作者 | 宇宙物理學

01

亞里士多德口中的詭辯術：芝諾悖論

意大利薩勒莫的埃利亞市，曾出現過兩位著名的哲學家，一位是巴門尼德，另一位是他的學生芝諾。他們倆的生命加起來跨越了畢達哥拉斯和蘇格拉底的時代。

巴門尼德的主要著作是用韻文寫成的《論自然》，他認為世間的一切變化都是幻象，因此人不可憑感官來認識真實。這種思想讓他在整個古希臘哲學史上地位非凡，並深深影響了柏拉圖的哲學理念。

而芝諾的成名主要有賴於他提出的幾個悖論。他使用一種被亞里士多德稱為“詭辯術”的辯論方式，主要以攻擊對方的論點為主，而不是為自己的觀點作辯護。辯論中，芝諾通常會以對手的觀點為前提，然後試圖用邏輯的方法證明，這一前提會推出非常荒謬的結果，從而駁倒對方。

這種辯論方式，常常導致一些詭異的結論出現，被人們稱為「悖論」。

比較著名的悖論有三個。

第一個悖論：如果你認為從A點到B點是可能的，那麼芝諾就會告訴你，在你到達B點之前，你必須先經過AB的中點，也就是要先走完一半的路程；而你要走完一半的路程，就必須先走完四分之一的路程，以此類推。

也就是說，你在走完全程的過程中，需要完成無數個階段的運動，這可能會耗費你無數的時間，因此，從A點到達B點是不可能的。

第二個悖論：被稱為飛矢不動。芝諾說，一個箭矢，在它的飛行過程中的某一時刻，一定處於某一個明確的位置。因此，在這一時刻，它和靜止沒有什麼區別。因此，飛行的箭矢任意時刻都是不動的。

第三個悖論：就是我們今天要重點講述的「芝諾悖論」，又被稱為「阿喀琉斯與烏龜」。阿喀琉斯是古希臘一位速度非常快的神，但芝諾卻說他連烏龜都追不上。這是為什麼呢?

芝諾說，如果你相信運動，那你就一定相信以下的說法：

• 最開始，阿喀琉斯是在烏龜的後面；
• 如果阿克琉斯跑到了現在烏龜所在的地方，那麼這段時間內，烏龜也會向前再走幾步，到達新的地方；
• 如果阿喀琉斯又跑到了那個新的地方，在這段時間內，烏龜又會向前再挪一挪。

以此類推，每當阿喀琉斯跑到烏龜的位置，烏龜都已經在那個位置之前了。阿喀琉斯為了追上烏龜，就必須完成無數個運動，花費無窮的時間。因此，阿克琉斯，是永遠也無法追上烏龜——至少芝諾認為是這樣。

芝諾的話，彷彿非常有道理，也很難反駁，這給無論是數學家還是哲學家，出了一個難題。對於當代的數學家來說，這個問題很好解決，但是對於2000多年前的人來說，這個問題是非常難的。

02

「芝諾悖論」的數學形式

從現代數學的角度來看，芝諾悖論之所以出現，是由於缺乏對無窮概念的理解。

那麼下面，讓我們對芝諾悖論進行詳細的拆解，看看具體問題到底出在哪裡。

首先，我們做一個合理的假設：阿喀琉斯的速度是烏龜的兩倍；而烏龜開始時，站在阿喀琉斯之前距離為1米的位置。

第一次運動，假如經過1秒後，阿喀琉斯走到了烏龜的位置，也就是說，阿喀琉斯的位移是1米；那麼這時烏龜向前行走的距離就是1/2米。

第二次運動，保持速度不變，再經過1/2秒後，阿喀琉斯又移動了1/2米的距離，而烏龜會移動1/4米的距離。

依此類推，第n次運動，要經過1/2^(n-1)秒後,阿喀琉斯的位移是1/2^(n-1)米，而烏龜的位移，就是1/2^n米。

那麼我們來計算，阿喀琉斯的總位移:

烏龜的總位移:

他們運動所用的時間:

按照芝諾的說法，在t時間內，S1

從式子來看，的確是這樣。

那麼為何會有這樣的結果？芝諾的問題到底在哪兒呢？

03

芝諾的問題

首先，芝諾在一開始把問題數學化了，但是他的數學方法卻不完整：一個重要的變量沒有被包含進來，那就是時間。根據上面的計算，可以知道，在任意t時刻阿喀琉斯和烏龜的位置，但是要注意，無論n多大，這個t卻永遠是小於2秒的。對於大於2秒的時間，芝諾其實並未討論。

更為重要的是，芝諾和他所處時代的古希臘人，都還對無窮的概念沒有把握，這讓他們無法求取極限。

現代的數學家們，很容易處理這個問題：當n逼近於無窮時，1/2^(n-1)和1/2^n都趨近於0，因此：最終得到t=2秒，S1=2米，S2=1米——阿克琉斯追上了烏龜。

而在古希臘時代，根本沒有無窮和極限的概念，那麼當時的學者，就無法從“有限加和”：

發展到“無限加和”：

04

阿基米德的“歸謬法”

雖然沒有無窮的概念，阿基米德還是通過另外一種方法反駁了「芝諾悖論」，那就是歸謬法。

為了說明歸謬法的原理，要先從阿基米德的一個關於“拋物線內接三角形”的發現說起。

拋物線內接三角形的畫法如下：

阿基米德通過力學的方法發現，一個拋物線，其任意一條割線包圍的面積，是其內接三角形面積的4/3。如下圖所示：

為了用幾何的方法證明上述結論，阿基米德把三角形上面的兩條邊繼續做內接三角形，構成一個更接近拋物線的圖形。然後繼續上述操作，直到把拋物線圍成的面積填滿。

他證明，在每一個步驟中，他在原來多邊形上加入的面積，都是前一步驟中加入面積的四分之一。因此，我們令第一個三角形的面積為1，則第一次添加後的面積就是1+1/4，第二次添加後的面積就是1+1/4+1/16，繼續這個過程，第n次添加後的面積的表達式就是：

這和芝諾悖論中出現的和式非常相似，唯一的差別就是，此處用的是4的乘方而不是2的乘方。

一個特別的方法

為了計算述出現的式子，阿基米德提出了一個方程：

他使用了一個特別的方法證明這還個方程的正確性：

如上圖，藍色部分的面積為A，綠色部分的面積為B，黃色部分的面積為C，紅色部分的面積為D。

很容易看出:

• B是A的1/4，C是B的1/4，D是C的1/3。
• A+B+C+D=總面積。

設A的面積是1的話，總面積就是4/3。

當把D繼續往下畫更小的正方形，那麼這個計算就變成了剛才要證明的式子，其求和的結果自然是4/3。因此剛才的式子是成立的。

當然，阿基米德依然沒有完成無窮的推論，而是執行了n步就停了下來。

所以，他並沒有得到下面的式子：

歸謬法

最後，阿基米德借用巧妙的歸謬法解決了「芝諾悖論」。

阿基米德以芝諾的方式解決了他的問題——與想象中的對手辯論。如果對手認為拋物線的面積不等於4/3，那麼，請說出它是大於4/3還是小於4/3。如果對手認為是大於4/3，阿基米德會利用他的剖分法證明其高估了這個面積；如果對手認為是小於4/3，他又會證明其低估了這個面積。無論如何，對手都沒有道理，因此必須承認面積等於4/3。

回顧這段歷史，可以看到，阿基米德通過巧妙的證明，從某種程度上解決了芝諾悖論。而且，在經過漫長的道路之後，阿基米德已經非常接近對無窮的理解。這標誌著古希臘數學家已經走到了無窮概念的邊沿。

（完）