等積變形之共邊定理

三角形的一個頂點在平行線上的運動不改變圖形的面積。這是前面我們講過的

換一個角度來思考，如下圖所示，讓三角形的頂點A與B固定，而頂點C在邊BC所處的直線上運動到D點，假設此時BD的長度是CB長度的x倍，這樣新產生的△DCA與△ABC的面積有什麼關係呢？

△ABC的面積=BC×h×1/2

△ADC的面積=CD×h×1/2

由於△ACD與△ABC的高相同，而CD是BC的（x-1）倍。因此可以得：S△ADC:S△ABC=CD:BC

即：過三角形一個頂點，引直線分三角形為兩個小三角形，這兩個小三角形的面積的倍數關係等於該直線分對邊所得的兩條線段的倍數關係。這就是共邊定理（1）

共邊定理所反映的圖形結構是一種基本的圖形結構。

有了共邊定理所揭示的規律，就可以把三角形的面積關係，轉換成對應線段的長度關係進行分析。換一個角度講，從長度上面反映的信息可以折射出相關三角形面積之間的數量關係。

例如，“用不同的方法把一個已知三角形的面積，分成面積相等的4個小三角形”這個與問題運用共邊定理就可以得出下面各種不同的分割方法：

由上面的共邊定理很容易推導得出：兩個三角形的高相等，則它們的面積之比等於底邊之比。這個結論很重要，它把面積與長度兩個數量進行了轉化，在解決面積比的有關問題時，可轉而去考慮相應的長度比。

例1:在四邊形ABC D中，E、F分別是AD、BC的三個等分點，設四邊形ABCD的面積為1，求四邊形AECF的面積。

思路分析

我們可以通過添加輔助線的方式對問題進行分析。

連接AC，那麼在△ABC與△ACD中就分別出現了兩個結構。

根據分析可得S△AFC=2/3×S△ABC，S△AEC=2/3×S△ACD，所以:S四邊形AECF=S△AFC+S△AEC=2/3×(S△ABC+S△ACD)=2/3×S四邊形ABCD=2/3×1=2/3。

你能舉一反三解決下面的問題嗎？

如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊BC、DA的三等分點，設四邊行ABCD的面積為1，求四邊形EFGH的面積。