以下文章來源於原理 ，作者Ethan Siegel
原理
科學，照亮黑暗的蠟燭。
Ethan Siegel
畢達哥拉斯定理幾乎是所有人最早學到的數學定理之一：一個直角三角形最長的邊（斜邊）的平方，等於另兩條邊（直角邊）的平方和。滿足這一定理的第一個整數組合是三邊分別為3、4和5的三角形：3² + 4² = 5²。其他一些同樣滿足這一關係的整數組還包括：
當然這樣的整數組還有很多。但3、4和5是其中最特殊的一組，因為它們是唯一滿足畢達哥拉斯定理的連續整數。
○ 這個簡單的乘法表沿對角線展示了前20個正整數的平方數。神奇的是，不僅3² + 4² = 5²成立，10² + 11² + 12² = 13² + 14²也同樣成立。這種關係並不是巧合。
事實上，它們是唯一滿足等式a² + b² = c²的連續整數。但是，如果你允許在這個等式囊括更多數字，或許就可以有其它連續整數能滿足更復雜的等式，比如a² + b² + c² = d² + e²。而有意思的是，這個等式也只有一個連續整數組解：10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
原因是這樣的。
○ 直角三角形任意兩條直角邊的平方和，總是等於斜邊的平方。但這種關係遠不止一個簡單的等式。
認識畢達哥拉斯定理的最巧妙的方法之一是假設有一個邊長為b的正方形，這個正方形的面積也就是 b²。要使a² + b² = c²成立，並且希望a、b和c是連續的整數，那麼就自然對a和c有會產生極大的限制。
這意味著c必須等於（b + 1），而a必須等於（b - 1），我們可以運用一點代數知識來求解這個等式。
因此，b必須等於0（這就沒有意義了）或4，其中4就是我們之前看到的畢達哥拉斯等式，也就是3² + 4² = 5²的情況。
○ 圖上方的一個邊長為b的正方形（藍色）可以分成四塊。如果沿著邊長為（b-1）的正方形（黃色）的邊正確地堆疊它們，則可以得到邊長為（b+1）的正方形（綠色），這是理解畢達哥拉斯定理的另一種方法。
但我們也可以用圖形來解決這個問題。如果從一個邊長為b的正方形開始，把它分成寬為1、長為b的細長條。然後把這些細長條圍在一個小一點的正方形 [也就是邊長是(b - 1)的正方形]四周 ，從而得到一個更大的正方形[也就是邊長是(b + 1)的正方形]。因為正方形有4條邊，因此唯一做到這一點方法是，你得有4個長條，每邊加上一條。
上圖清楚地顯示瞭如何完成它：
- 把中間的正方形分成b塊，每塊的寬是1，
- 把這些細塊放在更小的正方形 [這個正方形的邊長是a，即(b - 1)]周圍，
- 最後得到一個更大的正方形[這個正方形的邊長是c，即(b + 1)]。
○ 邊長為3、4、5的直角三角形，是滿足畢達哥拉斯定理的第一組整數，也是滿足該等式的唯一一組連續整數。
這是唯一能讓等式a² + b² = c²成立的連續整數解。如果把那個中等大小的正方形變得更大或更小，都無法得到正確的條數圍在較小的正方形周圍。對於a² + b² = c²來說，只有3、4和5的這組連續整數能讓等式成立。
但是，為什麼只侷限在三個數字呢？對於任何奇數個連續整數，都可能找到滿足這種關係的連續整數，比如：
等等等等。
○ 等式10² + 11² + 12² = 13² + 14²的兩邊都等於365。在這幅1895年的畫作中，它被用另一種形式——心算——流傳了下來。| 圖片來源：NIKOLAY BOGDANOV-BELSKY
事實上，如果考慮第二種等式，也就是a² + b² + c² = d² + e²，你會發現也只有一種連續整數組合能使等式成立：10² + 11² + 12² = 13² + 14²。等式左邊的100 + 121 + 144相加等於365，右邊的169 + 196相加也等於365。
用代數方法可以求解這類等式，但花的時間可能會有點多。解到最後你會發現中間的數字c必須是12（或0），因此完整的等式是10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
但如果用之前的那種圖形方法，你會發現還可以用一種直觀的方法找到答案。
○ 同樣，如果我們想解構一個正方形，並用它把兩個較小的正方形變成兩個較大的正方形，我們需要4個單位來調整一個正方形，需要8個單位來調整另一個正方形。這意味著一個邊長12的正方形，可以分別將邊長為11和10的正方形，變成邊長為13和14的正方形。
和之前一樣，我們取中間的正方形（它的邊長是c），並將其分成寬是1、長是c的細長條。不過，與第一次不同的是，這次我們還有另外兩個正方形，我們需要用這些細長條來把這兩個正方形變得更大：
- 把一個較小的正方形[邊長是(c - 1)] 變成一個較大的正方形 [邊長都是(c + 1)]，
- 把一個更小的正方形 [邊長是(c - 2)] 變成一個更大的正方形[邊長都是(c + 2)]。
就像上次一樣，為了完成第一個正方形，我們總共需要4個寬度為1的細長條；但要實現第二個正方形，就還需要4條寬度為2的細長條。
○ 如果我們想用一個邊長為c的正方形將兩個較小的正方形 [邊長分別為（c-1）和（c-2）] 變成兩個較大的正方形 [邊長分別為（c+1）和（c+2）]，我們需要c=12才能實現。
也就是說，只有當中間正方形的邊長是12時，等式才成立，這就是為什麼我們會得到等式10² + 11² + 12² = 13² + 14²。如果這是一個邊長為12的正方形，它可以被分成12個長條，你取其中4條（4 × 12 = 48），將11²變成13²（121+48=169）。類似地，還可以用8條長條（8 × 12 = 96），並將10²轉換為14²（100 + 96 = 196）。這也就是a² + b² + c² = d² + e²的唯一連續整數解。
從這裡開始，你可能隱約發現了一種規律，從數學的角度來看，這種規律很有趣。如果下一步我們找到包含了更多數字的等式的解是什麼，我們就可以更清楚地看到這一點。
換言之，我們要如何找到a² + b² + c² + d² = e² + f² + g²的解？
○ 取4個連續整數的平方和，讓它們等於接下來的3個整數的平方和，這是第三個可以寫下來代表畢達哥拉斯遊程的可能等式。
現在，我們還是要採用類似的方法，把三個較小的正方形變成更大的正方形：
- 將邊長為（d - 1）的正方形變成邊長為（d + 1）的正方形，需要4個單位長度，
- 將邊長為（d - 2）的正方形變成邊長為（d + 2）的正方形，需要8個單位長度，
- 將邊長為（d - 3）的正方形變成邊長為（d + 3）的正方形，需要12個單位長度。
如果中間的正方形恰好是邊長為4 + 8 + 12 = 24，就可以給這個等式提供可能的解，也就是 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² +27²。我們可以通過計算來驗證一下，441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，等式兩邊都等於2030，也就是等式成立。
○ 這幅圖代表第三個畢達哥拉斯遊程，說明了為什麼24是中間正方形邊長的關鍵數字，它是等式a² + b² + c² + d² = e² + f² + g²的解。
在數學中，這類數列有一個特殊的名字，叫畢達哥拉斯遊程（Pythagorean Runs），它可以追溯到畢達哥拉斯定理及其原始解3² + 4² = 5²。這些數列中的中間數按4、12、24、40、60、84、112……依此出現，可以一直排到無窮大。所以如果你想知道接下來的滿足這類等式的數列是什麼，你會得到：
這看似瘋狂的數學巧合，其實有著深刻而直接的解釋。
一年（非閏年）中有365天，10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365。但上述數學事實與這一曆法完全沒有關係，也與地球的自轉和繞太陽的公轉沒有關係。這種數學關係是畢達哥拉斯幾何的直接結果，它比單純的代數更直觀，一年的天數反而在這裡純粹是個巧合。
畢達哥拉斯只從a² + b² = c²開始，它有3、4、5的唯一一組連續整數解。但是，我們可以任意擴展它，對於每一個可以寫下的奇數項的等式，都只有一組連續整數的唯一解。這些畢達哥拉斯遊程受一類精巧的數學結構來控制，通過了解平方是如何運作的，我們也可以理解為什麼它們不可能以其他方式變化。
撰文：Ethan Siegel（天體物理學家，作者，科學傳播工作者，在多所大學教授物理與天文學。）
原文標題“This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level”，於2020年3月6日發表於Forbes，原文鏈接：https://www.forbes.com/sites/startswithabang/2020/03/06/the-bizarre-math-of-why-10%C2%B2-11%C2%B2-12%C2%B2-13%C2%B2-14%C2%B2/#5b8b801d3953。文章經作者授權翻譯，中文僅供參考，一切以原文內容為準。
來源：原理
