初中阶段几何最值问题中的定角定高几何模型。其中在不少各省市中考及模拟卷中均多涉及到，特别是近年五大模考高频考点，多以填空、解答压轴题为主，学生频频反映比较难，不知如何精准构造出辅助圆去求解问题
下文将从引例题设背景、分析思维、直观感知及题解模型建立、计算步骤归纳等多角度、动图演示为大家解读其求解策略，希望对大家有所帮助。
模型引入：
如图，直线AB外一点C，C到直线AB距离为定值（定高），∠ACB为定角。我们被这样的模型根据其特征称为定角定高模型；又因为，其像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
思考：定角定高下，所构成几何模型都哪些特征？AB长的变化规律？△ABC周长变化特征？△ABC面积变化特征？
模型展示：
直观感知：
定点定高模型：构成等腰三角形（AC＝BC）时：
（1）AB线段长度最小；（2）△ABC周长最小；（3）△ABC面积最小。
经典考题
1．（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6√2，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角相等解决问题即可．
（2）如图2中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．求出x的最小值即可解决问题．
（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大．
【解答】：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝1/2OA＝x，AE＝√3x，
∵OC+OE≥CD，∴3x≥4，∴x≥4/3，∴x的最小值为4/3，
∵AB＝2√3x，∴AB的最小值为8√3/3．
（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，
∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴S△ACD＝S△ACB，
∵∠DAC＝45°，∴∠DCB＝135°，∴∠DCG＝45°，
∵∠CDG＝90°，∴CD＝DG＝6√2，
∴CG＝√2CD＝12，∴AB＝GB＝12+6√2，
由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，
设OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝√2/2r，
∴r+√2/2r＝6√2，
∴r＝6√2（2﹣√2），
∴EH＝√2r＝12（2﹣√2），
∴四边形AFCE的面积的最大值＝2×1/2×（12+6√2）×6√2﹣1/2×12（2﹣√2）×6√2＝144．
2.（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，则BE，EF，FD之间的数量关系为_______；
（2）如图②，AB＝AD＝4，∠A＝∠C＝45°，请直接写出四边形ABCD面积的最积的最大值；
（3）如图③，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，△DMN为等边三角形，如果点M，N分别在菱形ABCD的边AB，BC上运动，且点M不与点A，B重合，点N不与点B，C重合，则在点M，N运动的过程中，△BMN的面积是否存在最大值？如果存在，请求出面积的最大值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先判断AE＝AG，BE＝DG，再判断出∠FAG＝∠EAF，进而判断出△EAF≌△GAF即可得出结论；
（2）先判断出BC＝BC'时，四边形ABC'D的面积最大，即可得出结论；
（3）先判断出△DMB≌△DNC，进而判断出当△DMN的面积最小时，△BMN的面积最大，即可得出结论．
【解答】：（1）EF＝BE+FD，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，
∴AE＝AG，BE＝DG，∠EAG＝90°，
∵∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAG＝∠EAF，
∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF，
∴EF＝FG＝FD+DG＝FD+BE，
故答案为EF＝FD+BE；
（2）四边形ABCD的面积最大为8√2，
如图，连接BD，作DH⊥AB于H，
∵∠C'＝∠C＝45°，
∴当C'B＝C'D时，△BDC'的面积最大，此时平行四边形ABC'D的面积最大，
即：四边形ABC'D是菱形，
在Rt△AHD中，∠A＝45°，AHD＝90°，AD＝4，
∴AH＝HD＝2√2，
∴S四边形ABC'D＝AB•DH＝8√2；
（3）存在，如图③，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝CD，DN＝DM，
∵∠BDM＝∠MDN﹣∠BDN，
∵∠CDN＝∠BDC﹣∠BDN，∠MDN＝∠BDC＝60°，∴∠CDN＝∠BDM，
∴△DMB≌△DNC，
∴S△DMB＝S△DNC，
∴S四边形DMBN＝S△DBC＝1/2×4×4√3×1/2＝4√3，
∵S△BMN＝S四边形DMBN﹣S△DMN，
∴当△DMN的面积最小时，△BMN的面积最大，
当DN⊥BC时，△DMN的边长最短，
即：△DMN的面积最小，此时DN＝2√3，
即：S△DMN＝1/2×2√3×3＝3√3，
∴△BMN的面积的最大值为4√3﹣3√3＝√3．
解题策略：
1.等角定高模型中，当三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是在对底边的垂直平分线上，说定高过该三角形外接圆圆心。
2.等角可以看做是三角形外接圆的圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形，结合垂径定理来解直角三角形。
解题步骤：
1、找等角定高模型，题目中没有直接给出，可以考虑构造；
2、作等角定高三角形的外接圆，圆心到等角的对边的距离即弦心距d和半径r的关系计算出来；
3、根据" 半径与弦心距的和大于等于半径r，求 r 的取值范围；4、.用 含r的代数式 表示等角定高三角形面积，用 r 取值范围求面积最小值。
题目千变万化，万变不离其宗，看问题抓本质，勤思考多总结，定能收获满满。
解题反思：
做几何题没思路，是模型积累不够的表现。几何的基础是图形的性质，而不同的图形性质可以搭建出各个模型，从而演化出我们熟悉的典型题目。在日常学习中，同学们如果只是粗略地将所有练习题做一遍，而拒绝总结归类，可能最终并不会有太多收获。更重要的是，在遇到模型叠加及综合后，是否可以准确判断出相关模型及切入点，决定了一道几何题能否在规定时间内被攻破。
其次，不会做几何辅助线，往往是对关键词不敏感。做几何题的重点在于多种模型综合运用，对模型的熟练掌握直接体现为：题中出现关键字眼的时候可以马上在脑中反应出多种做法，并挑选出正确的做法。此外，对几何模型的掌握绝不能一知半解，否则很容易陷入错误解法的怪圈。
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