客群（系統）定義為“城中所有不給自己理髮之人”。但某一天，當他想給自已理髮時卻發現他的“顧客”定義是自相矛盾的。因為如果他不給自己理髮，他自己就屬於“顧客”，就應該給自己理髮；但如果他給自己理髮，他自己就不屬於“顧客”了，但他給自己理了發，又是顧客，到底自己算不算顧客？該不該給自己理髮？這邏輯似乎怎麼也理不清楚，由此而構成了“悖論”。
也就是說，這位理髮師定義的“顧客系統”要麼是自相矛盾的，要麼是不完備的，因為“他自己”無法屬於這個系統。完備性和一致性不可兼得，這就是哥德爾第一不完備定理說的意思。
進一步分析下去：如果我們想要證明這個“顧客系統”是自相矛盾的，就必須得將“他自己”加進去，加進去才發現自相矛盾，不加進去就不自相矛盾。而加了他自己後的系統，已經不是他原來（未曾考慮自己時）定義的系統。所以結論是，他不可能在他原來定義的系統內部，證明那個系統是自相矛盾的，這就是哥德爾第二不完備定理的意思。
從上面的分析可知，問題是在於“包含自身”這種自指描述，例如，理髮師 “只為不給自己理髮的人理髮”，說謊者說 “我正在說謊”，羅素用嚴格的數學語言定義的“羅素悖論”【2】，都是自指命題。哥德爾則模仿這些例子寫出了一句話“這句話是不能證明的”。這種自指描述，被哥德爾用作為他證明不完備定理的重要工具。
“這句話是不能證明的”，如果你能證明這句話“對”，那你就得承認這句話是不能證明的，因此而自相矛盾！如果你能證明這句話“不對”，那你就承認這句話是可以證明的，那麼，你就無法證明它不對。
所以，結論是，一個算術邏輯系統中，必定有一些“既不能證實，也不能證偽”的命題。
證實和證偽，正是在科學活動（科學哲學）中經常討論的題目，人們自然而然地聯想到，如何將哥德爾的不完備定理用到科學上？
哥德爾不是莫名其妙地去證明不完備定理的，他開始的目的是為了解決著名德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862年－1943年）於1900年提出的23個問題【3】中的第2題：算術公理之相容性。
這個問題來源於希爾伯特一個宏偉的計劃。他的目標是將整個數學體系嚴格公理化，成為建立在一套牢靠基礎上的宏偉大廈。說到公理化，眾所周知的歐幾里德幾何是我們心目中公理化的例子，但是數學家與我們的標準不同，希爾伯特就認為歐幾里德的《幾何原本》是不嚴格的公理體系，最初的五條基本公設有很多基於直觀的假設，而不是基於用嚴格數學語言定義的基礎上。因此，他另寫了一本《幾何基礎》，重新定義幾何，將幾何學從一種具體模型上升為抽象的、完備而自洽的普遍理論。然後，希爾伯特認為，任何數學真理，只要通過一代又一代人的不斷努力，都能用邏輯的推理將其整合到這個數學公理大廈中。
希爾伯特認為算術公理系統是最簡單的，因此，希爾伯特提出關於一個算術公理系統相容性的問題，希望能以嚴謹的方式來證明任意公理系統內的所有命題是彼此相容無矛盾的。換言之，希爾伯特將他的整個計劃歸結為在形式化的算術系統內部證明它的完備性、一致性和可判定性。
然而，哥德爾最後的結論，粉碎了希爾伯特的夢想，證明希爾伯特的計劃行不通，因為哥德爾證明了：包含了算術的數學整體（歐氏幾何不包括算術系統）如果不自相矛盾的話，就一定是不完備的，一定有這麼一些“無法證明它為真，也無法證明它為假”的命題存在。希爾伯特雖然遭受了打擊，也不得不承認“不完備性定理對於數學和邏輯學上具有里程碑式的意義”。
人們認為哥德爾不完備性定理具有劃時代的意義，它的科學和哲學價值超過了數學領域，可以擴展到科學的各個方面，啟發後人對哲學本質、世界基本問題的思考。美國《時代》雜誌曾經評選出對20世紀思想產生重大影響的100人中，哥德爾被列為第四位。
不完備性定理表明“一致性與完備性不可兼得”，又使人們聯想到量子物理中海森堡不確定性原理表述的“動量位置不能同時確定”的命題，於是有人認為這兩個原理從哲學角度給出了人類能力發揮的極限。也有人進一步探究兩個原理說法上的相似性，它們是否有深刻的內在聯繫？
當年愛因斯坦和哥德爾一起散步，是否會在一起討論上面提出的問題？目前好像沒有確切的資料證實（或證偽）這點。
追溯搜尋一下歷史記錄：哥德爾是1931年發表不完備定理，普林斯頓高等研究院於1933年建立於普林斯頓大學的校園裡。愛因斯坦、哥德爾、外爾等都是當年受邀的的第一批成員。愛因斯坦1933年10月抵達普林斯頓後便一直呆下去，哥德爾很快返回了歐洲，後來（1934-35）又來訪過。這些零落的時間內，兩人討論過些什麼，我們不得而知，但高研院最初興旺發達的是數學，哥德爾肯定作過有關不完備定理的演講，愛因斯坦也許對邏輯和數學不那麼感興趣，但也應該知曉這個定理在數學界掀起的軒然大波。
1935年，愛因斯坦與兩位同事發表的EPR論文中，提出量子物理的“完備性”問題（之前還提過“自洽性”的問題），其想法以及這些邏輯學中的名詞，很有可能來自於哥德爾的工作。
1940年，哥德爾正式受聘於高研院，便開始經常與愛因斯坦一塊兒散步並聊天。我沒有查到他們聊天的記錄中有直接談到與量子物理及不完備定理相關的內容，但從普林斯頓其他人的回憶中，能夠悟出一點他們互相之間的思想影響。
約翰·惠勒從1938年開始成為普林斯頓大學物理系教授，與愛因斯坦十分熟悉，但對當時已經大名鼎鼎，又很少與人交往的哥德爾來說，對小其5歲的惠勒就不會認識了。
算法理論專家蔡廷（Gregory Chaitin）在他的書中曾有如下的描述：據說惠勒曾經和兩個學生一起去過哥德爾的辦公室（大約70年代），想問他關於量子物理及不完備定理之關係，哥德爾很生氣，將他們“趕出”了辦公室。
物理學家伯恩斯坦（Jeremy Bernstein）在他的書中也提到過此事。不過大多數人認為拜訪過程不是那麼戲劇性的。據說惠勒等問及此問題時，哥德爾轉換了話題，要和他們討論他正在研究的星系旋轉的物理問題。一年之後，在某次小聚會中，哥德爾向惠勒等解釋了他為何不願談論量子力學中的非決定論與數理邏輯之關係，是因為他曾經和愛因斯坦討論過很久，他不相信量子力學和非決定論。所以，惠勒後來說到這個話題時，認為哥德爾已經被愛因斯坦“洗腦”了。
不管幾位前輩如何看待不完備性與不確定性的關係，基本上可以認為，這兩個原理在哲學上勾畫出了人類知識的疆界，認識的極限。至少給我們一點預警：有些東西，也許我們人類是永遠不可能認識的？因此有人認為，不完備性定理之於人類的意義超過了牛頓力學、萬有引力、相對論等，這些科學理論可能影響幾個世紀的人類，而不完備性定理（和測不準原理）所能影響的卻是整個人類的文明歷史。
的確，在明白哥德爾的不完備定理之前，許多人（包括筆者）有某種潛在的觀念，認為任何科學理論，都應該要有邏輯性、自洽性、和完備性。而如今不完備性定理告訴我們：在同一個系統中，完備性和邏輯自洽不可兼得。也許可以如此理解，一個理論最後要求的完備性，不一定是包括在這個理論自身，而是存在於下一個更深層的理論中。例如，歐幾里得幾何最後被“非歐幾何”所完備；牛頓力學和經典電磁論最後被量子力學和相對論在更深的層次 “完備”。
也就是說，正是因為一個理論中，完備性與一致性可能不相容，才提供了理論體系進一步發展的突破口。例如量子理論，雖然被實驗證實不存在愛因斯坦想象的“隱變量”，但也許可以找到另外的突破口，建立新的理論，使其暫時“不完備”的理論體系，在將來某個更深層的理論框架下完備起來。
所以，科學理論的發展只能是漸進的、分層次的，新理論也許可以超越舊的但卻無法取代。
對宇宙學而言，可能有更為深刻的意義。宇宙學試圖包羅萬象，但我們自身又是“萬象”中的一部分，是無法從宇宙之外來觀察宇宙的，這有點類似於理髮師悖論中的“自指”，也許是宇宙學解決不了的“悖論”。（如上一篇文章中某網友評論的：一個人在地球上，無法通過拽自己的頭髮把自己拽離地面。）
哥德爾和愛因斯坦有一個難能可貴的共同點：他們都重視思考和研究科學的最基本問題。愛因斯坦曾經多次解釋他為什麼選擇物理沒有選擇數學，他說是因為數學的門類太多，在物理中他能夠清晰地分辨哪些問題是基本的，重要的。但後來，他對他晚年的助手斯特勞斯說：現在，我認識了哥德爾，知道了數學中也有類似的情形。兩人到了晚年更是如此，愛因斯坦研究統一理論幾十年；哥德爾陷於哲學，他曾經對人稍感抱歉地解釋為什麼最後幾年研究的東西都不太成功，因為考慮的一直是最基礎的問題。
為哥德爾寫傳記的華人邏輯學家王浩曾經比較哥德爾和愛因斯坦的異同點【4，5】。
兩人都重視哲學，儘管對世界的哲學觀點並不一樣。兩人性格迥異：愛因斯坦樂觀合群，通情達理，哥德爾古板嚴肅，孤傲獨行。愛因斯坦喜歡古典音樂，哥德爾認為索然無味，愛因斯坦積極參加和支持和平運動，哥德爾基本不涉及任何公眾活動。
哥德爾1940年到普林斯頓高研院，1947年入籍美國公民，愛因斯坦和摩根斯坦作為證人陪同哥德爾參加了他的美國公民考試。有後人描述當時有趣的一幕：本來一切順利，但當法官問哥德爾是否認為像納粹政權這樣的獨裁統治可能發生在美國時，哥德爾向他論證自己研究美國憲法時的一個重要發現：美國憲法有一個邏輯漏洞，會使得一個獨裁者可以合法地掌握權力！他想就此爭論一番。愛因斯坦等費了很大的勁才制止了他。
哥德爾的晚景令人唏噓！偉大的邏輯學家最後死於“人格紊亂造成的營養不良和食物不足”這是醫生的診斷結論，等同於餓死的。他病逝時的體重只有65磅。因為他晚年時經常懷疑有人要謀殺他，會在他的飯菜裡下毒。所以他不相信別人做的飯菜，只相信他夫人做的。但是太太阿黛爾比他年長好幾歲，也病倒了，沒法照顧他，因此他只能吃一些很簡單的食物或者經常不吃飯，身體狀況迅速惡化，最終死於營養不良。
參考文獻：
【1】K. Gödel: über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), pp. 173-198. Translated in van Heijenoort: From Frege to Gödel. Harvard University Press, 1971.
【2】維基百科-羅素悖論
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA
【3】Hilbert, David (1902). "Mathematical Problems". Bulletin of the American Mathematical Society. 8 (10): 437–479.
【4】王浩，探索永恆-哥德爾和愛因斯坦，科學文化
http://www.cuhk.edu.hk/ics/21c/media/articles/c002-199001053.pdf
【5】王浩，《哥德爾》，上海譯文出版社。 [美] 王浩 著，康寵逵 譯. 2002年
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