作者简介：丘成桐，美国哈佛大学数学与物理学教授，美国科学院院士，中国科学院外籍院士，菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖得主。发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的变革，解决了卡拉比（Calabi）猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。
本文刊登于《数理人文》杂志（微信订阅号：math_hmat）与《数学与人文》丛书（第 21 辑：数学百草园，2017 年，原文题为“回首哈佛数学 150 年”），未经许可，不得转载。
最近我与我的朋友 Steve Nadis 写了一本关于哈佛大学数学系历史的书，由哈佛大学出版社出版。
中文版将由高等教育出版社出版
这个写作计划开始时，我还是哈佛大学数学系主任。我对于这个系伟大先驱者的人生颇感好奇。因为其中有些人借着他个人的研究，甚或透过他们的学生，改变了整个世界数学发展的路径。
如果其他地方的人，能懂得欣赏这些数学家如何做研究，如何建立起这个优秀的学系，而且在这个过程里，还协助建立了哈佛大学的地位，我认为这会是很棒的事。更何况，这些伟大哈佛数学家的个人轶事，读来也饶有兴味。
我喜欢阅读数学史，认为好数学家需要知道数学的重要概念如何演进。这些概念的演进充满了生命力，就像从初生婴儿慢慢长大成人的过程，这段路可能很戏剧化，而且充满了兴奋与刺激。一旦我们了解数学发展的根源，就更能理解当今数学的发展。我相信，哈佛大学数学系从一个三流学系成长为世界级领导中心的过程，提供了很值得参考的个案，或许可以给许多想建立世界级数学系的大学作为借鉴。我非常感谢我的合著者 Nadis，他做了十分广泛的研究，并采访了许多哈佛的教师与校友。
一、数学系的曙光：Peirce
我们的书是从 1825 年说起，当时 16 岁的 Benjamin Peirce 刚进哈佛。当他 1829 年获得哈佛学士学位时，并没有机会在美国研究数学，因为当时的美国还没有学校设置博士班。Peirce 因为经济因素无法前往欧洲深造，结果他先在预科学校（preparatory school）教了两年书，然后在 1831 年回到哈佛当导师（tutor）。此后一直到 1880 年去世为止，他一直留在哈佛。
去世为止，他一直留在哈佛。
Benjamin Peirce | 来源：Encyclopaedia Britannica
Peirce 是第一位坚持数学家应该做原创性数学研究的美国数学家，也就是说，数学家应该要证明新定理，解决那些尚无人能解的问题。当时，不论在哈佛或美国其他高等教育机构，这样的态度绝非主流。
Peirce 在 23 岁时，出版了一项关于完美数（perfect number）的证明，其中如果一个正整数的所有因子和（包括 1 在内）等于该数本身，就称为完美数，例如 6 和 28。当时所有已知的完美数都是偶数，而 Peirce 证明了如果存在奇完美数，它必定至少有四个质因子。直到 56 年之后，英国数学家 James Sylvester 和法国数学家 Cl. Servais 才能够证出相同的结果，但他们不晓得，Peirce 早在半个世纪前就完成了这项证明。
然而，当时的哈佛校长 Josiah Quincy 却催促 Peirce 去编写教科书，Peirce 质问哈佛校方，是否真要他从事“如此耗费时间，内容如此基本，对于渴望在科学上达成更高成就的人完全没有价值”的工作。当时做原创数学研究的概念实在太过奇特，在美国几乎是前所未闻，而且也几乎没有人有资格去尝试。
多年之后，Peirce 才在哈佛校长 Thomas Hill 那里，找到志同道合的盟友。Hill 说：“我们最好的教授整天被繁重的教学与备课责任所禁锢，以至于根本没有时间与精力去进行个人研究，提升科学与知识。”
Peirce 花了大量时间在天文学研究上，并在 1839 年哈佛学院天文台的建立过程中扮演关键的角色，他对“1843 年大彗星”以及当时新发现的海王星轨道，都做了精密的计算。James Maxwell 和 Lord Kelvin 都对 Peirce 的成就有高度评价。在 61 岁时，Peirce 以线性结合代数（linear associative algebra）为主题，写了一篇很长的论文，被视为美国人在纯数学中的第一个重要贡献。
1848 年，Peirce 与他的杰出朋友们，包括 Alexander Bache、Louis Aggassiz 与 Joseph Henry，一起建立了美国科学促进会（American Association for the Advanced of Sciences）。他们也协助擘建了美国国家科学院（National Academy of Sciences），其中 Peirce 正是最活跃的成员。当 1880 年 Peirce 去世时，《哈佛砖红报》表示“上周 Peirce 教授的过世，意味着本校失去了最闪耀的科学明星，甚至最卓越的教授”。基于他对数学系的贡献，哈佛数学系仍称呼新进教师为 Peirce 讲师。
Peirce 的时代，正是哈佛大学数学系由教学开始转往研究的时代。事实上，1869 年就职的 Charles Eliot 校长——他也是数学与化学教授——成立了哈佛的数学研究所，并由 William Byerly 在 1873 年成为第一位数学博士。
二、转变成研究导向的学系
哈佛大学数学系在 Peirce 过世之后，经历了一段“倒退期”，根据 Julian Coolidge 的说法：“…… 科学活动是一落千丈。”需要多年之后才能破茧重生。不过到了 20 世纪初，William Fogg Osgood 和 Maxime Bôcher 已经将哈佛建立成分析学领域的熠熠新星，分析学是数学的一支，包括微积分在内。他们将数学研究转变成数学系的核心任务，而不再是像 Peirce 这样特立独行之士的嗜好。面对其他大学的强大竞争，哈佛大学数学系俨然成为当时美国最好的数学系。
W. F. Osgood（左），Maxime Bôcher（右）| 来源：Wikipedia
1876 年，美国第一个研究型大学约翰霍普金斯大学正式成立。一年后，他们聘请英国著名数学家 Sylvester 来领导一个以研究为导向的数学系。依照欧洲模式，约翰霍普金斯大学坚持教师和学生的研究应尽可能在重要的期刊上发表。事实上，Sylvester 与 William Story、Simon Newcomb、Charles Peirce 等人创办了美国第一个重要的数学研究期刊 American Journal of Mathematics，其目标在于出版原创数学研究。尽管 1883 年 Sylvester 离开约翰霍普金斯，前往牛津大学任教，但他关于训练研究生与研究的想法被转移到其他大学，如哈佛、普林斯顿、耶鲁等。当时最受瞩目的是芝加哥大学数学系，由 Eliakim H. Moore 担任系主任。1885 年，Moore 在耶鲁获得博士学位，并到德国访问一年。Moore 训练出几位重要的数学家：George D. Birkhoff、Leonard E. Dickson 和 Oswald Veblen。这些学生对哈佛、芝加哥、普林斯顿产生深刻的影响。许多人相信 Moore 是“主要的驱动力，最后将美国从数学荒原转变成数学领域的领导者”（引自 Karen Parshall 的专著）。约翰霍普金斯和芝加哥都强调，他们的教授不但做研究，并且也教育学生要做相同的事，这样的态度导致美国数学界在 20 世纪初的明显提升。
由于两位年轻教授 Osgood 和 Bôcher 的出现，哈佛数学系很快提高了它的国际声誉。在 1903 年前 80 位美国数学家的排名里，Osgood 和 Bôcher 排在前四名，另两位是 Moore 和 George William Hill（他曾与 B. Peirce 在麻州剑桥的航海年鉴局（Nautical Almanac Office）中共事）。有趣的是，当 Osgood 和 Bôcher 还是大学部的学生时，都曾经到哥廷根去跟 Felix Klein 学习，时间分别是两年与三年。Klein 对美国数学的发展有很深的影响。他的学生 Frank Nelson Cole 就是 Osgood 和 Bôcher 的哈佛导师。（特别的是，Klein 有六位学生，包括 Osgood 和 Bôcher，都曾经担任美国数学学会的主席。）
Osgood 在德国埃尔朗根大学，由 Max Noether 指导得到博士学位，并且做了函数论方面的重要研究，其中包括证明 Riemann 映射定理。Bôcher 的论文则是跟 Klein 做的，他在那里研究势论（potential theory），后来并解释 Fourier 级数中的 Gibbs 现象。Bôcher 培育了许多学生，并且在 1908 年到 1914 年担任 Annals of Mathematics 的主编。他同时也是 Transactions of the American Mathematical Society 的创刊人，并且在 Moore 之后，担任该刊的第二任主编达五年。Bôcher 和 Osgood 留下了足以自豪的成就：他们为美国数学界打下了分析领域的坚实基础。经由他们的努力，哈佛数学系不仅成为美国最好的数学系之一，即使与欧洲最佳的数学系相比，也毫不逊色。
三、Birkhoff 的崛起
George David Birkhoff 的大学是在哈佛念的，在此期间他深受 Bôcher 的影响。接着他到芝加哥大学，在 Moore 的指导下取得博士学位。哈佛在 1910 年时为他提供教职，但他回绝了，选择去普林斯顿。两年后，他改变心意，于 1912 年回到哈佛任教。
G. D. Birkhoff | 来源：Wikipedia
Birkhoff 代表了下一代、完全在美国受教育的学者。他的数学才能闻名全世界，证明了即使不去欧洲，也可以得到世界级的数学教育。他和其他一些由美国大学栽培的优秀数学家，都充分具备了将来领导学术领域和数学系所的能力。美国本土的数学根基已在形成，从而完成了 Peirce 生前未能实现的梦想。Birkhoff 以及他同时代的数学家，将会证明重要的定理，做出许多卓越的贡献。
Birkhoff 的重大成就数不胜数，首先是他关于有限制条件三体问题的著名研究。这是 Henri Poincaré 在 1912 年去世前想解决的问题，结果 Birkhoff 在 Poincaré 去世后三个月内解决了这个问题，不过，Birkhoff 告诉他的学生 Marshall Stone，做这个问题，让他的体重减轻了 30 磅。这个证明成为将分析学的存在性证明连接到拓扑不动点定理的首例。
麻省理工学院的知名数学家 Norbert Wiener，把 Birkhoff 比喻为“出现在哈佛数学苍穹上的璀璨明星。…… 更独特的是，Birkhoff 的研究全是在美国完成，并未受益于任何国外的训练”。Birkhoff 标志了美国数学成熟期的起点。他直到 1926 年才造访欧洲，当时距他开始在哈佛教书已有 14 年。
附带一提，Wiener 在 1913 年从哈佛大学得到博士学位，正是 Birkhoff 回到哈佛的第二年。Wiener 是一位年轻的天才，改变了概率和信息论的面貌。但他极不善于待人接物，无法和系里每个人相处融洽。他转到麻省理工或许对数学界是最好的结果，因为在那里他能够更自由地钻研应用数学，并且对工程科学的基础做出巨大贡献。
Birkhoff 的众多成就使得他成为 20 世纪最伟大的数学家之一。他在广义动力系统的工作为他赢得了首届 Bôcher 奖。1927 年，Birkhoff 出版了经典著作《动力系统》（Dynamical Systems）。它把动力系统的架构远远扩展到星球轨道的课题之外。该书包含了许多创见，不过并未包含他在这个主题上最重要的贡献：遍历性定理（ergodic theorem）。Wiener 称赞 Birkhoff 的遍历性定理是一项精心力作；“遍历性假设的正确表述及其定理的证明，是美国数学界、乃至全球数学界，近来的最重要成就之一，这两者都是由 Birkhoff 完成的”。这个卓越的定理可以上溯到 Maxwell 和 Ludwig Boltzmann 试图建构气体动力论的努力。
Birkhoff 是第一位数学家，把变分学的极大极小论证，用在与球面拓扑等价的曲面上，得出不平凡的简单封闭测地线。这可以视为是威力强大的 Morse 理论的起点。创造这个理论的 Marston Morse 正是 Birkhoff 的学生。Birkhoff 对广义相对论也有重要贡献，他证明了一个（和黑洞有关的）定理，说明爱因斯坦方程只有一个球对称的解。他还提供了解决四色问题的重要工具，这个数学命题在 60 年后的 1976 年才由 Kenneth Appel 和 Wolfgang Haken 解出。
除了数学成就之外，Birkhoff 还指导了 46 名博士生，迄今为止，出自他门下的数学家已超过 7300 名。他有四名学生日后成为美国数学会的主席：Stone、Joseph Walsh、Charles Morrey 和 Morse。他的学生又再栽培出许多优秀数学家。例如，Walsh 在取得博士学位后留在哈佛，带出了 31 名学生，其中包括 Lynn Loomis 和 Joseph Doob。Birkhoff 有三位门生——Morse、Hassler Whitney 和 Stone——获得国家科学奖章。他的其他许多学生都有卓越的数学贡献，并且在哈佛或是美国的其他系所成为领导人。
四、分析、代数与拓扑的相遇：Morse、Whitney 和 Mac Lane
Marston Morse 是 Birkhoff 的博士生，他的论文题目是关于如何建立分析与拓扑的关联，这是一个已由 Riemann、Poincaré 和 Birkhoff 奠立的传统问题。Morse 特别感兴趣的是函数达到极大值、极小值或某种平稳值的（临界）点。这属于古典变分学的一部分，其历史可以回溯至 Euler，乃至 Fermat。Birkhoff 已用它来证明与球面同胚的闭曲面上的封闭测地线的存在性定理。但 Morse 更进一步把临界点的存在性链接到该函数定义空间的拓扑性质。他的方法在现代拓扑学有深刻的用途，因此被称为 Morse 理论。在 Morse 及其追随者 Raoul Bott、Stephen Smale 等人手中，Morse 理论成为研究微分拓扑的基本工具。一些重要的方法，像 Smale 发展出来的柄把空间分解（handle-body decomposition），是根据 Morse 理论而来的。Smale 是 Bott 的学生。四维以上的 Poincaré 猜想即是用 Morse 理论解决的。
Marston Morse | 来源：IAS
Hassler Whitney 也是 Birkhoff 的学生，他发展了把流形浸入欧氏空间的理论。流形上的向量丛，即是由此研究衍生的课题。特别是，Whitney 引入了向量丛的 Stiefel-Whitney 类。这种示性类的想法，又被 Pontryagin 和陈省身进一步发展。
示性类和纤维丛的理论协助奠立了现代几何和拓扑的础石。它是规范场论的基础，规范场论是用于描述所有粒子基本作用力的理论。在发展示性类理论的过程中，Whitney 也引入了上同调理论，这是现代拓扑和代数的基本观念。（James W. Alexander 独立发明了上同调的观念。）
Hassler Whitney | 来源：Wikipedia
我任职于普林斯顿高等研究院时遇见 Whitney，他那时显得相当孤单。他跟我说，他是我在柏克利的老师 Morrey 的好友。Morrey 也是 Birkhoff 的学生，他是偏微分方程现代非线性理论的创始人。Morrey 的一项知名成果是 1949 年时解决 Plateau 问题——他证明三维空间中的任何闭曲线，如果符合适当条件，就会是某肥皂膜的边界。受到 Plateau 问题的启发，Morrey 向 Whitney 请教：可以浸入平面的闭曲线该如何分类？Whitney 告诉我，他把 Morrey 的问题当成挑战。Whitney 的方法又在 Smale 手中得到进一步发展。这个理论的最广义形式现在被 Mikhail Gromov 称为 h 原理，据他所云，这个理论具有广泛的用途。
Saunders Mac Lane 不是哈佛的毕业生，他是在哥廷根受 Hermann Weyl 指导的学生。在 William Caspar Graustein 当哈佛系主任时，Mac Lane 接受了 Peirce 讲师的教职。他在哈佛直到 1947 年，然后转到芝加哥大学。他和 Samuel Eilenberg 合作，把拓扑和代数这两门重要的数学分支融合成一门两者紧密结合的新学问；他们一起发展出同调理论的公设化研究理念；建构了在同伦理论计算中非常重要的 Eilenberg-Mac Lane 空间。这些想法也引发了代数和群论的重大发展。
Saunders Mac Lane | 来源：UChicago News
五、复分析与几何
芬兰人 Lars Ahlfors 1907 年出生于赫尔辛基，他是第一个在哈佛数学系获得终身教职的欧洲数学家。当加入哈佛时，他已经是第一流的国际明星。他在 1936 年，与麻省理工的 Jesse Douglas 共同获得第一届菲尔兹奖。Ahlfors 后来还获得沃尔夫奖。
Lars Ahlfors | Bill Graustein 摄
1935 年，在 Constantin Caratheodory 的大力推荐之下，Graustein 提供给他为期三年的客座讲师职。他最后在 1946 年加入数学系，1977 年退休。Ahlfors 是继 19 世纪德国数学家 Riemann 之后，又一个复分析领域（特别是从几何角度来探讨）的伟大开拓者。
Ahlfors 是芬兰大数学家 Rolf Nevanlinna 的弟子，后者带他认识了 Denjoy 猜想，这是一个关于复平面上全纯函数渐近行为的著名猜想。Ahlfors 在 1930 年解决这个问题。约略同时，瑞典数学家 Arne Beurling 在巴拿马猎鳄鱼时，也独立提出他的证明。（Beurling 在 1948 年至 1949 年任教于哈佛，然后去了普林斯顿高等研究院。）Ahlfors 还曾提到：“我不知道德国数学家 Grötzsch 已经发表了数篇和我想法类似的论文。”Beurling 成为他毕生的挚友和竞争者，而 Ahlfors 也把 Herbert Grötzsch 的一些想法运用到准保角（quasi-conformal）映射的研究上。
Ahlfors 创立并且触及复分析的每一面，大部分是从几何的角度。他在证明 Denjoy 猜想时，已经研究了保角映射中长度和面积的扭曲。他广泛地发展这些几何想法，然后将成果总结成一篇名为《覆盖空间的主定理》（Zur Theorie der Überlagerungsflächen）的论文，于 1935 年发表在 Acta Mathematica。这篇论文为他在次年赢得菲尔兹奖。关于这面奖牌有个逸闻：1944 年，当 Ahlfors 需要筹集从瑞典到瑞士的旅费时，他把奖牌送进了当铺（后来经由几位瑞典友人的协助，奖牌被赎了回来）。在 1939 年至 1940 年芬兰冬季战争期间，他花了大量时间躲在防空掩体里，撰写一篇名为《半纯曲线论》（The theory of meromorphic curves）的专题论文，该文以非常几何的方式，把 Nevanlinna 的理论推广到多维空间中的复曲线。
我的老师陈省身，在 Ahlfors 这篇论文发表 40 年后，曾予以透彻研究。事实上，Ahlfors 透过 Riemann 面的几何，给出了 Schwarz 引理的完美诠释。它展示出负曲率如何有助于控制全纯映射的行为。Ahlfors 的这项原理激发了近 50 年来高维复分析的发展。
Ahlfors 在极值长度（extremal length）、准保角映射、Riemann 面模空间、Klein 群等主题的研究，开启了现代复分析的新地平线。
六、大战余波：Gleason、Mackey 以及 Hilbert 空间
第二次世界大战时，由于教师参军或自愿投入研发支持同盟国，哈佛数学系的规模大幅缩减。例如 Stone 担任美国数学学会的战争政策委员会主席；Walsh 应召入伍进入海军；Coolidge 在 70 岁的高龄还从退休重返教职，替正在保卫国家的教授同僚教微积分。
Mac Lane 则领导以哥伦比亚大学为大本营的应用数学家们，专门研究战争相关的问题。成员包括哈佛的拓扑学家 Whitney；担任 Peirce 讲师的 Irving Kaplansky，他原来是 Mac Lane 的博士生；另外还有哈佛讲师 George Mackey，他是 Stone 以前的学生。
Garrett Birkhoff（G. D. Birkhoff 的儿子）和 Loomis 以及麻省理工学院的 Norman Levinson 合作，预测空中发射鱼雷的水底轨迹。他也和 Morse 与 John von Neumann 加入一个委员会，分析如何促进防空炮弹的效用，以及射穿坦克装甲的问题。战后，Garrett Birkhoff 开始探索混合纯数学与应用数学的数学问题。G. D. Birkhoff 则为哈佛的 Howard Aiken 寻找资金，建造当时世界上最大、威力最强的计算器——哈佛马克 1 号，用来做射击弹道的计算，后来也为曼哈顿计划做计算。
马克 1 号被拆解后，一部分用作哈佛 Science Center 的永久展示 | YS 摄
Stanislaw Ulam 在 1936 年至 1940 年成为哈佛学会（Harvard Society of Fellows）的年轻学者与数学系讲师。他后来加入曼哈顿计划负责繁复的数值计算，帮助设计出第一颗原子弹。Ulam 后来发明蒙特卡罗法，以统计方法来解决数学问题。他也是发展氢弹的关键人物。物理学家 Edward Teller 曾经这样评价 Ulam：在真正危急的时候，数学家仍然胜出，只要他真的很好的话。
Andrew Gleason 是耶鲁的大学生，1942 年毕业之后旋即加入位于华盛顿特区的海军密码分析小组。他曾协助破解日军的密码，伟大的计算科学家 Turing 盛赞他的杰出工作。1946 年 Gleason 离开海军，先成为哈佛学院的年轻教师，后来成为数学系的教授直到退休。一直到 1990 年为止，他都是政府情报体系的顾问。他引入了许多分析密码的重要数学技术，结合了他的编码理论研究与庞大的纯数学课题研究。
Gleason 非常着迷于 Ramsey 理论，这是一门和数东西、寻找秩序有关的理论，可以从似乎无秩序的结构中找出有组织的子结构。他和 Robert Greenwood 算出 R(4,4) 等于 18，也就是说你必须找到 18 个人，才能确保其中至少有 4 个人完全不认识对方，或是彼此都认识。
不过 Gleason 最知名的工作是 Hilbert 第五问题。这个问题属于 1900 年 Hilbert 在巴黎国际数学家大会所提出的 23 个问题。第五问题是局部欧氏群是否必然是李群。许多伟大的拓扑学家都曾经试图解决这个问题，但却都失败。Gleason 为这个问题做出最关键的贡献，最后才由高等研究院的 Deane Montgomery 与纽约城市大学皇后学院的 Leo Zippin 联合解决。
G. Mackey（左），A. Gleason（右）| 来源：The Harvard Gazette
Gleason 并没有博士学位，他自认 Mackey 是他的恩师。Mackey 是现代群表现论的铸造者，他也在量子物理基础上有重要贡献。Mackey 对他的指导教授 Stone 与 von Neumann 所构筑的理论很感兴趣，这项理论试图解释 Heisenberg 的测不准原理，也就是一个粒子的位置测量精确度与其动量测量精确度成反比。Mackey 可以将 Stone-von Neumann 的理论摆置在一个广义的数学脉络中。Andre Weil 随后注意到 Mackey 理论中的特例，和数论中的一些深刻理论很有关系。
Mackey 对于 Max Born 法则很感兴趣，亦即在某时某地找到一物的概率密度等于其波函数绝对值的平方。von Neumann 与 Mackey 想要从第一原理出发，说明以单位向量表示状态是数学上可证明的。由于von Neumann 用的一些公设约束性太大，Mackey 想要移除它们。Mackay 重新将这个问题用精准的数学形式来呈现，写成一个猜想。Gleason 被这个猜想所激励，投入研究并最后证明它。
Mackey 的表现论着重于酉表示（unitary representation），他以导出表示（induced representation）为基础，发展了所谓的“Mackey 机器”。这个理论在包括量子物理与数论的几项主题的发展上有很深刻的影响。
七、欧洲人：Zariski、Brauer 与 Bott
第二次世界大战之后，有好几位一流欧洲数学家加入哈佛数学系。除了 Ahlfors（1946）之外，还有 Oscar Zariski（1947）、Richard Brauer（1952）和 Raoul Bott（1959）。每一位都对这个系以及他们的专长领域造成巨大的影响，这些领域分别是代数几何、群论和拓扑。
Oscar Zariski | 来源：MFO
Zariski 是第一位在哈佛数学系拿到终身教职的犹太人，他在数学上的宏大冲击和宗教信仰并无关系（事实上他自认是无神论者）。Zariski 和 Weil 重新整理了代数几何，将它置于比从前更坚实、也更代数的基础之上，他们塑造了代数几何领域的日后发展，为未来几十年的进步奠下基石。
1899 年 Zariski 生于俄国的科布尔，1918 年就读于基辅大学。他在当时的俄国革命中受伤，离开俄国到罗马萨皮恩札大学读书，当时这里是研究代数几何的世界中心，教师阵容中有三位伟大的代数几何学家：Guido Castelnuovo、Federigo Enriques 与 Francesco Severi。他们就是意大利古典代数几何的象征与本尊。代数几何是一个以各种方式结合代数与几何的领域，运用代数技巧来解决几何问题。
Zariski 在罗马待了三年，并深深受到意大利几何学家的影响。不过 Castelnuovo 却告诉他：“你虽然在这里和我们一起，却不是我们的一员。”Castelnuovo 此言并非斥责，而是一种敦厚的善意，因为 Castelnuovo 曾告诉 Zariski，意大利学派的方法已经穷竭所有可能，走到尽头，不适合再往前发展。后来 Zariski 发现意大利学派的代数几何“基础摇晃不安”。他需要修正 Severi 的证明，但 Severi 却说：“我们贵族是不做证明的，证明是你们庶民的事。”Zariski 将代数几何基础的重建视为己任，并在抵达美国之后才完成。
Castelnuovo 和 Severi 鼓励 Zariski 去进行 Solomon Lefschetz 新颖的拓扑研究，他接受这项建议，并在 Lefschetz 的协助下找到工作，1927 年成为约翰霍普金斯的研究员，一年之后就升任副教授。Zariski 在约翰霍普金斯任职大约 20 年后，成为哈佛的一员。
在这期间，Zariski 决定从崭新的角度探索代数几何，1935 年，他出版《代数曲面》，在二维曲面上实践他的新观点。事实上，Zariski 重建了代数几何的基础，而他所使用的语言是现代的交换代数，这是他 1934 年至 1935 年在普林斯顿高等研究院，从 Emmy Noether 那里学到的。
在 1937 年，Zariski 曾说：“我的研究特性经历了剧烈的改变，不论是使用的方法或是问题的叙述方式，其特征都越发代数取向。”但是他也补充说：“纯粹形式的代数或形式数学并非我天生的性向，我和真实的生活也有非常多的接触，那就是几何学，几何才是真实的生活。”
关于这个新的代数取向，Zariski 的博士生广中平佑（Heisuke Hironaka）说，一旦证明是以代数为基础，严格性就是自然的结果，这也帮助数学家处理那些无法眼见的高维度形体。这个想法对 Weil 和 Zariski 发展以任意体为基础之几何也极为重要，也就是说他们所处理的代数空间并不只限于实数或复数坐标。其中最奇特的是有限体的代数簇（variety），事后证明这对现代数论非常重要。
1940 年，在 Birkhoff 的大力推荐下，哈佛准备提供 Zariski 终身教职，填补刚退休的 Coolidge 与 1941 年初去世的 Graustein 所留下的空缺。于是，该年 Zariski 到哈佛访问一年。不幸的是，由于日本轰炸珍珠港，大学当局冻结了教职，Zariski 只能回约翰霍普金斯大学担任繁重的教学职务。不过在这期间，Zariski 证明了他知名的“主定理”以及连通性定理。根据他的博士生 David Mumford 所言，他运用代数中的基本概念，并萃取了几何的内涵。这正是 Zariski 长久努力为代数几何奠基研究的一环。整体而言，Zariski 成功撑起代数几何基础的成就，也许比他证明的任一个别定理都更重要。
Zariski 在 1947 年终于成为哈佛教席的一员，他让哈佛在接下来的 30 年中，成为代数几何的世界中心，就像几十年前的罗马大学一样。Zariski 将顶尖的学者带进哈佛，他推动关键的教席任命，邀请明星级的访问学者，如Jean Pierre Serre与Alexender Grothendieck，并且以他研究的高度与个人魅力，吸引了一批优秀的研究生。
Zariski 在 20 世纪 40 年代的重要数学成就，是关于代数曲线与代数曲面奇点的消解（resolution），这导致数十年后，1964 年广中平佑所有维度奇点消解的伟大定理，他的另一位学生 Shreeram Abhyankar 在 1956 年解决了有限体代数流形（不超过二维）的消解问题，约十年后，Abhyankar 又解决了三维的情况。
除了广中平佑与 Abhyankar 之外，Zariski 所训练的杰出学生还有 Mumford 与 Michael Artin，Zariski 学生的整体成就改变了整个代数几何的主题。今天关于代数几何最核心的部分，大多得归功于这一群数学家。
Richard Brauer 与太太 Ilse | 来源：MFO
Richard Brauer 在他职业生涯的中期来到哈佛，当时他的整体成就已经令人印象深刻，但是此后他还有更多的成果。他是 Issai Schur 在柏林大学的学生，博士论文的主题是群表现。1933 年，他离开德国，在高等研究院待了一段时间，1934 年至 1935 年成为大数学家 Weyl 的助理，随后在经历多伦多大学与密歇根大学的教职后，加入哈佛的教席。在多伦多时，Brauer 投入有限群及其群表现的研究，在这个主题里，他获得许多优异的成就，并结合成一个宏大的理论：有限单群的分类，这是所有有限群的基础。他在 1955 年的论文《偶数阶的群》中提出一个分类单群的策略，后来被称为“Brauer纲领”。
Walter Feit 说，正是 Brauer 踏出关键的第一步，才让他们有可能证明出知名的 Feit-Thompson 定理：“所有奇数阶有限群都是可解的”。John G. Thompson 因为这个定理获得菲尔兹奖。
1972年，Zariski 的另一个学生 Daniel Gorenstein 提出一个 16 步骤的纲领，试图证明所有有限单群若不隶属于 18 族群，就只属于例外的 26 种“异散群”（sporadic groups）。这个纲领的最后一块，是一篇长达 1200 页的论文，作者是加州理工学院的 Michael Aschbacher 与伊利诺伊大学芝加哥校区的 Stephen Smith。
Raoul Bott | 来源：MFO
1923 年，Raoul Bott 生于布达佩斯，他毕业于加拿大麦基尔大学，并在 Richard J. Duffin 的指导下，在卡内基美仑大学应用数学研究所就读。他和 Duffin 解决了电路网理论中一个十分有挑战性的问题，Weyl 十分欣赏这项研究，邀请 Bott 到普林斯顿高等研究院访问。在那里 Bott 结识了 Morse，学习 Morse 的临界点理论，并将它推广到临界点非孤立的情况。
运用这个推广的 Morse 理论，Bott 进行了计算李群同伦群的卓越研究，还发现令人意外的现象：当 n 很大时， SO(n) 的同伦群竟然出现周期 8 的现象，而 SU(n) 的同伦群则出现周期 2。根据 Michael Atiyah 的说法，Bott 在 1957 年的这篇论文是一枚“炸弹”，现在这个定理称为“ Bott 周期性定理”。这个发现影响极大，开始了拓扑与几何一波接一波的发展，尤其是 K 理论的进展，这是关于向量丛的研究，肇始于 Grothendieck、Serre、Atiyah 与 Friedrich Hirzebruch。这是 Bott 在他还是密歇根大学教授时所完成的工作。
在 John Tate 的大力推荐下，Bott 于 1959 年来到哈佛就职，系主任 Zariski 说：“Bott 正是让他感觉无聊沉闷的系可以再度鲜活起来的最佳人选。”Bott 在哈佛一直待到退休。
Bott 的其他极具影响力的工作包括了 1964 年的 Atiyah-Bott 固定点公式，以及他与 Atiyah 合作的等变上同调理论（equivariant cohomology）。
Bott 对数学群体与数学系的影响远超出他所发表的论文。他训练出好几位杰出的数学家，包括在密歇根时的 Smale，哈佛时的 Daniel Quillen 与 Robert McPherson。
雇用 Ahlfors、Zariski、Brauer、Bott 以及随之而来的其他数学家，哈佛向大洋另一边的数学家打开大门，更促进了数学系、数学领域、甚至数学文化的发展。
Bott 说过他感谢“这个国家，以崇高的心灵与慷慨的胸怀接受这么多来自不同海岸的人，不介意我们的口音与其他差异，让我们能适才适性，竭尽所能”。
八、结论
今天的哈佛数学系和往日一样优秀，承续着开系先贤的传统。在 2009 年的一次晚宴中，Tate 宣称现在是本系的全盛时期。这句话也许略嫌夸张，但是我必须承认，这个系继承了让它在过去 150 年如此伟大的恢弘传统。
哈佛数学系的规模仍然很小，只有 18 位资深教席。我们依然相信质量是聘任终身教职时最重要的标准，也继续开放给所有族裔与国籍的杰出数学家，只要他们愿意奉献于研究，并且为哈佛大学训练出最好的学生。
Birkhoff 于 1912 年来到哈佛，从那时开始，在世界上最优秀的心智领导之下，数学系已经发展了 100 年的高阶研究。
回顾这段历史，再比较其他国家还在奋力发展一流数学研究的大学，我们有下列结论：
1. 20 世纪之交正是美国发展高层科学研究的恰当时机，主要的大学如约翰霍普金斯、耶鲁、芝加哥、哈佛都勠力于争取欧洲最好的学者（例如 Sylvester），并尽全力培育最好的学生（如 Birkhoff、Whitney、Morse）。这些努力也得到大学校长（如 Eliot）与院长（如 Graustein）的大力支持。他们都有极力成为世界上最好大学的远大愿景。
2. 在 19 世纪下半叶，美国的经济状况大有改善，其盛势持续至今。私人捐赠者捐献大量的金钱给大学，例如 John D. Rockfeller 捐给耶鲁与芝加哥，Leland Stanford 则捐赠他所有的钱财建立了斯坦福大学。他们对高等教育的无私态度，举世无匹。而且这样的奉献态度依然保持到今天。
3. 基于大学所提供的良好环境，以及优秀大学彼此之间的良性竞争（相较于某些新发展国家大学的台面下竞争），教授与学生能奉献精力于原创性的研究。
我们也能体认到当时研究者研究数学时的强大自信。例如 Birkhoff 在无人指导的情况下，竟然敢孤身尝试解决 Poincaré 留下来的有限制条件三体问题，显示了当时数学领导者的自信。
Birkhoff 不觉得他有需要前往德国跟随大师学习，自己就开展了许多新颖的领域，也栽培了具有同等创造力的学生。他之所以能完成这份艰难的工作，部分得归功于哈佛能够汇聚一批天赋优异的学生，哈佛大学部与研究所这些学生的总体贡献让哈佛成为名校，他们跟随大师学习，开辟自己的领域与研究子题。
4. 这些领导人心胸开阔，愿意尝试新颖的研究方向。从 Birkhoff 时期一直到今天，哈佛的教师与学生在变换新研究方向时从来不畏缩。因此开拓了很多新领域：现代拓扑学、动力系统、遍历论、信息论、非线性偏微分方程、几何观点的复变分析、基于代数的代数几何基础、群论、数论等，几乎包括所有对数学具有根本重要性的领域。
5. 数学系的气氛非常友善，因此许多绝对一流的访问学者都能与我们的教授和学生进行交流。在这样的环境中，新理论逐一诞生，并进而刺激年轻学生继续向前探索。
6. 尽管资深教师的人数很少，但他们都投入大量努力去教导学生。教师和学生愉快地一起工作，他们以哈佛为荣，愿意维护哈佛的崇高声誉。
7. 美国是最大的移民国家，18 世纪前开发东部和南部，独立战争更要联合法国对付英国在海上的威胁，19 世纪时向西部殖民，充满冒险开创的作风，影响及于学术界。同时多民族的社会鼔励良性的学术竞争，开国至今，社会大致上兼容并蓄，这在其他国家并不多见。
让哈佛数学系如此杰出的也许还有其他原因，但我相信以上是最关键的因素。
以上讨论哈佛大学数学系的发展，从中也可以看到哈佛是如何发展科学的。事实上，我们在这里也看到美国科学的发展的一个重要部分。
现在谈谈 64 年【编注：本文作于 2013 年】来新中国数学发展的走向：它的成功和过失，希望有利于以后的发展。
新中国成立初期，最重要的事情乃是华罗庚放弃美国优厚的待遇，回国服务。他的学问远胜于当时留在中国的数学同仁，他拳拳于领导中国数学走向世界一流的水平，由于热情洋溢，被有心人说是热衷功名。他带领一群年轻有为的学者，努力于解析数论、代数和多复变函数多个学科的研究，虽然不断受到多方阻挠，他还是排除困难，领导中国数学走出了好几个重要的新方向，使中国数学在世界数学中占了一定的地位。除了华先生和他的学生王元、陆启铿、万哲先、龚昇、潘承洞、陈景润等人外，还有陈建功、熊庆来、苏步青、许宝騄、吴文俊、吴新谋、冯康、严志达、廖山涛、谷超豪、夏道行、杨乐、张广厚、王光寅等人，他们有些留日，有些留苏，有些留英法，有些留美，后面三位和华氏子弟都是由本国培养出来的杰出年轻人，开创了“文革”以前一段兴旺的时期。总的说来，他们已经逐渐向世界水平迈进，但由于长期的孤立，没有接触到欧美在 20 世纪后叶发展出来的重要数学学科。
华先生的学问确实一流，但是和哈佛的 Birkhoff 比较，开创性还是有些欠缺，其学生和上述诸人学问也逊色于 Birkhoff 的几位天才横溢的学生。毕竟 Marston Morse、H. Whitney、C. Morrey 和 M. Stone 等人都是一代大师，开创了 20 世纪多个重要学科，成为现代数学和物理学的基础。在 20 世纪 30 年代一个小镇就产生了这么多重要的人才，可以说是历史奇迹！可怪的是，同时间在哈佛的中国留学生（如姜立夫等人）回国后对数学研究竟无贡献可言。这可能与中国长久未接触西方文化，和在学术界过分以政治挂帅有关，但是话说回来，这些学者毕竟也花了不少工夫去培训后生，产生了陈省身、华罗庚、周炜良等中国最杰出的数学学者。
值得忧虑的是，事隔多年，新中国成立直到如今，这些学术界的政治问题比以前更为严重，很多学识浅薄的学者发表了一些肤浅文章后，就开始操纵学术界，趾高气扬地指挥比他有深度得多的学者，到处宣传自己和同路人，其实他们连学问好坏都没有能力去分辨，一些领导人却往往被这种人蒙骗，使同行有学问的学者受辱，学术研究因此停滞不前。
这些学者，趁华先生和陈先生去世，就有系统地把持中国数学。事实上，他们对最先进的本行学问都还没有搞懂。如何去领导同行？这种二流学者做领导的现象在哈佛 20 世纪的历史上未曾出现过。不知这种腐败不良的现象何时才可以改变过来。
改革开放后，大批中国青年留学，有能力的还不少，但与哈佛大学 80 年来培养的杰出学生水平距离尚远，我读美国史，发现美国从开国到 20 世纪中叶，即使在积弱的时候，很多美国人也不抛弃自己的理想，不追求虚伪的面子，却坚持追求真正的结果，宁为玉碎不为瓦全，希望我们的留学生能将这种良好风气带回中国。
不幸的是，我在中国数学界看到很多相反的现象，很多年轻学子只愿意做一些小问题，却去巴结逢迎有权势的学者，甚至有人去抄袭而不知耻！这些情况，在数学界，令人难以置信。在哈佛，无论教授和学生，都以研究为最高目标，100 年来哈佛的师生发展了好几个新的基本而重要的数学学科，反观中国，到目前为止，尚未了解的学科甚多，更遑论开拓新的理论。
但是中国的国力比先前大得多，中央领导又希望科技早日赶上世界水平。上面所述，可以看作是：他山之石，可以攻玉，本文无意指责一些学者，但一个国家如果不知自己的缺点，而不知改正的话，恐怕很难成功地发展良好的学问。当年打击土豪劣绅，完成土地改革，今日恐怕也须在学术界做同样的事情，才能完成学术改革。如果成功的话，我相信中国的数学很快能够与哈佛大学的水平相提并论！
中国学术腐败的现象很多起源于体制问题：院士选举和院士霸权固然是高等科研障碍的始作俑者，但是高校为了争取院士和千人计划等往往采用不正当甚至不合法的手段，使得杰出人才不能展其所长，同时高校领导的任命往往与政治挂钩，即使最有名的大学的党委书记也可以完全没有学识，不但没有念过研究院，连起码的本科学识都不见得能够掌握，这种人如何去领导和任命一流的研究人员，结果是吹捧二三流教授而不自知！
因此，很多名校任命了一大帮高薪而在国外领全薪的所谓名教授，因为这些第一把手看不起在中国培养出来的年轻人，这些事情在哈佛大学是不能想象的。除了正式休假的时间，除非有极其特别的理由，得到董事会批准，教授们要留校，至于终身教授的任命，是整个大学最重要的环节，以学问为最重要的考虑因素，经过有学问的学者重重审阅，才决定聘请！这是哈佛数学系 100 年来经久不衰的主要原因！
延伸阅读
1. 丘成桐：哈佛大学三十年
2. 杨乐：改革开放前夕和初期我国对外数学交流琐忆
3. 旧文重读 | 丘成桐：中国基础科学发展
4. 丘成桐：数学和基本科学在应用科学中的重要性
5. 丘成桐：数学史与数学教育
6. 丘成桐：中国的高等教育
7. 丘成桐：文化与创新
8. 丘成桐、刘克峰、杨乐、季理真主编，《数学与人文》丛书，已出版 28 辑。
© International Press of Boston
閱讀更多 數理人文 的文章
