勾股定理是8年級課本重要內容，屬於初中階段重要知識點，也是各類考試重點考察內容。特別是利用勾股定理求最短距離的問題，很多學生都感覺到困難，下面就針對如何巧用勾股定理求最短路徑長進行講解。
求最短距離的問題，第一種情況是通過計算和比較解最短距離問題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中，然後藉助勾股定理解決；第三種情況是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉化為兩點間的距離，然後藉助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．
典型考題
技巧1：用計算法求平面中的最短問題
1．（2019秋•鹽都區期中）如圖，某工廠C前面有一條筆直的公路，原來有兩條路AC，BC可以從工廠C到達公路，經測量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，現需要修建一條路，使工廠C到公路的路程最短．請你幫工廠C設計一種方案，並求出新建路的長．
【解析】：過點C作CD⊥AB於點D，則線段CD為新建公路．
∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km，
變式1．（2019秋•連雲港期中）如圖，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC邊上一點，BD＝12，AD＝16．
（1）求證：BD⊥AC；
（2）若E是邊AB上的動點，求線段DE的最小值．
【解析】：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD﹣5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC．
（2）當DE⊥AB時，DE最短，
技巧2：用平移法求平面中的最短問題
2．（2019秋•越城區校級期中）如圖，要為一段高為6米，長為10米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要_____ 米長．
【解析】利用平移的觀點，把每一個臺階水平及豎直部分平移，地毯的長度實際是所有臺階的寬加上臺階的高，因此利用勾股定理求出水平距離即可．
根據勾股定理，可得求得樓梯水平長度為8米，
則紅地毯至少要8+6＝14米．故答案為：14．
變式.如圖所示是某酒店門前的臺階，現該酒店經理要在臺階上鋪上一塊紅地毯，問這塊紅地毯至少要多大？
【解析】：利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構成一個矩形，長寬分別為10米，8米，故地毯的長度為8+10＝18（米），則這塊紅地毯面積為：18×5＝90（m2）．
技巧3：用對稱法求平面中的最短問題
3．（2018秋•灌雲縣期末）如圖1，A村和B村在一條大河CD的同側，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長為4千米．
（1）現要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水．有兩種方案備選
方案1：水廠建在C點，修自來水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如圖2）
方案2：作A點關於直線CD的對稱點A'，連接A'B交CD於M點，水廠建在M點處，分別向兩村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如圖3）
從節約建設資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進行施工，請利用已有條件分別進行計算，判斷哪種方案更合適．
（2）有一艘快艇Q從這條河中駛過，當快艇Q在CD中間，DQ為多少時？△ABQ為等腰三角形？
4．（2019•金臺區二模）問題探究：
（1）如圖①，已知等邊△ABC，邊長為4，則△ABC的外接圓的半徑長為_____．
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，對角線BD與邊BC的夾角為30°，點E在為邊BC上且BE＝1/4BC，點P是對角線BD上的一個動點，連接PE，PC，求△PEC周長的最小值．
問題解決：
（3）為了迎接新年的到來，西安城牆舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個鐳射燈距城牆30米，鐳射燈發出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖③，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城牆的兩交點的連接的線段（BC）看作一個三角形，記為△ABC，那麼該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值，若沒有，說明理由．
【解答】：（1）如圖，作三角形外接圓⊙O，作直徑AD，連接BD，
∵等邊△ABC內接於⊙O，AD為直徑，∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，
（2）如圖2，作點E關於BD的對稱點E′，連接E′C交BD於P，連接PE，此時△PEC周長周長最小．
連接BE′，過E′作E′H⊥BC，
（3）如圖3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，
∴當AB＝AC時，邊BC取最小值，∴此時BC＝AC＝20√3，
作▱ABCD，作A點關於直線BC的對稱點A′，連接A′D，AB+AC＝CD+A′C，當A′，C，D在一條直線上時，AB+AC最小，
此時，△ABC應為等邊三角形，AB+AC＝40√3，
∵AB+AC和BC的最小值能夠同時取到，故△ABC的周長最小值為60√3．
技巧4：用展開法求平面中的最短問題
5．（2019秋•墾利區期中）我國古代有這樣一道數學問題："枯木一根直立地上高二丈四尺，週六尺，有葛藤自根纏繞而上，三週而達其頂，問葛藤之長几何？"題意是：如圖，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為24尺，底面周長為6尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞三週後其末端恰好到達B處，則問題中葛藤的最短長度是_______ 尺．
【解析】根據題意畫出圖形，再根據勾股定理求解即可．：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，
∵BC＝24尺，AC＝6×3＝18尺，
答：葛藤長為30尺．故答案為：30．
6．（2019秋•德惠市期末）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一隻螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為（ ）
A．√481dm B．20dm C．25dm D．35dm
【解析】：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20dm，寬為（2+3）×3dm，
則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．
設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，
由勾股定理得：
解得：x＝25（dm）．
故選：C．
7．（2019秋•遂寧期末）如圖，開口玻璃罐長、寬、高分別為16、6和6，在罐內點E處有一小塊餅乾碎末，此時一隻螞蟻正好在罐外長方形ABCD的中心H處，螞蟻到達餅乾的最短距離是多少（ ）
A．√145 B．√205 C．√277 D．17
【解析】做此題要把這個長方體中螞蟻所走的路線放到一個平面內，在平面內線段最短，根據勾股定理即可計算．
①若螞蟻從平面ABCD和平面CDFE經過，螞蟻到達餅乾的最短距離如圖1：
②若螞蟻從平面ABCD和平面BCEH經過，
則螞蟻到達餅乾的最短距離如圖2：
方法總結
1、解決有關立體圖形中路線最短的問題，關鍵是把立體圖形中的路線問題轉化為平面上的路線問題，如圓柱側面展開圖為長方形，圓錐側面展開圖為扇形，長方體側面展開圖為長方形等。
2、平面圖形中利用計算、平移、對稱等方法，運用平面上兩點間線段最短的道理，構造直角三角形，利用勾股定理求解即可。
3、長方體的展開圖有三種不同的情況，計算後進行比較。
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