Lecon00
e^iπ + 1 = 0
作為歐拉公式的一個特例，五個最重要的數學常數：0，1，i，π，e，被連接成一個等式。乍一看很神奇，但其實很必然：假如這5個數不能連成等式，也一定會出現第6第7個常數能把大家連起來。
其實這幾個數本身的來歷很簡單，按時間順序簡要說下：
1，最先被人類認知，代表人類可以從“一匹馬，一個蘋果”中把數量的概念抽象出來。
0，據說是印度人最先明確引入，是數域的第一次擴張，也是人類抽象能力的一次提升。
π，人類第一次對圓周率進行系統而科學的計算始於公元前二世紀的阿基米德，他提出了用內接正多邊形和外切正多邊形的周長雙向逼近的極為嚴謹的方法，計算出π≈3.1416。四百多年後中國三國時期曹魏的大數學家劉徽也提出了用內接多邊形單向逼近的方法（祖沖之沿用了劉徽的方法）。
π 還有一個影響深遠的問題，就是古希臘三大尺規作圖問題之一的化圓為方，兩千年無人能解，19世紀初伽羅華創建抽象代數理論並完美指出所有尺規作圖問題可解的問題等價於整數對+-*/和√的擴張域，所以化圓為方問題等價於π是否在該擴張域內。幾十年後林德曼證明了π是超越數（非代數數），而上述擴張域顯然是代數數域的子集，所以化圓為方必然無解。
i，√-1 的出現是必然的，是數域擴張的必然結果。早在9世紀波斯數學家花剌子米的“代數學”一書裡討論一元二次方程求解的判別式時已經涉及到了負數開平方的問題。文藝復興時期卡丹和他學生兼女婿法拉利（不是造車的那個）研究三次和四次方程求解時已經引進了這個概念，卡丹稱其為“詭辯量”，說自己“對此既感到費解，又能心安理得的使用它”。i就是imaginary number（想象中的數，即虛數）的首字母，也是歐拉大神拍板定案的。
e，出現的最晚，關於起源有多種說法，不再贅述，對e貢獻最大的就是歐拉。e 在數學裡最特殊和有價值的一點就是e^x是導數運算的特徵函數（導數=原函數），e的性質是上述常數里最多的，沒法展開說，以下略去十萬字…
e^iπ + 1 = 0 其實是以下歐拉公式的一個特例：
e^ix = cosx + i*sinx
這就是複數的歐拉表示法，這個公式極為重要，在絕大多數場合下，這比複數用a+i*b的向量表示要好用無窮倍，比如傅里葉變換和拉普拉斯變換。
請務必清楚：這個公式並非歐拉拍腦袋定義出來的，而是必然的，可推導的！不理解這點，大學數學就等於白學了。
下面給出兩個非常簡單的證明（限於篇幅，略掉每個步驟繁瑣的嚴謹性證明細節）：
方法一，從右往左推：
令x=ny，則
cos x + i*sin x
= cos(ny) + i*sin(ny)
= （cos y + i*sin y）^n
令n趨於∞，則y趨於0，於是：
cos y 趨於1，sin y趨於y，則上式趨於：
（1 + iy）^n
=（1 + ix/n）^n
=（1 + kδ）^n，其中k=ix，δ=1/n趨於0。
根據二項式定理，δ趨於0時有：
(1+δ)^k趨於1+kδ，所以上式趨於：
（1 + δ）^kn
=（1 + 1/n）^ixn
=（(1 + 1/n)^n）^ix
= e^ix
證畢。
方法二，從左往右推：
若e^ix為複數，令其= C(x) + i*S(x)
其中C和S是兩個關於x的實函數。
兩邊求導有：
（e^ix）'
= i*e^ix
= i*C(x) - S(x)
= C'(x) + i*S'(x)
於是有：C'=-S，S'=C，構成一次微分方程組。
同時代入初值x=0，有：
e^i*0 = 1，即：C(0)=1，S(0)=0。
於是上述微分方程組有唯一解。
而顯然C=cos，S=sin是該微分方程組的解。
所以只要e^ix能表示為複數，就只能表示為：
e^ix = cosx + i*sinx
我個人碰到過一個很有趣的小遊戲，用到了歐拉公式：
一個大學同學出了一道24點遊戲的高階問題。
24點的基礎版本是用四個1-13（撲克牌A-K）的數通過加減乘除算出24。
該同學出的高階問題是隻使用兩個1，可以引進其它算符，但不許包含任何數字或字母（因此所有三角函數和對數被禁用），算24。
這題有多解，其中最漂亮的解答是同學自帶的：
[（√-1）^ (-√-1)]！
= [i^-i]！
= [（e^iπ/2）^-i ]！
= [ e^(π/2) ]！
= [4.8…]！
= 4！
= 24
帖木兒
歐拉絕對是數學界的大神，以歐拉名字命名的公式有好多，下面的這個就很有名。
這個公式將數學中最重要的五個數1、0、i、π、e聯繫起來。
其實這只是一個特例，更一般的公式如下
e是自然對數的底，i是虛數單位。它將指數函數的定義域擴大到複數， 建立了三角函數和指數函數的關係，它不僅出現在數學分析裡，而且在複變函數論裡也佔有非常重要的地位，更被譽為“數學中的天橋”。 令x=π，就可得到開頭的那個著名的公式
1、0、i、π、e被稱為數學中的五虎將，下面我給大家簡單講一下這幾個數。
1和0
1和0代表算術。
古語講“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，可見1的重要性，可以是數學大廈的一個最初的根基。後來人們認識到，0也相當重要，不僅僅表示沒有，還表示佔位的作用，如果沒有“零”這個概念及數字，最基本的四則運算往往就會相當困難。在溫度中0℃表示冰水混合物的溫度，這是一個實實在在的溫度，而且很冷。說一個人矮，就說這個人海拔低，海平面的高度我們記做0，然而還有比海平面要低的地方，如位於北太平洋西部馬里亞海溝海拔是-11034米。
虛數單位i
i代表代數
16世紀意大利米蘭學者卡爾達諾提出了一個問題“否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等於40時”。
用現在的觀點來講，對於高中生，這個問題是可解的。
他當時得到了同樣的結果，只是沒用虛數（imaginary number）符號i表示出來。
儘管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分。最早給出“虛數”這一概念的是法國數學家笛卡爾，他在1637年發表的《幾何學》中使“虛的數”與“實的數”相對應。
現在大家都知道了，複數可以和複平面上的點一一對應起來，複數也是有意義的。
圓周率π
π代表幾何
關於圓周率π大家應該很熟悉了。古人很早就認識到圓的周長是直徑的三倍多一點。我國古代數學家劉徽、祖沖之在圓周率的計算方面做出了重大的貢獻。古希臘數學家更側重於幾何，他們提出了尺規作圖的三大問題，其中就有一個化圓為方問題。
1761年，瑞士科學家約翰·海因裡希·蘭伯特證明了π是個無理數。 1882年，林德曼證明了π是超越數，即π不可能是任何整係數多項式的根。圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因為所有尺規作圖只能得出代數數。
自然對數底e
e代表數學分析
e其實是一個極限，這個我們可以這麼理解。
某人將1元錢存入銀行，利率為100%，1年後取出連本帶利可以得2元。
假如存半年取出，加上利息再轉存，1年後連本帶利得到（1+1/2）（1+1/2）=2.25
假如每季度一結算，加上利息再轉存，一年後連本帶利得到（1+1/4）^4=2.441406
假如每月一結算，加上利息再轉存，一年後連本帶利得到（1+1/12）^12=2.613035
假如每天一結算，加上利息再轉存，一年後連本帶利得到（1+1/365）^365=2.714567
上面我是用excel裡的power公式計算的。
假如每個瞬間都支付利息，一年後的本息和為e近似值約 2.71828。
因為以e為底的函數求導特別簡便，所以在科研中人們往往使用自然對數而不是常用對數。
多元視角
悟空真看得起我，我現在也就是會個加減乘除了
bayigang
嚴格意義來說是三個數，0和1是湊的。這個結果可以由泰勒級數展開得到。
