蘇科版數學九年級下冊知識點梳理
第六章 二次函數
1、定義：一般地，如果
是常數，
，那麼
叫做
的二次函數。自變量的取值範圍是全體實數。
2、二次函數
的性質：
（1）拋物線
的頂點是座標原點，對稱軸是
軸；
（2）函數
的圖像與
的符號關係：
①當
時
拋物線開口向上
頂點為其最低點；
②當
時
拋物線開口向下
頂點為其最高點。
（3）頂點是座標原點，對稱軸是
軸的拋物線的解析式形式為
。
3、二次函數
的圖像是對稱軸平行於（包括重合）
軸的拋物線。
4、二次函數
用配方法可化成：
的形式，
其中
。
5、二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：
①
；②
；③
；④
；⑤
。
6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。
①
的符號決定拋物線的開口方向：當
時，開口向上；當
時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同。
②平行於
軸（或重合）的直線記作
.特別地，
軸記作直線
。
7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數，如果二次項係數
相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。
8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：
，∴頂點是
，對稱軸是直線
。（P26-9）
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為
的形式，得到頂點為(
,
)，對稱軸是直線
。
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。
注意：用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失。
題11：拋物線y＝x2＋6x＋4的頂點座標是( )
A．(3，-5)B．(-3，-5) C．(3，5) D．(-3，5)
9、拋物線
中，
的作用
（1）
決定開口方向及開口大小，這與
中的
完全一樣。
（2）
和
共同決定拋物線對稱軸的位置。由於拋物線
的對稱軸是直線。
，故：①
時，對稱軸為
軸；②
（即
、
同號時，對稱軸在
軸左側；③
（即
、
異號）時，對稱軸在
軸右側。
（3）
的大小決定拋物線
與
軸交點的位置。
當
時，
，∴拋物線
與
軸有且只有一個交點（0，
）：①
，拋物線經過原點； ②
,與
軸交於正半軸；③
,與
軸交於負半軸。
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在
軸右側，則
。
10、幾種特殊的二次函數的圖像特徵如下：
函數解析式
開口方向
對稱軸
頂點座標
當
時
開口向上
當
時
開口向下
（
軸）
（0,0）
（
軸）
(0,
)
(
,0)
(
,
)
(
)
11、用待定係數法求二次函數的解析式（1）一般式：
。已知圖像上三點或三對
、
的值，通常選擇一般式。
（2）頂點式：
.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。
（3）交點式：已知圖像與
軸的交點座標
、
，通常選用交點式：
。
題12：已知關於x的一元二次方程x 2-2(m-1)x＋(m2-1)＝0，有兩個實數根x1、x2，且x12＋x 22＝4．求m的值。
題13：先化簡，再求值：
，其中
＝
題14：在平面直角座標系中，B(
＋1，0)，點A在第一象限內，且∠AOB＝60°，
∠ABO＝45°。
(1)求點A的座標；
(2)求過A、O、B三點的拋物線解析式；
(3)動點P從O點出發，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，①若△POB的面積為S，寫出S與時間t(秒)的函數關係；②是否存在t，使△POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。
12、直線與拋物線的交點（1）
軸與拋物線
得交點為(0,
)。
（2）與
軸平行的直線
與拋物線
有且只有一個交點(
,
)。
（3）拋物線與
軸的交點。
二次函數
的圖像與
軸的兩個交點的橫座標
、
，是對應一元二次方程
的兩個實數根。拋物線與
軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點
拋物線與
軸相交；
②有一個交點（頂點在
軸上）
拋物線與
軸相切；
③沒有交點
拋物線與
軸相離。
（4）平行於
軸的直線與拋物線的交點：
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為
，則橫座標是
的兩個實數根。
（5）一次函數
的圖像
與二次函數
的圖像
的交點，由方程組
的解的數目來確定：
①方程組有兩組不同的解時
與
有兩個交點；
②方程組只有一組解時
與
只有一個交點；
③方程組無解時
與
沒有交點。
（6）拋物線與
軸兩交點之間的距離：
若拋物線
與
軸兩交點為
，由於
、
是方程
的兩個根，故：
第七章 銳角三角函數
1正切：
定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即
;
①tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號裡習慣省去角的符號“∠”；
②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中階段，我們只學習直角三角形中，∠A是銳角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
2正弦：
0º
30 º
45 º
60 º
90 º
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
—
定義：在 Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即
;
3餘弦：
定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的餘弦，記作cosA，即
;
①
；
②
；
4在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。
在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有
(1)三邊之間的關係：a2+b2=c2；
(2)兩銳角的關係：∠A＋∠B=90°；
(3)邊與角之間的關係：
面積公式:
(hc為C邊上的高);
5直角三角形的內切圓半徑
=面積的2倍除以周長
6直角三角形的外接圓半徑
7特殊角的三角函數值如右表所示：
8解直角三角形的幾種基本類型列表如下：
如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即
◎從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。
◎指北或指南方向線與目標方向線所成的小於90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。
第八，九章 統計與概率
在頻率分佈表裡，落在各小組內的數據的個數叫做頻數；
每一小組的頻數與數據總數的比值叫做這一小組的頻率； 即：
在頻率分佈直方圖中，由於各個小長方形的面積等於相應各組的頻率，而各組頻率的和等於1。因此，各個小長方形的面積的和等於1。
※頻率分佈表和頻率分佈直方圖是一組數據的頻率分佈的兩種不同表示形式，前者準確，後者直觀。
用一件事件發生的頻率來估計這一件事件發生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較複雜情況。
※假設布袋內有m個黑球，通過多次試驗，我們可以估計出布袋內隨機摸出一球，它為白球的概率；
※要估算池塘裡有多少條魚，我們可先從池塘裡捉上100條魚做記號，再放回池塘，之後再從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標記的，再設池塘共有x條魚，則可依照
估算出魚的條數。（注意估算出來的數據不是確切的，所以應謂之“約是XX”）
※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現象的數學模型，它能準確地衡量出事件發生的可能性的大小，並不表示一定會發生。
實驗頻率與理論概率的關係只是在實驗次數很多時,實驗頻率接近於理論概念,但實驗次數再多,也很難保證實驗結果與理論值相等,這就是“隨機事件”的特點.
遊戲公平嗎?
1. 遊戲的公平性是指遊戲雙方各有50%贏的機會,或者遊戲多方贏的機會相等.
2. 表示一個事件發生的可能性大小的數叫做該事件的概率.一個事件發生的概率取值在0與1之間.
3. 概率的預測的計算方法:某事件A發生的概率:
4. 用分析的辦法求事件發生的概率要注意關鍵性的兩點:
(1)要弄清楚我們關注的是發生哪個或哪些結果;
(2)要弄清楚所有機會均等的結果.
閱讀更多 精銳教育常州清潭校區 的文章
