最近黎曼猜想辣麼火，可黎曼的論文裡到底說了啥？

終於到了 Riemann 的論文登場的時候！ 如果讓數學家們來評選幾篇數學史上意義深遠而又最為難啃的論文的話， 那麼我想 Riemann 1859 年的那篇 “論小於給定數值的素數個數” 就算不名列榜首， 起碼也要躋身三甲。 現在就讓我們一起來領略一下那篇數學史上出名難啃的論文的主要內容。

我們的敘述將採用較為現代的術語及表述方式， 所用的記號將與前文保持一致——因此與 Riemann 的原始論文不盡相同 (但主要思路是一致的)， 這一點要提醒有興趣閱讀 Riemann 原文的讀者注意。

如我們在上節中所述， Euler 乘積公式：

ζ(s) ≡ Σ_n n^-s = Π_p(1-p^-s)^-1

是研究素數分佈規律的基礎。 Riemann 的研究也是以這一公式作為起點的。 為了消除這一公式右邊的連乘積， Euler 曾經對公式的兩邊取對數， Riemann 也如法泡製 (看來連乘積真是一個人人慾除之而後快的東西)， 從而得到：

lnζ(s) = -Σ_p ln(1 - p^-s) = Σ_pΣ_n [(1/n) p^-ns]

但過了這一步， 兩人就分道揚鑣了： Euler——如我們 上節 中所見——在小試身手， 證明了素數有無窮多個後就鳴金收兵了； 而 Riemann 則沿著一條佈滿荊棘的道路繼續走了下去， 走出了素數研究的一片嶄新的天地。

可以證明， 上面給出的 lnζ(s) 的表達式右邊的雙重求和在複平面上 Re(s)>1 的區域內是絕對收斂的， 並且可以改寫成 Stieltjes 積分 (有興趣的讀者可自行證明)：

其中 J(x) 是一個特殊的階梯函數， 它在 x=0 處取值為零， 以後每越過一個素數就增加 1， 每越過一個素數的平方就增加 1/2， ... ， 每越過一個素數的 n 次方就增加 1/n，...。 而在 J(x) 不連續的點 (即 x 等於素數、 素數的平方、... 、素數的 n 次方 ... 的點) 上， 其函數值則用 J(x)=(1/2)[J(x

J(x) = Σ_n [(1/n)π(x^1/n)]

對上述 Stieltjes 積分進行一次分部積分便可得到：

這個公式的左邊是 Riemann ζ 函數的自然對數， 右邊則是對 J(x)——一個與素數分佈函數 π(x) 有直接關係的函數——的積分， 它可以被視為 Euler 乘積公式的積分形式。 我們得到這一結果的方法與 Riemann 有所不同， Riemann 發表論文時還沒有 Stieltjes 積分——那時候荷蘭數學家 Thomas Stieltjes (1856-1894) 才三歲。

（Thomas Stieltjes。圖片來自網絡）

如果說傳統形式下的 Euler 乘積公式只是 Riemann ζ 函數與素數分佈之間存在關聯的朦朧徵兆， 那麼在上述積分形式的 Euler 乘積公式下， 這兩者間的關聯就已是確鑿無疑並且完全定量的了。 接下來首先要做的顯然是從上述積分中解出 J(x) 來， 這在當時的數學背景下並不容易， 但卻難不倒像 Riemann 這樣的複變函數論大師。 他解出的 J(x) 是 (學過複變函數論的讀者不妨試著證明一下)：

其中 a 為大於 1 的實數。 上面這個積分是一個條件收斂的積分， 它的確切定義是從 a-ib 積分到 a+ib (b 為正實數)， 然後取 b→∞ 的極限。 當 Riemann 寫下這個公式時， 只是輕描淡寫地提了一句： 這是完全普遍的。 聽上去像是在敘述一個盡人皆知的簡單事實。 而事實上， 與 Riemann 所說的普遍性相匹配的完整結果直到四十年後才由芬蘭數學家 Robert Mellin (1854-1933) 所發表， 現在被稱為 Mellin 變換 (Mellin transform)。

像這樣一種被 Riemann 隨手寫下、 卻讓數學界花費幾十甚至上百年的時間才能證明的命題在 Riemann 那篇論文中還有好幾處。 這是 Riemann 那篇論文的一個極為突出的特點： 它有一種高屋建瓴的宏偉視野， 遠遠超越了同時代的

直到今天， 我們的數學在整體上雖已遠非 Riemann 時代可比， 但數學家們仍未能完全理解 Riemann 在那篇短短八頁的簡短論文中省略掉的證明及顯露出的智慧。 J(x) 的表達式是我們碰到的 Riemann 那篇論文中的結果超前於時代的第一個例子， 在下一節中我們將遇到其它例子。

在一代代的後世數學家們為那些被 Riemann 省略掉的證明而失眠的時候， 他們中的一些也許會聯想到 Pierre de Fermat (1601-1665)。 這位法國數學家在古希臘數學家 Diophantus (200?-284?) 的《算術》(Arithmetica) 一書的頁邊上寫下著名的 Fermat 猜想 (Fermat's conjecture) 的時候， 隨手加了一句話： “我發現了一個真正出色的證明， 可惜頁邊太窄寫不下來”。

令人尷尬的是， Fermat 猜想自 1670 年被他兒子公諸於世 (那時他本人已經去世) 以來， 竟然難倒了整個數學界長達三百二十四年之久， 直到 1994 年才被英國數學家 Andrew Wiles (1953-) 所證明。 但 Wiles 的證明篇幅浩繁， 莫說在《算術》一書的頁邊上寫不下來， 即便把整套《大英百科全書》(Encyclopædia Britannica) 的頁邊加起來， 也未必寫得下來。

現在人們普遍認為， Fermat 並沒有找到 Fermat 猜想的證明， 他自以為找到的那個 “真正出色的證明” 只是三百多年間無數個錯誤證明中的一個。 那麼 Riemann 的情形會不會也像 Fermat 一樣呢？ 他那些省略掉的證明會不會也像 Fermat 的那個 “真正出色的證明” 一樣呢？ 從目前人們對 Riemann 的研究來看， 答案基本上是否定的。 Riemann 作為堪與 Gauss 齊名的有史以來最偉大的數學家之一， 他的水平遠非以律師為主業的 “票友” 型數學家 Fermat 可比。 而且人們在對 Riemann 的部分手稿進行研究時發現， Riemann 對自己論文中的許多語焉不詳的命題是做過紮實的演算和證明的， 只不過他和 Gauss 一樣追求完美， 發表的東西遠遠少於自己研究過的。

更令人欽佩的是， Riemann 手稿中的一些演算和證明哪怕是時隔了幾十年之後才被整理出來， 也往往還是大大超越當時數學界的水平。 因此我們有較強的理由相信， Riemann 在論文中以陳述而不是猜測的語氣所表述的內容——無論有沒有給出證明——都是有著深入的演算和證明背景的。

好了， 現在回到 J(x) 的表達式來， 這個表達式給出了 J(x) 與 Riemann ζ 函數之間的確切關聯。 換句話說， 只要知道了 ζ(s)， 通過這個表達式原則上就可以計算出 J(x)。 知道了 J(x)， 下一步顯然就是計算 π(x)。 這並不困難， 因為上面提到的 J(x) 與 π(x) 之間的關係式可以通過所謂的 Möbius 反演 (Möbius inversion) 來反解出 π(x) 與 J(x) 的關係式， 其結果為：

π(x) = Σ_n [μ(n)/n] J(x^1/n)

這裡的 μ(n) 被稱為 Möbius 函數 (Möbius function)， 它的取值如下：

• μ(1) = 1
• μ(n) = 0 (如果 n 可以被任一素數的平方整除)
• μ(n) = -1 (如果 n 是奇數個不同素數的乘積)
• μ(n) = 1 (如果 n 是偶數個不同素數的乘積)

因此知道了 J(x) 就可以計算出 π(x)， 即素數的分佈函數。 把這些步驟連接在一起， 我們看到， 從 ζ(x) 到 J(x)， 再從 J(x) 到 π(x)， 素數分佈的秘密完全定量地蘊涵在了 Riemann ζ 函數之中。 這就是 Riemann 研究素數分佈的基本思路。 在 下一節 中， 我們將進一步深入 Riemann 的論文， 讓那些千呼萬喚猶未露面的 Riemann ζ 函數的非平凡零點顯露在我們的鎂光燈下。

（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）

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