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廣義相對論如何解釋水星近日的"異常"進動
> Figure by vchal/Shutterstock.com
英國理論物理學家保羅·狄拉克（Paul Dirac，1902–1984年）量子力學的奠基人之一，曾寫道：
"在牛頓萬有引力理論與力的瞬時傳播與狹義相對論的要求之間難以協調，而愛因斯坦在這一難題上的工作導致了他的相對論的普遍化-這可能是有史以來最偉大的科學發現。"
廣義相對論是公認的非凡之美理論。 多年來的幾次測試證實了該理論的一致性。 我將描述其中一種測試，該測試正確地解釋了水星近日點的"異常"進動（請參閱鏈接），牛頓的引力理論未能預測這一點。
> Figure 1: The figure shows the perihelion precession of Mercury (source).
牛頓理論的問題
近日點的進動（或自轉）（行星軌道上最靠近太陽的點）有多種原因。 其中兩個是：
· 其他行星的存在導致彼此軌道的擾動，這是主要原因
· 太陽的扁圓度（見圖）遠沒有那麼重要
> Figure 2: The figure shows a sphere of radius compressed to an oblate ellipsoid (source).
水星旋進的近日點率與牛頓引力理論的預測不一致。 法國天文學家和數學家Urbain Le Verrier注意到了這種異常。 西蒙·紐科姆（Simon Newcomb）在1882年進行的最終測量估計，實際進動率與牛頓的預測相差43度。 提出了許多臨時解決方案，但沒有一個起作用。
正如下一節將要討論的，在廣義相對論中，這種額外的進動由愛因斯坦的廣義相對論完全解釋。 對於後者的修訂，請查看下面的文章。
使用廣義相對論計算汞的近日點進動
Schwarzschild解是愛因斯坦場方程的解，該場方程描述了圍繞太陽的真空時空的幾何形狀。 換句話說，Schwarzschild度量是由太陽產生的時空曲率引起的太陽系度量。 在以下情況下有效：
· 將太陽視為不可旋轉的對象
· 忽略源自太陽系其他行星的引力場。
Schwarzschild解決方案具有以下線條元素：
> Equation 1: The line element of the Schwarzschild solution which describes the geometry of the vac
參數R = 2M被稱為Schwarzschild半徑。 座標r，θ和φ是球形座標，如圖3所示。
> Figure 3: Spherical coordinates (source).
請注意，根據度量的各向同性，我們始終具有θ=π/ 2（軌道限於赤道位置）。 實際上，根據兩體問題（在我們的例子中，身體是太陽和行星），受中心力作用的物體的運動將始終處於平面內。 無花果 圖4和圖5示出了兩種類型的軌道雙體系統。 限制在平面上的運動在牛頓和愛因斯坦引力理論中都是有效的。 因此，在我們的分析中，僅考慮該平面中的測地線就足夠了。
> Figure 4: Two bodies with the same mass orbiting a common barycenter external to both bodies (whic
> Figure 5: Two bodies with different masses orbiting a common barycenter (source).
> Figure 6: The German physicist and astronomer Karl Schwarzschild (source)
給定時空中的對稱性與在其中移動的粒子和光子的守恆量有關。 由於Schwarzschild解的度量g既是時間無關的（或時間平移不變的）又是球對稱的，因此，大質量粒子的能量和光子的能量都是守恆的。 從數學上我們可以看到如下。
在度量為g的時空中，自由落體的材料粒子或光子服從與該時空相關聯的測地線方程（"直線"到彎曲時空的一般化），其表示為（請參見Schutz）：
> Equation 2: The geodesic equation, obeyed by freely falling material particles or photons.
注意，由於還將考慮光子，因此參數λ不能為適當的時間τ。 測地線方程也可以寫成：
> Equation 3: The geodesic equation, written in an alternative form.
現在注意：
> Equation 4: Constant components of the metric in time and in the coordinate ϕ.
等式 3和4暗示：
> Equation 5: Constants of motion on the geodesic.
然後，我們進行以下定義：
> Equation 6: The energy per unit mass of a massive particle and the energy of the photon.
使用大質量粒子能量上方的〜（請參閱Schutz）表示該能量是每質量單位。 同樣，由於φg的獨立性，角動量得以保留。 我們定義：
> Equation 7: The angular momentum per unit mass for a massive particle and the angular momentum for
其中左邊的項是質量粒子的每單位質量的角動量，右邊的項是光子的角動量。 現在，我們需要軌道方程。 質點動量的三個組成部分是：
> Equation 8: The three momentum components of the massive particle.
光子的動量為：
> Equation 9: The three components of the momentum of the photon.
現在，我們使用剛剛導出的動量分量，將它們代入方程| p | =-m²中，以代替粒子和光子，並求解dr /dλ。 然後，dr /dλ的方程式為：
> Equation 10: The equations for dr/dλ squared.
現在，直覺告訴我們使用有效勢重寫這些方程，即：
> Equation 11: The definitions of the effective potentials for the massive particle and the photon.
在圖7中繪製了電勢。請注意，由於兩個方程的左側均為正，因此有效電勢必須小於能量。 圖7顯示了大塊和無塊粒子的有效電勢（請注意，圖7中的E和V表示波浪號〜處的量相同）。 該圖還指示了轉角，其中dr /dλ= 0，禁止區域（E 
> Figure 7: Effective potentials for massive and massless particles (photons). The figure indicates
水星周旋
從現在開始，讓我們僅考慮大型物體的運動，因為我們的目標是計算水星近日點的進動。
穩定的圓形軌道以最小的有效電位出現。 令M為太陽的質量。 微分有效電位，將結果設置為零，並求解r，我們獲得穩定圓形軌道的半徑：
> Equation 12: Radius of the stable circular orbit of a massive particle oscillating around the Sun.
在牛頓力學中，行星在圓形軌道上的完整軌道返回其初始φ。 現在使用圓軌道具有E²=V²的事實，並使用到現在為止得出的表達式，我們得出行星具有Δφ=2π的時間，即週期P：
> Equation 13: Newtonian result for the period of a planet rotating around the Sun.
> Figure 8: The figure shows the difference between the orbits of a test particle following Newton's
現在，相對論而言，旋轉的行星不會回到其初始點。 如果相對論效應很小，我們應該有一個橢圓繞其中心緩慢旋轉。 我們可以做的（請參閱Schutz）是檢查軌道近日點的運動。 為此，我們執行三個快速計算（請參閱Schutz）：
· 根據角動量推導dφ/dλ的表達式
· dt /dλ的每單位質量能量的推導表達式
· 定義新變量u≡1 / r
用等式代替它們。 10我們得到：
> Equation 14: Relativistic expression for du/dφ.
現在，我們定義y，即圓度偏差，如下所示：
> Equation 15: Definition of the variable y, the deviation for circularity.
對於牛頓軌道，y = 0。 為了獲得相對論的表達，我們用等式代替。 15入式 14並丟棄y³的項。 對於近似圓形的軌道，我們得到以下方程式：
> Equation 16: Relativistic expression for dy/dφ.
該解決方案顯示為：
> Equation 17: Solution y(φ) of Eq. 16.
B取決於初始條件。 根據餘弦的論點，我們得出結論，當Δ（kφ）=2π時，軌道返回相同的半徑。 k不同於1的存在是它與牛頓結果的不同之處！ 如果相對論效應很小，我們可以做一些其他簡單的近似來獲得：
> Equation 18: The perihelion advance from consecutive orbits.
具體來說，對於水星來說，每年可獲得0.43英寸的偏移量，如本文開頭所述，這是通過實驗確定的值。
似乎甚至愛因斯坦也被結果震驚了。 找到計算結果後，他無法工作幾天。 用他自己的話說，他變得"高興地站在自己身邊"。
(本文翻譯自Marco Tavora的文章《Einstein, and the Most Beautiful of All Theories》，參考：
https://towardsdatascience.com/einstein-and-the-most-beautiful-of-all-theories-f4ad4ce7a0a2)
