A 司马懿PK诸葛亮：赢家是谁？
三国时期，诸葛亮亲率蜀军北征，安排马谡镇守战略要冲街亭。
但是，马谡把孔明的部署抛诸脑后、自作主张，导致街亭失守，司马懿趁势率15万大军直扑诸葛亮的大本营西城。这时，诸葛亮身边没有武将，只有一班文官、2500个兵卒，不足魏军的2%，双方实力判若天渊，怎么办？
孔明传令，将旌旗尽皆隐匿；诸军各守城铺，如有妄行出入及高言大语者，斩之；大开四门，每一门用二十军士，扮作百姓，洒扫街道。孔明乃披鹤氅，戴纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前，凭栏而坐，焚香操琴。
诸葛亮决定冒险一搏。他不疾不徐地安排好一切，然后端坐在城楼上：
司马懿前军哨到城下，见了如此模样，皆不敢进。懿笑而不信，遂止住三军，自飞马远远望之。果见孔明坐于城楼之上，笑容可掬，焚香操琴。左有一童子，手捧宝剑；右有一童子，手执麈尾。城门内外，有二十余百姓，低头洒扫，傍若无人，懿看毕大疑，便到中军，教后军作前军，前军作后军，望北山路而退。
司马昭认为这是孔明使诈，不足为惧，但司马懿的看法恰恰相反：
懿曰：“亮平生谨慎，不曾弄险。今大开城门，必有埋伏。我兵若进，中其计也。汝辈岂知？宜速退。”
司马懿认为诸葛亮一生行事严谨，断断不会在无人守城的情况下大开城门。诸葛亮对此已有预判：
孔明曰：“此人料吾生平谨慎，必不弄险；见如此模样，疑有伏兵，所以退去。吾非行险，盖因不得已而用之。”
为什么司马懿认为西城不是“空城”？ 他的分析判断充分体现了贝叶斯思维。
▶首先，司马懿携街亭大胜的声威、凭十五万大军的兵力，原本打算与蜀军再决雌雄；诸葛亮在街亭失守之后，也可能采取闭门拒战的策略，但是，撤兵弃城（出现空城）的可能性很小；
▶接着，当司马懿来到城下，发现诸葛亮既没有排开阵势、准备与汉军再战，也没有紧闭城门、坚壁清野，而是优哉游哉地抚琴，城门洞开，不见一兵一卒。这种意外（现在称为“黑天鹅”）使他不得不重新判断情势，对此前的乐观估计作出大幅调整：
【情景一】如果是空城，诸葛亮在城楼上弹琴的概率有多大？
以诸葛亮的处事原则，司马懿断定他不会如此凭空冒险，所以这种情景的概率微乎其微。
【情景二】如果不是空城（已有埋伏），诸葛亮弹琴的概率有多大？
蜀军在街亭战败，诸葛亮很难在短时间内再次集结部队，此时选择“以逸待劳”是上策，他很有可能在西城里设下机关、布好陷阱，打开大门，是为了引魏军进入埋伏圈，这种情景的概率非常高。
因此综合来看，司马懿得出判断：诸葛亮行事一向稳健、谨慎，他敢于城门大开、闲坐抚琴，必定是早有准备，“西城是空城”的概率很低。
如果魏军的统帅换做没有如此理性的司马昭，很可能不管三七二十一，直接率兵攻打进去，别说拿下西城，活捉弹琴的诸葛亮也完全有可能……
这么一来，《三国演义》的后二十五回就要重写了。
在诸葛亮与司马懿的此番较量中，表面上是诸葛亮险胜、秉持理性的司马懿稍逊，但应该看到的是，“空城计”是非常极端的选择，诸葛亮赌上身家性命为之一搏，这在常态情况下是绝对不可取的。
反观司马懿，对情势进行细致的分析、对风险进行合理的评估，这种理性的思考方式，才是更值得我们学习和效仿的。
在他的判断过程中，充分体现了一个重要的理性思维准则——贝叶斯思维。
B 什么是贝叶斯思维
贝叶斯思维，是指按照贝叶斯定理分析问题的思维方式，主要内容是当面对不确定性的问题时，除了要根据现有条件进行分析，还需要考虑在相反的条件下、出现同样情况的可能性（即概率），并且据此对结论进行纠偏调整，这样才能得出更客观、准确的判断。
举个例子，如果天上出现乌云，下雨的概率有多大？
你可能首先想到“下雨时出现乌云的概率”，但是，它和上面的问题是不同的两件事，不能直接用“下雨时出现乌云的概率”来替代“出现乌云时下雨的概率”。
除了“下雨时出现乌云的概率”，我们还要考虑“不下雨时出现乌云的概率”，根据这个概率对上一步的判断进行调整，整个过程就是贝叶斯思维。
如果历史数据显示，后一个概率比较高（比如在云南大理等高海拔地区，有时出现乌云但并不会下雨），那么仅仅根据“天上有乌云”的条件，就不能推断出“下雨”，或者说，“下雨”的概率很低。
回到“空城计”的故事。根据“诸葛亮抚琴”的条件，能否作出 “西城是空城” 的判断？
司马懿想到了这个问题的对立面，也就是在“西城不是空城”的条件下，“诸葛亮抚琴”的可能性更大，由此，他认为“西城是空城”的概率很低，从而做出了撤军的理性决定。
“相反条件”在概率论中称为备择假设，它是贝叶斯思维中的两个重要支柱之一。
这是对贝叶斯思维的通俗解释。贝叶斯思维来源于贝叶斯定理，它的“本尊”是什么样儿呢？
C 掷筛子的上帝与贝叶斯定理
在西方的统计学和概率论建立之后，人们认为这完全证明了“上帝也在掷骰子”。
不过，十八世纪的英国数学家托马斯·贝叶斯发现了统计学中的一些缺陷，他认为人类在“掷骰子的上帝”面前也不是完全无能为力、听天由命。
贝叶斯提出，应当在统计计算中引入主观因素：
用客观的新信息更新我们最初关于某个事物的信念后，我们就会得到一个新的、改进了的信念。
比如，如果一个人总是做一些好事，我们会推断那个人是一个好人。也就是说，当你不能确定某一个事件发生的概率时，你可以通过与其相关的其它事件发生的概率，来推测该事件发生的概率。
如果用A、B代表两个不同但相关的事件，P(A)、P(B)代表它们发生的概率。很显然，在事件B发生的条件下、事件A发生的概率P(A/B)，以及在事件A发生的条件下、事件B发生的概率P(B/A)，是截然不同的，它们之间有什么关系呢？
贝叶斯经过研究，把这个关系归纳成了数学等式：
P(A/B)=P(A)*P(B/A)/P(B)
它表示的是，在B发生的条件下、A发生的概率P(A/B)，不仅与A发生的概率P(A)、B发生的概率P(B)有关系，也与在A发生的条件下、B发生的概率有P(B/A)关。
这就是贝叶斯定理。
以前面“下雨”的例子来说，在“天上有乌云”的条件下的“下雨”概率，除了要考虑“天上有乌云”的一般概率、“下雨”的一般概率，还要反向考虑在“下雨”的条件下、“天上有乌云”的概率，
用贝叶斯公式表达为：
用贝叶斯定理把司马懿的分析过程表达出来，是这样子的：
这就是说，与其他统计学方法不同，贝叶斯方法是以主观判断为基础，先对目标估计一个值，然后根据其它条件或者事实不断修正，逐步逼近正确结果。
D 五步学会贝叶斯定理
为了帮助你更顺畅地理解贝叶斯定理，我总结了一个“五步法”，以基本概念为线索、层层递进：
第一步，正向概率
以“新冠肺炎”为例，根据目前已知的数据，武汉的新冠肺炎患病率为0.36%（累计确诊病例50000、总人口约1400万），随机选择一个武汉人，他是新冠肺炎患者的概率有多大？答案是0.36%。
这种概率称为正向概率，根据总体样本的分布情况，直接计算出单一事件发生的概率。
第二步，条件概率
接下来，我们把这个问题倒过来，从后向前看，上面的问题就变成：
随机选择一个武汉人，如果他有发烧、咳嗽等症状，他是新冠肺炎患者的概率有多大？
这就是上面讲到的条件概率，即根据一定的信息（即条件），逆向推测相关事件发生的可能性。
第三步，联合概率
联合概率是指事件A与事件B同时发生的概率，记作P(A,B），很显然，P(A,B)＝P(B,A)。
利用条件概率，把等式两边的联合概率分别展开：
P(A,B)=P(A)* P(B/A)——事件A发生的概率、乘以在A发生的条件下B发生的概率
P(B,A)=P(B)* P(A/B)——事件B发生的概率、乘以在B发生的条件下A发生的概率
两个等式都表示“事件A与事件B同时发生”的联合概率：
P(A)* P(B/A)= P(B)* P(A/B)
经过数学变形，就得到了条件概率的求解公式：
P(A/B)= P(A)* P(B/A)/ P(B) ………（1）
这是贝叶斯定理的基本形式。应用到上述的例子中：
P(患病/有症状)= P(患病)* P(有症状/患病)/ P(有症状)
第四步，全概率
在上面的等式中，P(B)称作全概率，可以展开成：
P(B)=P(A)* P(B/A)+P(~A)* P(B/~A) ………（2）
其中，P(~A)表示与A相反情况发生的概率。
全概率的计算是关键一步。很多时候我们会忽略“未患病者中的有症状者”（即备择假设），导致对概率的错误估算。
在我们的例子中，P(有症状)就是全概率：
P(有症状)=P(患病)* P(有症状/患病)+ P(未患病)* P(有症状/未患病)
第五步，贝叶斯定理
把全概率等式（2）代入等式（1）的分母中：
P(A/B)= P(A)* P(B/A)/ [P(A)* P(B/A)+P(~A)* P(B/~A)]
这是贝叶斯定理的完整形式。
等式右边的P（A）称为“先验概率”，表示在没有考虑条件B的情况下、A发生的概率；左边P（A/B）称为“后验概率”，表示在根据条件B进行修正后的A发生的概率。
在上面的例子中，已知患病者的比例是0.36%，假设在“正常人”、“患者”两部分人中，“有症状”的比例分别为0.1%、85%：
在后面的G部分，我们会从另一个角度审视这个例子。
E 贝叶斯思维的应用实例
接下来我们用一些实例详细说明如何运用贝叶斯定理。
特别请你注意的是，数字只是为了帮助我们准确理解这个定理，重点在于计算过程、方法和逻辑，计算结果并不重要。在实际应用中，我们有时缺乏具体有效的数据（比如下面的例二），但仍可以按照以往经验、或者参照相近的类别进行粗略估计，不会影响最终的判断。
■ 应用一：汉密尔顿？麦迪逊？
在美国著名政治文献《联邦党人文集》中，有12篇文章的作者一直存有争议，无法确定究竟是汉密尔顿还是麦迪逊。
1787年，哈佛大学统计学家通过研究发现，在已经确定作者的73篇文章中，汉密尔顿写了9.4万字，麦迪逊写了11.4万字。
根据他们各自的用词偏好、即12篇文章中的相关词汇出现频率（词频），利用贝叶斯公式，学者们就能推测出这些文章的作者归属：
■ 应用二：孩子撒谎了吗？
孩子今天放学回来说老师没布置作业，你有些不放心，因为在这件事上，孩子以前撒过谎。
你打电话给他的同学明明，明明也说今天没留作业。现在你需要判断P(孩子说真话/明明说真话)。
你不仅要考虑“孩子说真话”的基础概率，即P(孩子说真话)，还要考虑“当孩子说假话时、明明说真话”的概率，即贝叶斯定理中的备择假设，以此来验证基础概率。
你知道明明是孩子的好朋友，两个人常常会“串通口供”，那么，“当孩子说假话时、明明说真话”的概率很低。这时，如果你能确定明明说的是真话，则“孩子说真话”的概率就会被向上修正，也就是说，你应该认为孩子说的是真话。
换个角度来看，如果明明是个诚实的孩子，很少说谎话，不论孩子说的是否是真话，明明都不会撒谎，这种情况下“孩子说真话”的概率不会变化，也就是说，根据“明明说真话”的条件不会影响原有的判断。
■ 应用三：该买进股票吗？
你发现某个股票已经基本跌到位了，后面触底反弹的可能性很高，概率为80%，但你觉得信心不足，花钱找了一位投资高人给你咨询，他的判断和你一样。根据你的了解，他以往判断正确的概率是65%，判断错误的概率是35%，你该怎么做决定呢？
把这个问题“翻译”成贝叶斯公式：
经过修正后的概率比此前有一些提升，但幅度不大，原因是他的准确率并不高。如果他的判断准确性达到95%，最后的结果会提高到96%，你可以更有把握地买进了。
品尝了几道“开胃小菜”之后，下面为你送上“主菜”，我们运用贝叶斯思维，对冷战时期的重大事件“古巴导弹危机”做一深度剖析。
F 古巴导弹危机
1962年，是 “冷战”时期最危险的时刻，美苏两国的激烈对抗，险些将全世界拖入核大战的深渊。
事件的起因，源于此前美国与古巴关系的恶化。
1961年，美国宣布中断与古巴的外交关系，并对古巴实施经济制裁。三个月之后，美国策划了入侵古巴“猪湾事件”，加剧了两国之间的对立态势。迫于美国强大的压力，古巴转向苏联寻求援助。
苏联面对的形势是，以两国军事力量对比而言，美国不仅常规武器处于绝对优势，从50年代大力扩充核武库之后，在核竞赛中也处于领先地位，并且在意大利和土耳其境内部署了中程弹道导弹等战略武器，将苏联的重要城市和工业中心纳入有效射程之内。苏联感受到了前所未有的威胁。
此时古巴向苏联求援，正是苏联扭转不利局面的时机，遂决定向古巴部署武器。到1962年9月，苏联完成了42枚导弹的运输和部署，每一枚导弹都携带一个威力比广岛原子弹大20至30倍的核弹头。
苏联的行动被美国发现后，招致肯尼迪政府的强烈反弹。美国政府向苏联发出警告，要求撤回部署古巴武器，但苏联予以了“坚决拒绝”，并表示将对美国的威胁“作出最激烈的回击”。
肯尼迪立刻下令采取军事行动。
10月24日，在68个空军中队和8艘航空母舰护卫下，由90艘军舰组成的美国舰队出动，在从佛罗里达到波多黎各的几千英里海域上，布成了一个严密的弧形，完全封锁了古巴海域。同时，美国导弹部队全部处于“高度戒备”状态，导弹在发射台上听候指令。
局势危在旦夕，任何一方稍有不慎，就会引爆足以摧毁世界的核战争。苏联需要作出判断，如果不从古巴撤出导弹，美国发动军事进攻的可能性有多大？
我们用贝叶斯定理做一分析：
▶苏美的全球军备竞赛不断加剧，但没有发生过正面的直接冲突。在美国没有封锁古巴之前，苏联不确定“美国发动核战”的可能性有多大，假设概率是50%；
▶如果“美国发动核战”，必定会率先攻击苏联已部署在古巴境内的军事设施，在这种极端情况下，“封锁古巴”的概率会大幅上升，P(封锁古巴/美国发动核战)设定为80%；
▶如果“美国不发动核战”，即使双方擦枪走火，很可能仅仅维持在常规战争层面，那么“封锁古巴”的可能性尽管存在，但是会大幅度下降，P(封锁古巴/美国不发动核战)可设定为10%，
由此可以计算出，美国在封锁古巴的前提下，进一步发动核战的概率骤升至88%：
由于苏联判断在“美国不发动核战”的情况下，“封锁古巴”的概率很小，反过来印证了此前的预判，美国发动核战的概率将大幅度提升。
俗话说，胆儿大的怕不要命的。
美国子弹上膛，发出了“不惜一战”的信号。肯尼迪的坚决、果断，大大出乎赫鲁晓夫的预料。
26日，赫鲁晓夫致信肯尼迪，充分表达了“和解”的意愿，很快得到美国的正面回应。截至11月11日，苏联从古巴撤回全部核导弹和轰炸机，美国随后取消了对古巴的海上封锁。
如果这场危机演变成热核战争，对于肯尼迪与赫鲁晓夫、对于美国苏联和全世界，都是“不能承受之重”。
事实上，肯尼迪下令封锁古巴，是极为冒险的举动，大有“破釜沉舟”之势。正如诸葛亮在城楼抚琴一样，虽然概率很小，但是一旦发生，就会给对方的判断造成很大压力；但同时，也是封死了所有退路，把自己逼上了梁山。
在这个意义上，肯尼迪和诸葛亮的选择都是 “不理性”的。
G 作为压舱石的“基础概率”
以上对贝叶斯定理的解释中，我们把重点放在了“备择假设”上面，这是贝叶斯定理的支柱之一。在实际应用中，除了忽视“备择假设”以外，还有另一种情况，也会造成判断错误，这就是贝叶斯定理的另一个支柱——基础概率。
例如，在D部分的例子中，考虑到“在患者中85%有症状”，这个比例比较高，如果由此判断“有症状者患病”的概率，就会出现高估的偏差。
你应该注意到，整体“患病率”即基础概率只有0.36%，说明在人群中此病的发病例很低，计算结果显示“有症状者患病”的概率只有75%，显著低于85%，这正是基础概率的作用。
由于人们的思维习惯，通常会过于关注发生在眼前的具体事件，而忽视潜藏着的、作为基本情况存在的基础概率，导致出现夸大证据的误判。
实际上，在临床诊断、法庭审判、商业分析等很多现实生活领域中，经常发生这类理性谬误。
H 贝叶斯思维比定理更重要
学习理性思维、学习贝叶斯定理，重点不在于要按照公式详细计算，而是学会这种思维方式、形成贝叶斯思维的直觉。
在文章的最后，我们简要总结一下贝叶斯思维的三个关键要点：
第一，基础概率。从唯物哲学的角度看，基础概率是“矛盾的主要方面”。如果某种情况的发生概率就很低，哪怕证据再确凿，通常也应该否定这种情况出现的可能性。
以上面的肺炎感染为例，考虑到疾病发生率比较低这个基础概率，大致能判断出来很多人出现症状，与肺炎病毒并没有关系，而是其他病症引起的，因此需要再做进一步筛查、检测。
第二，备择假设。由于思维惯性的原因，我们往往被眼前的证据吸引、迅速做出判断，却忽视了在相反情况下的概率。备择假设促使我们更全面地、完整地思考问题。
第三，证据选择。在依据证据进行判断时，需要注意证据的科可靠性、准确性。比如，不能听信某些来源不明的消息，不能由于一件事情就轻易对别人进行评判。越是重要的事情，越需要尽量充分、详细的调查；而当证据、条件充分时，就要及时调整先前形成的判断，灵活应对。
贝叶斯思维是一种应用广泛的理性思考方式。掌握了这个“利器”，你会在看问题的深度和广度上都胜人一筹，形成更有见地、更有效的判断和决策。
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