萊布尼茨當年認為導數是兩個無窮小量dy和dx的商，所以他用dy/dx來表示導數。雖然現在導數不再是這個意思，但是萊布尼茨當年精心發明的這一套符號確實是非常好用，於是我們就繼續沿用了下來。
也就是說，我們今天仍然用dy/dx表示導數，但是大家一定要注意，dy/dx在現代語境裡是一個極限，不再是兩個無窮小量的商。
如果不熟悉微積分的歷史，就很容易對這些符號產生各種誤解，這也是很多科普文、教科書在講微積分時的一大難點。因為思想是新的，符號卻是老的，確實很容易讓人犯糊塗。
於是，在萊布尼茨那裡，他是先定義了代表無窮小量的微分dx和dy，然後再用微分的商定義了導數dy/dx，所以那時候導數也叫微商。
但是現在劇情完全反轉了：我們現在是先用ε-δ定義了極限，然後從極限定義導數dy/dx。這裡壓根沒有微分什麼事，只不過由於歷史原因我們依然把導數寫成dy/dx這個樣子。
那麼，dx和dy這兩個之前被當作無窮小量的微分的東西，現在還有意義麼？
答案是有意義！
這個dx和dy還是有意義的，當然，有意義也肯定不可能再是以前無窮小量的意思了。那麼，在ε-δ極限這種全新的語境下，dx和dy在新時代的意義又是什麼呢？請看下圖：
藍色切線的斜率表示在P點的導數，如果我們繼續用dy/dx表示導數的話，那麼從圖裡就可以清楚的看到：dx表示在x軸的變化量，dy就剛好表示藍色的切線在y軸的變化量。
也就是說，當自變量變化了Δx的時候，Δy表示實際的曲線的變化量，而微分dy則表示這條切線上的變化量，這就是新的語境下函數微分dy的含義。而自變量的微分dx，大家可以看到，就跟x軸的變化量Δx是一回事。
由於切線是一條直線，而直線的斜率是一定的。所以，如果我們假設這條切線的斜率為A，那麼dy和Δx之間就存在這樣一種線性關係：dy=A·Δx。
這些結論都可以很容易從圖中看出來，但是，一個函數在某一點是否有微分是有條件的。我們這裡是一條很“光滑”的曲線，所以在P點有微分dy，也就是說它在P點是可微的。但是，如果函數在P點是一個折點，一個尖尖的拐點呢？那就不行了。因為有拐點的話，你在這裡根本就作不出切線來了，那還談什麼Δy和dy？
關於函數在一點是否可微是一個比較複雜（相對科普的複雜~）的問題，判斷曲線（一元函數）和曲面（二元函數）的可微性條件也不太一樣。直觀地看，如果它們看起來是“光滑”的，那基本上就是可微的。
微分的嚴格定義是這樣的：對於Δy是否存在著一個關於Δx為線性的無窮小A·Δx（A為常數），使它與Δy的差是較Δx更高階的無窮小。也就是說，下面這個式子是否成立：
o(Δx)就表示Δx的高階無窮小，從字面上理解，高階無窮小就是比無窮小還無窮小。當Δx慢慢趨向於0的時候，o(Δx)能夠比Δx以更快的速度趨向於0。比如當Δx減小為原來的1/10的時候，o(Δx)就減小到了原來的1/100，1/1000甚至更多。
如果這個式子成立，我們就說函數y=f(x)在這點是可微的，dy=A·Δx就是函數的微分。因為這是一個線性函數，所以我們說微分dy是Δy的線性主部。
這部分的內容好像確實有點乏味，萊布尼茨時代的微分dy就是一個接近0又不等於0的無窮小量，理解起來非常直觀。但是，我們經過ε-δ的極限重新定義的函數的微分dy竟然變成了一個線性主部。這很不直觀，定義也挺拗口的，但是這樣的微積分才是現代的微積分，才是基礎牢固、邏輯嚴密的微積分。
為了讓大家對這個不怎麼直觀的微分概念也能有一個比較直觀的概念，我們再來看一個非常簡單的例子。
我們都知道半徑為r的圓的面積公式是S=πr²。如果我們讓半徑增加Δr，那麼新的圓的面積就應該寫成π（r+Δr）²，那麼，增加的面積ΔS就應該等於兩個圓的面積之差：
大家看到沒有，這個式子就跟我們上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一樣的。只不過我們把x和y換成了r和S，A在這裡就是2πr，這裡的π（Δr）²是關於Δr的平方項，這不就是所謂的高階（平方是2階，Δr是1階，2比1更高階）無窮小o(Δx)麼？
所以，它的微分ds就是2πr·Δr這一項：
它的幾何意義也很清楚：這就是一個長為2πr（這剛好是圓的周長），寬為Δr的矩形的面積，好像是把這個圓“拉直”了所得的矩形的面積。
好了，微分的事情就說到這裡，剩下的大家可以自己慢慢去體會。
閱讀更多 逍遙學派 的文章
