一个大商人的孩子，一个兴趣广泛的学生，一个热衷参加学生民主活动的人，一个需要继承和管理田庄和银行遗产的人，是如何做到在数学上又非常有建树的呢？除了说天才之外，还有什么理由可以解释呢？他就是本文的主角--德国数学家（最近一直在讲德国数学家。诚然，德国的数学自高斯之后，出现了井喷式的发展。整个19世纪的数学，可以说是德国的世纪，他们在数学的开创性上一点都不输于17、18世纪的英法两国）--克罗内克。
利奥波德·克罗内克
利奥波德·克罗内克于1823年出生在普鲁士的利格尼茨（现属波兰的莱格尼察，科普君在讲到德国数学家的时候，经常会出现他们的出生地原属地和现属地，这是几次战争的结果，特别是二战），他是一个犹太人。他的父亲拥有一家生意兴旺的商店，还受过十分良好的教育。克罗内克的启蒙教育就是在他父亲的要求下，跟一个私人教师学习开始的。克罗内克还有一个比他小17岁的弟弟胡戈，后来胡戈的教育培养则是由克罗内克完成的，这也说明了后来克罗内克对自己的学生为什么那么有耐心了。克罗内克后来进入大学预科，这时候他开始接触神学和哲学。另外，他的一个老师--我们之前讲过的，德国数学家--库默尔也给了他非常大的影响。克罗内克在校的成绩一贯是优秀的，他轻松掌握了希腊和拉丁古典文学，并在库默尔的指导之下，他的数学天赋也被激发了出来。另外，他对钢琴、歌唱、绘画、雕塑和希伯来语都非常有兴趣，并且极其擅长。他在晚年的时候，他的住所经常是音乐家的聚会场所，其中就包括门德尔松。
库默尔
克罗内克在18岁的时候进入了柏林大学，开始专门注重数学的学习。这时候的柏林大学大师如云，有狄利克雷、雅克比、施泰纳和艾森斯坦等人。其中狄利克雷和雅克比对克罗内克的影响非常大，狄利克雷对分析学在数论上的应用深深影响了克罗内克，使得他后来的著作中都有他的影子，而雅克比让克罗内克爱上了椭圆函数，后来克罗内克在椭圆函数领域的独创性的辉煌成就都来自于那段时间。然而克罗内克在大学时期并不只是学习数学，他还爱好哲学，深入研究了黑格尔的哲学体系，他还经常参加大学的学生民主活动。总之，克罗内克的大学生涯是十分丰富多彩的。
狄利克雷
1845年，克罗内克提交了他的博士论文《论复单位元》，在这篇论文中，他论述了关于代数数域中的单位元素问题。代数数理论的中心问题是研究在n次代数数域中代数整数的算术可除性规律。要使这个问题明确，就必须要严格定义"算术可除性"。克罗内克在论文中着手解决某些特殊的域中的单位元素理论，这些域是从高斯问题的代数表示产生的方程定义的，高斯问题是一个将圆周分成n等分或者构造一个正n变形的问题。而这些都是从费马大定理出发的，问题充满了陷阱，比如我们在库默尔那一章中就说到过柯西曾经就掉到了陷阱里，库默尔也差点掉进去。这个问题的难点在于：这里是一种有关域中的整数，但这些整数并不遵循算术基本定理。如何让它们遵循规律，就必须要发明一种适合这种情形的数--就是库默尔发明的理想数--从而自动重建算术基本定律。这个发明与非欧几何被称为19世纪最突出的数学成就之一。克罗内克因为这篇论文而获得了博士学位。
但是之后，他并没有像很多数学家一样开始了教学生涯，而是回到自己家去继承了遗产，他的舅舅是个银行家，还掌管了很大的农场，他的舅舅去世以后，克罗内克接管了这一切。他用了8年时间把这些事业做得非常成功，他甚至还精通了农业。在这8年中，他并没有进行任何的数学研究。或许1853年的时候，他发表的一篇关于方程的代数解的重要论文说明了他在这8年间在数学上并没有停滞不前，他也经常和他的老师库默尔保持通信联系。
克罗内克关于方程的代数解的论文发表后，他终于摆脱了具体业务对他的束缚，开始从事伽罗瓦理论的研究。他又花了几年的时间寻找一般五次方程为什么可以用埃尔米特利用椭圆函数给出的解答这种方法来求解，这就要比阿贝尔的研究更进一步了，因为阿贝尔只是解决了"用格式"的可解性问题。克罗内克喜欢用算术来解决问题，他甚至希望把全部数学从代数到分析都实现算术化。他说"上帝造了整数，其他的数都是人造的"，他要用算术来代替分析，这是他与维尔斯特拉斯分歧的根源。维尔斯特拉斯是个高大魁梧的壮汉，而克罗内克则不到5英尺高，两人经常在一起争锋相对，场面极度戏剧化。另外，克罗内克还是康托尔集合论的极力反对者。
克罗内克最主要的功绩在于努力统一数论、代数学和分析学的研究。他循着阿贝尔的工作研究代数方程，用椭圆模函数解出一般五次方程；发现有理数域的任一阿贝尔扩张一定是一分圆域的子域，并提出著名猜想（即克罗内克的青春之梦）：椭圆函数具有复数乘法的模方程与虚二次域的阿贝尔扩张有类似性。他创立了有理函数域论，引进在域上添加代数量生成扩域的概念和"模系"（相当于现代的"理想"）概念，实际上证明了有理系数多项式环，因而使代数数的理论独立于代数基本定理。他还提出研究代数曲线的重要方法。
克罗内克积
閱讀更多 吉林省科技館 的文章
