在學習幾何之後,以平行為基礎,參考上篇【七年級】幾何開端:從平行線開始,便可繼續推導幾何圖形中的一些結論,比如三角形的角的三個基本結論.
01
內角和定理
三角形內角和定理:三角形內角和為180°.
法1:構造平行線
如圖,過點A作BC的平行線,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,(兩直線平行,內錯角相等)
∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
法2:構造平行線
如圖,過點A作BC的平行線,並延長BA,
證明過程同法一.
法3:構造平行線
如圖,過點A作BC的平行線,
∴∠C=∠1,
∴∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠B+∠1=180°.(兩直線平行,同旁內角互補)
法4:構造平行線
如圖,在線段BC上取一點P,過點P分別作PM∥AB,PN∥AC
∴∠B=∠3,∠C=∠1,∠A=∠PMC=∠2,
∴∠A+∠B+∠C=∠2+∠3+∠1=180°.
雖然列舉了4種方法,但其實都是一個思路,構造平行線,將三角形三個內角轉化為有特殊位置關係的角組合.
所以我也曾經想過,是否有不用平行的方法來證明內角和為180°?
法5:帕斯卡的做法
三角形內角和等於兩個直角三角形內角和減一個平角.
在矩形EFGH中,連接EG,可得△EFG和△EGH形狀大小完全相同,故內角和也相同,矩形內角和為360°,所以直角三角形內角和為180°,且對於任意直角三角形都可作如上證明.
∴∠A+∠B+∠C=2×180°-180°=180°.
但這裡真的沒用平行嗎?其實有一個前提我們還並不知曉,為什麼矩形的4個角都是直角呢?換句話說,如何畫出一個矩形?
參考這個三角形的內角和居然不是180°!本文不再贅述.
02
外角定理
三角形外角定理:三角形的外角等於和它不相鄰的兩個內角之和.
在△ABC中,延長BC,∠ACD是三角形的一個外角,則∠A+∠B=∠ACD.
法1:利用內角和定理
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∠ACD+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=∠ACD.
法2:構造平行線
如圖,過點C作CE∥AB,
則∠A=∠1,∠B=∠2,
∴∠A+∠B=∠1+∠2=∠ACD,
∴∠A+∠B=∠ACD.
03
外角和定理
三角形外角和定理:三角形外角和為360°.
在△ABC中,∠1、∠2、∠3分別是∠A、∠B、∠C的外角,則∠1+∠2+∠3=360°.
法1:利用內角和定理
∠BAC+∠1=180°,
∠ABC+∠2=180°,
∠ACB+∠3=180°,
∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°.
法2:利用外交定理
∠BAC+∠ABC=∠3,
∠BAC+∠ACB=∠2,
∠ABC+∠ACB=∠1,
∴∠1+∠2+∠3=2(∠A+∠B+∠C)=2×180°=360°.
法3:構造平行線
延長BA,過點A作AN∥BC,
則∠2=∠MAN,∠3=∠CAN,
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠MAN+∠CAN=360°,
∠1+∠2+∠3=360°.
法4:構造平行線
在BC邊取一點P,作PM∥AB交AC於M點,作PN∥AC,
∴∠1=∠AMP=∠MPN,
∠2=∠4,∠3=∠5,
∴∠1+∠2+∠3=∠MPN+∠4+∠5=360°.
法5:構造平行線
在△ABC內任取一點P,過點P分別作PM∥AB,PN∥BC,PQ∥AC.
則∠1=∠AMP=∠4,
∠2=∠BNP=∠5,
∠3=∠CQP=∠6,
∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠6=360°,
∴∠1+∠2+∠3=360°.
法6:從旋轉的角度來看
BA方向旋轉到AC,從AC旋轉到CB,從CB旋轉到BA,回原方向,旋轉一週,
可得∠1+∠2+∠3=360°.
顯然法1、2優於法3-5,這就好比從山腰到山頂明顯輕鬆於從山底到山頂,定理的價值就在於我們需要邏輯但不必拘泥於邏輯.
我們以平行作為幾何開篇,從“第五公設”出發,開始著手研究我們最熟悉也是最簡單的三角形,以平行為基礎探究三角形中的結論,摸清兩者之間從因到果的關係,不失為一個講解邏輯推理的好例子.
閱讀更多 教學課堂 的文章