第三次數學危機是什麼？這次數學家都弄瘋了！——理髮師悖論

各位觀眾大家好，我是鈴木歐。

我們之前講過第一次和第二次數學危機，今天我們來講第三次數學危機。

第三次數學危機，首先要從一個數學加羅素開始

伯特蘭·羅素

1、羅素，他提出一個悖論，叫做理髮師悖論。所謂悖論就是怎麼說都不對。

他說，假如有一個村子，村子裡有一個理髮師，這個理髮師，他在自己的店門口立了一塊牌子，說我給且僅給自己不刮鬍子的人刮鬍子。也就是說，如果你自己給自己刮鬍子，那我就不給你颳了。如果你要是不給自己刮鬍子，那你來我這，我就給你刮鬍子，不要錢我也給你刮。那麼羅素就問了，假如真的有這樣一個理髮師的話，他應不應該給自己刮鬍子呢？他如果給自己刮鬍子，他就是一個給自己刮鬍子的人。那麼他不應該給自己刮鬍子，對不對？按他的說法。他如果不給自己刮鬍子，他就是一個不給自己刮鬍子的人。他就應該給自己刮鬍子，他到底給不給自己刮鬍子？

羅素為什麼要提出這麼一個奇怪的一個問題？——他實際上是要詰難當時的德國數學家康托爾

格奧爾格·康托爾

2、康托爾提出了集合理論，集合理論被認為是現代數學的基礎。用集合去解釋現代數學中的一些問題。這個理論後來被人們稱為——人類純智力活動的最高成就。

這麼偉大的一個人，他也其實早就發現了一個問題，就是它這個集合裡面有點瑕疵。但是別人說的這麼厲害，他就沒說，但是他不說，人家羅素說啊，總去問他。

3、這個集合理論有什麼問題呢？咱們首先說一下集合。

集合有三個特點；

①確定性，每一個元素必須是確定的。

②互異性，每兩個元素都不能相同。

③無序性，這些元素沒有什麼排列的順序

舉個例子，比如說有一個集合A，集合A有三個元素: {1，2，3 }。有一個集合B，這個B是所有的偶數，: {X| X是偶數 }，這個也是一個集合。不止是數字可以，你比如說拖拉機的集合，這個也可以。所有拖拉機和到一塊構成一個集合。但有些東西不能構成集合，比如說美女的集合。美女！美女不能構成集合。為什麼呢？你覺得她美，我覺得她不美，是吧！這不是確定的。那麼對於集合來講，有一種關係叫

比如說1，他是集合A的元素，寫作1∈A，這個元素屬於A，是吧! 2是偶數，所以它是B集合的元素，叫2∈B，3是一個奇數，它不是B的元素，所以叫3不屬於B的元素，所以叫3不屬於B。這就是集合中的一些基本問題，咱們來說一說羅素的理髮師悖論到底想說明什麼呢？

他其實想說，康托爾集合都面臨一個很嚴重的自相矛盾的地方，就是假如我定義，有一個A，這個集合A= {X| X不屬於A }這個集合的意思是所有不屬於自身的集合的集合！這個說法有點繞，所有不屬於自身的集合的集合！那我就問，問這個集合它應不應該屬於自身。如果我們說，這個集合A它是屬於自身的，如果它屬於自身，它就不滿足這個定義。它不滿足這個定義，它就不應該屬於自身，A不屬於A，對吧？這不矛盾了嗎！！那麼如果A要是不屬於A呢？

如果A要是不屬於A，它滿足定義——它滿足定義它就應該屬於A，對不對？

這樣一來，集合就出現了一個很嚴重的問題。那麼這件事情到目前為止還沒有被人類完美的解決，所以這件事就被稱為第三次數學危機。

康托爾一次一次地經受著羅素地詰難，他又解釋最後不了，所以康托爾最後瘋掉了。最後死在自己工作的哈勒大學精神病院裡面。