【分析方法导引】
当几何问题中出现角平分线和平行线的组合关系式，就可以想到要应用等腰三角形的基本图形进行证明。然后就应用将角的边的平行线与角平分线及角的另一边相交或将角平分线的平行线与角的一边及另一边的反向延长线相交的方法找到等腰三角形的基本图形。再应用角平分线、平行线、等腰三角形中任何两个性质成立就可以推得第三个性质成立的方法来完成分析。
例7 如图3-24，已知△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于I，过I作BC的平行线分别交AB、AC与D、E。求证：DE=BD+CE。
图3-24
分析：本题条件中出现了BI、CI分别是∠ B、∠ C的角平分线，且DE∥BC，是一个角平分线和平行线的组合问题，所以必定出现一个等腰三角形的基本图形（如图3-25）。由于DE∥BC，出现的是角的一条边的平行线，所以它必定要和角的另一边以及角平分线相交构成等腰三角形，于是就可找到这个等腰三角形应是△DBI，那就可以由DE∥BC，且被BI所截得到∠IBC=∠BID，而由条件∠DBI=∠IBC，所以就可推得∠DBI=∠BID，DB=DI，根据同样的道理还可得EC=EI，所以结论就可以证明。
图3-25
例8 如图3-26，已知：在△ABC，∠B的角平分线与∠C的外角平分线相交于M，过M做BC的平行线分别交AB、AC于E、F。求证EF=BE-CF。
图3-26
分析：本题条件中出现∠B的角平分线BM和∠C的外角平分线CM，同时还出现EM∥BC，所以是一个角平分线和平行线的组合问题，从而就可以应用等腰三角形的基本图形进行证明。由于EM∥BC是角的一条边的平行线，所以它应与角的另一边以及角平分线相交组成等腰三角形，于是根据CM是∠C的外角平分线就可以找到这个等腰三角形应是△FCM（如图3-27）。那就可以根据FM∥CD，且被CM所截得到∠FMC=∠DCM。而由条件∠DCM=∠FCM，就可推得∠FMC=∠FCM，FC=FM。根据同样的道理还可推得EB=EM。而EF=EM-FM，所以结论就可以证明。
图3-27
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