中國的半符號代數，美妙的天元術和四元術

中國的古典數學，特別是代數學，曾經有學多輝煌的成就。宋元數學發展中一個最深刻的動向是代數符號化的嘗試，這就是“天元術”和“四元術”的發明。天元術和四元術都是用專門的記號來表示未知數，從而列方程、解方程的方法，它們是代數學的重要進步。代表了13世紀-----14世紀的世界數學 的最高水平.

中國古代數學以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數學模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特徵的公理化數學模式相輝映，交替影響世界數學的發展。

所謂“天元術”，就是設未知數為“天”，然後列出方程，解方程題，“四元術 ”就是設多哥（最多4個）未知數為“天” 、“地”、“人”、“物”，列出多元高次方程組---這實際上是一部半符號代數。

“天元術”的創造者是金、元時期的數學家李冶。他原在金朝做小官，元滅金後，隱居灣山，潛心研究學問，於1248年著成《 測園海鏡》12卷，以解直角三角形容圓內切圓問題為典型問題，論述“天元術”。

李冶的天元術中，先“立天元為一某某”就是設未知數，然後根據問題的條件列出天元式。在未知量的一次項旁邊記一“元”字，在常數項旁記一“太”字，並按高次冪在上低次冪在排列，還可兩個天元式相減進行“同數相消”。天元術已有現代列方程記法的雛型，現代學史家稱它為半符號代數。用“元”代表未知數的說法，一直延用到現在。

他設未知數為“天”元，以常數項為“太”（太極），列出方 程。

列如，方程2x2+32x+256=0,

他將等號左邊的多項式表示成“天元式” ,m]以後，他又吧常數項放到最上層，按升冪將係數依次往下排。

兩個多項式相加，將對應的天元式同層相加，元加元，太加太，等等。元乘天元式，“元”字移下一層。

這些天元式的運算法則，與現在的多項式運算是一致的。

列出多項式以後，用“增乘開方法”來求它的數值解。

李冶之後，天元術經二元術、三元術，到了元代朱世傑的《四元玉鑑》，進一步發展為四元術。“其法以元氣居中，立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上”。朱世傑分別稱一元方程為“一氣混元”、二元方程為“兩儀化元”、三元方程為“三才運元”、四元方程為“四象會元”，汲取了天元術的思想方法，參照了線性方程組用算籌擺出的“矩陣”運算方法，創造出以“天”、“地”、“人”、“物”表示四個不同未知數的四元高次方程組的數值解法，成功解決了四元高次方程組的建立和求解問題，達到了宋元數學的最高成就。而從名稱來看，朱世傑的《四元玉鑑》天、地、人與物並列的四象會元方法，也極有可能受到道教思想的影響。

例如，二元多項式x2+2xy+y2-3x+y+1，排成天，地兩方兩元式：地[；

多項式x2+y2-z2，排成天、地、人三方的三元式。

他還規定了一套四元式運算法則和解法，使中國古典數學發展到頂峰，朱世傑也被史學家薩頓譽 為中世紀最偉大的 數學家。

在宋元，天元術進一步發展為解四元高次聯立方程組，同時，幾何代數化、多項式運算和消元法也發展起來。方程求解的兩個源流合而為一，已經接近現代意義的代數了。因為在籌算盤上運算，多項式中各項係數要擺在盤上的固定位置，這一事實規定了未知數的個數只能以4個為限。只要一旦擺脫籌算而改用其他的運算體系，中國數學就會進入繁榮昌盛時代。當時與阿拉伯世界密切交流，受他們影響比任何時候都大，傳入其他運算體系是完全有希望 。

可惜，自元代之後，中國數學停止向前發展並且中斷了。當利瑪竇在明代來到中國時，已經沒有中國學者懂得《九章算術》了！我們承認數學在明代的落後，但也須認識到背後的歷史原因。元代以後，科舉考試製度中的《明算科》完全廢除，唯以八股取士，數學社會地位低下，研究數學者沒有出路，自由探討受到束縛甚至遭禁錮。金和元對兩宋的先後入侵以及殘酷的民族壓迫打斷了傳統數學發展的正常趨勢，造成了算器和數學語言發展之間的嚴重脫節。

可作對比，活動於公元250年前後的丟番圖是希臘數學中的代表人物，他最出色的著作《算術》一書中的絕大多數篇章談的是方程，他是解方程的大師，被稱為代數學的鼻祖。

受中國的影響，印度在7世紀初就有了用文字寫的代數學，已經能使用縮寫文字和一些記號來描述代數的問題和解答，具有符號代數的性質。

公元820年左右，阿拉伯數學家花拉子米從印度回國後著《代數學》一書。該書的方程論被規定為代數學的研究對象，方程的概念也被明確起來，書中第一次明確提出了二次方程的一般解法，同時，還提出了“移項”、“合併同類項”等方法。以後，方程的解法被作為代數的基本特徵長期保留下來。從此，誕生了花拉子米的代數學。

這裡狗尾續貂一下，令人吃驚的是，眾多中國考古遺址出土的陶文符號“卍、卐、⊕、日、工、≮、乄、w、○、豐”、“＋、≮、≯、∠、∩、∪、∧、∨、⊙、⊕、∣、⊥、∏”等一部分出現在“阿拉米字母”裡，一部分出現在西方發明的現在使用的數學符號裡，也正好是瑞典學者安特生(1874~1960)曾經在中國挖掘的遺址。這意味著什麼，令我們深思思考。與其說是所謂的“阿拉米字母”字母影響了突厥文、佉盧文字母，不如說是中國的“刻畫符號”影響了突厥文、佉盧文字母，甚至是西方字母的產生，最後，這些陶文也成為參考對象發明西方的“數學符號”。

宋元時期， 歐 洲正處於黑暗的中世紀，一個德國高人請教一個大學教授：他想把兒子送去學習記帳的數學知識，該 到哪兒去學呢？這位大學教授回答說：你的兒子如果只想學習加法和減法的話，那麼到國內的大學學習就行了；如果要想學習乘法和除法， 那麼必須到意大利去留學，可見當時的歐洲數學是多麼的落後了，而這時的中國數學卻象一座燈塔，放射出萬丈光芒。