我們知道，如果x1、x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩根，那麼
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.
這就是韋達定理，也稱為根和係數的關係．
韋達定理來自於求根公式，只需要在由求根公式得到的兩個根中，把它們分別相加、相乘，再進行化簡即可得．
韋達定理用的最多的解決已知兩根關係求字母系數的問題．很少人想到利用韋達定理也可以解方程．
例如 已知x=2是方程x ^2+x+k^2-3k-7=0的一個根，則另一個根是 ．
解析：不少人見到這個題想到的方法是根據根的定義，把x=2代入方程，得
4+2+ k^2-3k-7=0，
整理，得k^2-3k-1= 0，
接下來不夠聰明的學生的做法是解這個方程，求得k的值後再代入，得已知方程為：
x^2+x-6=0……
比較聰明學生的做法是：k^2-3k-1=0，得：
k^2-3k=1，
直接代入方程，得：
x^2 +x-6=0……
但不管聰明與不聰明，都需要再解方程x^2+x-6=0，才能求得另一個根為x=-3．
而從韋達定理入手，設另一個根為m,則方程兩根為2和m，
由韋達定理中的兩根和關係，得：
2+m=-1，m=-3.
所以，另一根為x=-3.
再看如下幾例：
例1 已知x= 3是方程x^2+(2k-1)x+6=0的一個根，求另一根及k的值．
解：設另一根為m，則方程兩根為3和m，
所以3×m=6，m=2，
所以3+2=-(2k-1)，k=-2.
所以，方程另一根為2，k的值為-2.
例2 解方程：3
x^2-7x+4=0．解析：觀察方程係數3，-7，4，它們的和為0，
即當x=1時，方程的左邊等於右邊，
所以x=1是方程的一個根，
設另一根為n，則
1×n=4/3，n=4/3.
所以x1=1，x2 =4/3.
例3 解方程：2x^2+3x+1=0.
解：易知，x=-1時，方程的左邊=2-3+1=0=右邊，
所以x=-1是方程的一個根，設另一根為n，則
-1×n=1/2，n=-1/2.
所以方程的根為x 1=-1，x2=-1/2.
例4 設a≠b，解關於x的方程：
(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0.
解：易知，x=1滿足方程，所以方程的一根為x=1，
設另一根為n，則
1×n=(c-a)/(a-b)，n=(c-a)/(a-b)．
所以方程的根為x1=1，x2=(c-a)/(a-b)．
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