證明與自然數n有關的不等式的常規思路是數學歸納法或放縮法，但數學歸納法的證明過程比較繁瑣，而放縮法的技巧性很強，難度較大。如果拋開定勢思維，根據命題的具體結構與特點，構造數列來證明，可使證明過程思路清晰、可操作性強、簡捷明快。本文談談運用構造法證明數列型不等式的幾種思路。
一、直接法
視不等式的左邊為一個整體，直接考查不等式左邊對應的數列的單調性，達到證明的目的。
例1. 證明對於一切大於1的正整數n，有
。
證明：構造數列
。
因為
所以數列
為遞增數列。因為n是大於1的正整數。
所以
，當且僅當
時等號成立。故原不等式成立。
二、作差法
欲證
，可轉證數列
是首項大於0的遞增數列。
例2. 證明對於一切正整數n，有
。
證明：令
。
則
所以數列
是遞增數列。所以
，故原不等式成立。
例3. 已知
且
且
，求證：
。
證明：令
，又
且
0，則
，
所以
在
上單調遞減。所以
，故原不等式成立。
三、作商法
若
，則欲證
，可轉證數列
是首項大於1的遞增數列。
例4. 證明對於一切正整數n，有
。
證明：設
，則
。
即數列
是遞增數列。所以
，故原不等式成立。
例5. 當
時，求證：
。
證明：設
，則
。
。
所以數列
是遞減數列，所以
，故原不等式成立。
例6. 已知i、m、n是正整數，且
，求證：
。
證明：構造數列
，則
。
所以數列
是遞增數列，所以
，故原不等式成立。
四、差分法
對於“
”型不等式，令
，若能證明
，則欲證明的不等式得證。這種思路樸素，可操作性強，對於“和型”不等式，往往行之有效。
例7. 證明對於一切正整數n，有
。
證明：記數列
的前n項的和為
。
當
時，
。
又
。則數列
的每一項大於數列
的相應項，故
大於數列
的前n項和，故原不等式成立。
五、商分法
對於“
”型不等式，令
，若能證明
，則欲證明的不等式得證。
例8. 證明對於一切大於1的正整數n，有
。
證明：原不等式即
。
記數列
的前n項的積為
。則
。
當
時，
，
欲證
，只需證
，即證
，而這是明顯成立的。可見數列
的每一項均小於數列
的相應項，所以
小於數列
的前n項積，故原不等式成立。
例9. （同前例4）
證明：原不等式即
。
記數列
的前n項的積為
。
當
因為
又
可見數列
的每一項均小於數列
的相應項，所以
小於數列
的前n項積。故原不等式成立。
五、變換結論法
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將結論適當變形，使不等式兩邊為“和”型或“積”型結構，然後依此利用“差分法”或“商分法”構造數列，巧妙地解決原問題。
例10. 證明對於一切正整數n，有
。
證明：要證
，即證
，
即證
。
記數列
的前n項的和為
下面只需證明
（*）
當
（*）式成立。
當
時，
。
綜上，原不等式成立。
例11. 求證：
證明：要證
，只要證
即可。
因為
構造數列
。
又
。
所以
，當且僅當
時取等號。
所以
。
例12. 求證：
。
證明：從特殊值2007、2008難以入手，考慮更一般的情況：
。
要證
即可。
因為
。
構造數列
當
時，（*）式成立。
當
。
故當
時，
綜上，（*）式成立，故原不等式成立。
六、對偶法
根據已知不等式的結構，給原“數列”（不等式的一端）匹配一個與之對偶的數列，然後一起參與運算，從而使問題獲得圓滿解決。
例13. （同前例8）
證明：原不等式即
。
記
構造數列
。
則
。
，故原不等式成立。
小結：本題利用了整數的分類中奇數與偶數的對稱性構造對偶式。例4可仿本題完成。
例14. 設
為互不相等的正整數，求證：
。
證明：記
，構造對偶數列
，則
，當且僅當
時，等號成立。又
為互不相等的正整數，所
。
小結：本題通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式。
▍ 編輯：Wulibang（ID：2820092099）
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