三角函數，最本質的數學問題就是角與線段架起橋樑；而角是圓的主要元素之一。這樣三角函數與圓有了無縫的對接，也使得它們在中考試題中也有了完美的遇見。
今天筆者就和大家分享一下圓偶遇三角函數之後所發生的一個小片段吧！當然如果想了解具體發生了什麼，首先得記住他們的暗號喔：
三角函數暗號：欲求值，則一定身處R△中，否則等價代換（以可求相等的角未替代）；
圓暗號：要麼創Rt△環境，要麼謹記圓周角等（同弧或等弧所對圓周角）。
策略一、利用圓的有關性質構造直角三角形。
如果圓中存在直徑，則可根據直徑所對的圓周角是直角構造直角三角形，從而為使用三角函數創造條件.垂徑定理和切線的性質也是圓中構造直角的重要依據.
1．（2019秋•昌平區期末）如圖，A，B，C是⊙O上的點，sinA＝4/5，半徑為5，求BC的長．
【解析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
證明：方法Ⅰ：連接OB，OC，過點O作OD⊥BC，如圖1
∵OB＝OC，且OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠COD＝1/2∠BOC，
∵∠A＝1/2∠BOC，
∴∠BOD＝∠A，sinA＝sin∠BOD＝4/5，
∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝BD/OB=4/5，
∵OB＝5，∴BD/5=4/5，BD＝4，
∵BD＝CD，∴BC＝8．
方法Ⅱ：作射線BO，交⊙O於點D，連接DC，如圖2．
∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠A，∴sinA＝sin∠BDC＝4/5，
∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝BC/BD=4/5．
∵OB＝5，BD＝10，∴BC/10=4/5，∴BC＝8．
2．（2019秋•樂陵市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，DE⊥AC，垂足為E
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若BC＝6，⊙O的直徑為5，求DE的長及cosC的值．
【分析】本題考查了切線的判定，直角三角形性質，等腰三角形的性質的應用，注意：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
【解答】（1）證明：連接OD．
∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴OD∥AC，∴∠CED＝∠ODE，
∵DE⊥AC，∴∠CED＝∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，OD是圓的半徑，∴DE是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，
∵⊙O過BC的中點D，∴BD＝CD，
∴AC＝AB＝5，CD＝BD＝3，∴AD＝4，
∴DE＝CD •AD/AC=12/5，cosC＝CD/AC=3/5．
3．（2020•興文縣模擬）定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等於這個點到該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的"好點"．如圖1，△ABC中，點D是BC邊上一點，連結AD，若AD2＝BD•CD，則稱點D是△ABC中BC邊上的"好點"．
（1）如圖2，△ABC的頂點是4×3網格圖的格點，請僅用直尺畫出AB邊上的一個"好點"．
（2）△ABC中，BC＝9，tanB＝4/3，tanC＝2/3，點D是BC邊上的"好點"，求線段BD的長．
（3）如圖3，△ABC是⊙O的內接三角形，OH⊥AB於點H，連結CH並延長交⊙O於點D．
①求證：點H是△BCD中CD邊上的"好點"．
②若⊙O的半徑為9，∠ABD＝90°，OH＝6，請直接寫出CH/DH的值．
【分析】考查了圓的綜合題，涉及到的知識點由垂徑定理，圓周角定理，勾股定理以及三角形中位線定理，難點是掌握三角形某邊的"好點"的定義，只要掌握了該定義，此題迎刃而解，難度不是很大
（1）根據題意知，CD2＝AD•BD，據此作圖；
（2）作AE⊥BC於點E，由tanB＝4/3，tanC＝2/3可利用方程求得BE＝3，CE＝6，AE＝4，設DE＝a，
需要分兩種情況解答：①點D在點E左側；②點D在點E右側，根據三角形該邊的"好點"的定義得到：AD2＝BD•CD，將相關線段的長度代入，列出方程，通過解方程求得答案；
（3）①首先證得△AHC∽△DHB，則該相似三角形的對應邊成比例：AH/DH=CH/BH，即AH•BH＝CH•DH，然後利用等量代換推知BH2＝CH•DH，即點H是△BCD中CD邊上的"好點"．
②CH/DH=5/21．理由：如答圖4，連接AD，BD．根據圓周角定理推知AD是直徑，故AD＝18．然後由已知條件推知：OH是△ABD的中位線，則BD＝2OH＝12．在直角△ABD和直角△BDH中，由勾股定理求得線段AB和DH的長度，由①知，BH2＝CH•DH，代入求得CH＝5√21/7；將CH、DH的長度代入所求的式子求值即可．
【解答】：（1）如答圖1，當CD⊥AB或點D是AB的中點是，CD2＝AD•BD；
（2）作AE⊥BC於點E，由tanB＝4/3，tanC＝2/3可設AE＝4x，
則BE＝3x，CE＝6x，
∴BC＝9x＝9，∴x＝1，
∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，
設DE＝a，
∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH
∴點H是△BCD中CD邊上的"好點"．
②CH/DH=5/21．
理由如下：如答圖4，連接AD，BD，
∵∠ABD＝90°，∴AD是直徑，∴AD＝18．
又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．
∵點O是線段AD的中點，
∴OH是△ABD的中位線，∴BD＝2OH＝12．
策略二、用圓周角的性質把角轉化到直角三角形中
藉助同孤或等弧所對的圓周角相等或其他相等關係，可把三角函數中涉及的銳角轉化為直角三角形中的銳角，然後藉助三角函數的定義解答.
4．（2019秋•慈溪市期末）如圖，⊙O過正方形網格中的格點A，B，C，D，點E也為格點，連結BE交⊙O於點F，P為弧CD上的任一點，則tanP＝_____．
【解析】連接DF，如圖，根據圓周角定理得到∠P＝∠BDF，∠BFD＝90°，再證明∠P＝∠BED，然後根據正切的定義得到tan∠BED＝2，從而得到tan∠P＝2．故答案為2．
5．（2019秋•東臺市期末）已知⊙O半徑為4，點A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B＝2√13/13，則線段OC的最大值為_______．
【解析】本題考查圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬於中考填空題中的壓軸題．
如圖，連接OA，OB，作AD⊥OA，使得∠ADO＝∠ABC．利用相似三角形的性質證明OC＝2/3BD，求出BD的最大值即可解決問題．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，
∴sin∠ABC＝AC/BC=2√13/13，
設AC＝2√13k，BC＝13k，則AB＝3√13k，
∵∠ADO＝∠ABC，∠DAO＝∠BAC＝90°，
∴△DAO∽△BAC，∴AD/AB=AO/AC，
∵∠DAO＝∠BAC，∴∠DAB＝∠OAC，∴△DAB∽△OAC，
6．（2019•虞城縣一模）已知AB是⊙O的直徑，C是圓周上的動點，P是弧ABC的中點．
（1）如圖1，求證：OP∥BC．
（2）填空：
①如圖2，PC交AB於點D，當∠A的度數為_______°時，OD＝CD；
②若tanA＝1/2，OA＝5，則BC＝_____．
【分析】（1）連結AC，延長PO交AC於H，如圖1，由P是弧AC的中點，根據垂徑定理得PH⊥AC，再根據圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝90°，然後根據OP∥BC；
（2）①如圖2，連接OP若OD＝CD，則∠DOC＝∠DCO，進而證得∠COD＝∠A，得出∠POD＝2∠A，即可得出∠AOP＝∠COP＝3∠A，由∠AOP+∠POB＝180°，得出3∠A+2∠A＝180°，從而求得∠A度數．
②過PE⊥AB於E，過C作CF⊥AB於F，根據正切函數和勾股定理看求得．
【解答】（1）證明：連結AC，延長PO交AC於H，如圖1，
∵P是弧ABC的中點，∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，∴OP∥BC；
（2）解：①連接OP，如圖2，若OD＝CD，則∠DOC＝∠DCO，
∵∠A＝∠OCP，∴∠COD＝∠A，
∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，
∴∠POD＝2∠A，∴∠AOP＝∠COP＝3∠A，
∵∠AOP+∠POB＝180°，∴3∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝36°；
②解；如圖3，過PE⊥AB於E，
7．（2020•龍泉驛區模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O於E，過點A作AF⊥AC於F交⊙O於D，連接DE，BE，BD
（1）求證：∠C＝∠BED；
（2）若AB＝12，tan∠BED＝3/4，求CF的長．
【分析】（1）根據切線性質、垂直的性質、直角三角形的兩個銳角互餘的性質求得∠C+∠AOC＝∠AOC+∠BAD＝90°，即∠C＝∠BAD；然後由圓周角定理推知∠BED＝∠BAD；最後由等量代換證得∠C＝∠BED；
（2）根據銳角三角函數的定義求出AC，OC的長，求出AF長，則答案可求出．
【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CA切⊙O於A，
∴∠C+∠AOC＝90°；
又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，
∴∠AOC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．
又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．
小結
總而言之，圓與三角函數都是初中數學知識的重點，也是難點，將這兩部分知識綜合考查時，難度相對較大。其解題關鍵在於，找到相關的直角三角形。若沒有現成的直角三角形，則需根據所給的條件，合理構造直角三角形，或把角轉化到直角三角形中解答。
圓的內容在考察的時候形式多樣，不管是哪一種類型都可以隨機結合，對於學生而言靈活變通能力要求較高，所以在平時做題時需要多做總結和同類型整理，才能更快融會貫通。
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